КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 23-11-00171
НазваниеКомплексный анализ и анализ Фурье
Руководитель Кисляков Сергей Витальевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук , г Санкт-Петербург
Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ
Ключевые слова функциональные пространства, аппроксимация в комплексной области, теорема Радо, операторная интерполяция, пространства Харди, теорема о короне, ограниченная средняя осцилляция, операторы Кальдерона-Зигмунда, принцип неопределённости
Код ГРНТИ27.27.15
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на получение новых результатов и развитие новых методов во взаимопроникающих тематиках комплексного и вещественного анализа, таких как теория конформных отображений, аппроксимация в комплексной области, интерполяция пространств типа Харди, принцип неопределенности в гармоническом анализе и смежные задачи теории сингулярных интегральных операторов и теории систем Крейна обыкновенных дифференциальных уравнений. Пристальное внимание к этим предметам только росло с момента их ввода в научный обиход; при этом многие крупные достижения были получены как раз при переплетении комплексных и вещественных методов. Проект посвящен нескольким задачам в рамках указанной тематики, перечисленным ниже, актуальным сейчас, и требующим разработки новых подходов.
1. Новые прямые и/или обратные теоремы теории аппроксимации в комплексной области, в основном для гёльдеровых пространств функций на сложно устроенных множествах, не поддававшихся анализу ранее; привлечение интегральных метрик наряду с равномерной.
2. Количественные варианты теоремы Радо, утверждающей, что при некоторых условиях конформные отображения двух геометрически близких областей на единичный круг тоже близки. Явные оценки близости таких отображений в некоторых случаях.
3. Выяснение связи между оценками в разных метриках для так называемой задачи об идеалах в алгебре ограниченных аналитических функций в круге (эта задача описывает более тонкий вариант теоремы Карлесона о короне).
4. На модели шкалы коинвариантных подпространств оператора сдвига, разработка чисто вещественных доказательств интерполяционных свойств в шкалах пространств, определяемых с помощь операторов, более сложных, чем сингулярные интегралы Кальдерона-Зигмунда.
5. Доказательство новых вариантов T1-теоремы из теории сингулярных интегральных операторов для случая неоднородных пространств с мерой.
6. Получение новых результатов об ограниченности классических операторов гармонического анализа (сингулярные интегралы, максимальные функции) в общих идеальных пространствах измеримых функций.
7. Исследование резонансов для дифференциального оператора Дирака.
8. Новые контрпримеры, показывающие границы применимости принципа неопределенности в гармоническом анализе.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1. Сильванович О.В., Широков Н.А. B. Ya. Levin function for some sets of segments. Journal of Mathematical Sciences (United States) (год публикации - 2024)
2. Руцкий Д.В. Variations of the Bourgain method for K-closedness of certain subcouples Journal of Mathematical Sciences (United States) (год публикации - 2024)
3. Шагай М.А., Широков Н.А. Polynomial approximation by doubly periodic Weierstrass functions on disjoint segments in the L^P metric Journal of Mathematical Sciences (United States) (год публикации - 2024)
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Исследования велись по широкому кругу задач комплексного и вещественного анализа: аппроксимация на сложно устроенных множествах и более сложными объектами, чем полиномы, новые явления в задаче об идеалах для пространства ограниченных аналитических функций в круге, интерполяция операторов в классически пространствах, неклассическая теория сингулярных интегральных операторов, некоторые аспекты теории дифференциальных уравнений, связанные с комплексным анализом, вопросы о границах выполнения принципа неопределённости в гармоническом анализе и др. Ниже даны примеры полученных результатов.
Установлены новые факты из теории приближения в аналогах пространств гёльдеровых функций на сложных объектах (кривые в пространстве, системы непересекающихся отрезков). Проверено, что хаусдорфова размерность плюригармонической меры на n-мерном торе больше или равна n-1, и показано, что это утверждение точно. Впервые доказан многомерный вариант теоремы Бёрлинга-Мальявена о мажоранте. В новых случаях подтверждена гипотеза о том, что минимальная гладкость границы области, достаточная для того, чтобы сингулярный интегральный оператор с четным ядром был ограничен в пространстве Зигмунда в этой области, должна быть в определенном смысле на единицу выше гладкости ядра. Гипотеза о компактных разностях операторов композиции на классических пространствах Харди H^p в единичном круге доказана при всх значениях показателя p, в том числе и p<1. Введены и изучены аналоги произведений Рисса на сфере из комплексного евклидова пространства, доказан вариант дихотомии Зигмунда для них. Найдена метрическая связь между понятиями базиса Маркушевича и базиса Рисса. В задачах об изоморфном типе пространств функций с sup-нормой, порождённых произвольными конечными наборами дифференциальных операторов, обнаружено, что метод усреднения позволяет довольно просто доказывать многие из ранее полученных и достаточно трудных результатов, а также имеет перспективы приложений к более широким постановкам. По материалам исследований в рамках гранта в 2024 г. опубликовано 7 статей.
Публикации
1.
Кисляков С.В., Скворцов А.А.
Various metrics in the problem of ideals for the algebra H∞
St. Petersburg Mathematical Journal, том 35, выпуск 5, стр. 815-826 (год публикации - 2024)
10.1090/spmj/1830
2.
Дубцов Е.С., Руцкий Д.В.
Compact linear combinations of composition operators on Hardy spaces
Archiv der Mathematik (год публикации - 2025)
10.1007/s00013-024-02077-8
3.
Дубцов Е.С.
Mutual singularity of Riesz products on the unit sphere
Proceedings of the American Mathematical Society, том 153, выпуск 1, стр. 269-277 (год публикации - 2025)
10.1090/proc/17036
4. Широков Н.А. Polynomial approximation in the mean on segments St. Petersburg Mathematical Journal (год публикации - 2025)
5. Скворцов А.А. Estimates in the ideal problem for the algebra H∞ Journal of Mathematical Sciences (United States) (год публикации - 2025)
6. Сильванович О.В., Широков Н.А. Inverse theorem of approximation by entire functions of exponential type Journal of Mathematical Sciences (United States) (год публикации - 2025)
7. Васин А.В., Дубцов Е.С. A characterization of Calderon-Zygmund operators on the regular BMO space St. Petersburg Mathematical Journal (год публикации - 2025)
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2025 году научной группой было продолжено проведение фундаментальных исследований по математическому анализу, были получены новые результаты в различных областях комплексного, вещественного и функционального анализа. Результаты исследований опубликованы, в том числе, в ведущих российских и зарубежных научных изданиях. Планы работ на 2025 год были полностью выполнены.
Среди прочего, впервые было выведено тождество, связывающее энтропию множества с упаковочным свойством Карлесона. Были установлены новые факты о множестве резонансов оператора Шрёдингера. Получены новые результаты в классической области задач об изоморфизме банаховых пространств гладких функций. Получено описание компактных операторов композиции С_g между модельным пространством K_I^p и пространством Харди H^p для внутренней функции I и p>1. Было доказано отсутствие обратных мер Карлесона для широких классов пространств аналитических функций в круге. Удалось также привести примеры, показывающие, что даже очень близкие в метрическом смысле к ортогональным системы не обязательно являются базисами в гильбертовых пространствах; приведена также точная количественная формулировка этого результата в конечномерном случае. Были продолжены исследования свойства BMO-регулярности решёток функций на окружности. Наконец, удалось также получить новые результаты об аппроксимации при помощи целых функций экспоненциального типа.