Аппроксимация фреймами всплесков, свёрточными операторами и сдвигами в функциональных пространствах

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-00178

НазваниеАппроксимация фреймами всплесков, свёрточными операторами и сдвигами в функциональных пространствах

Руководитель Скопина Мария Александровна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова фреймы всплесков, мультивсплески, масштабирующая функция, масштабирующая маска, порядок аппроксимации, M-положительные множства, разложения по системам сдвигов, весовые пространства, экстремальные подпространства

Код ГРНТИ27.39.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект нацелен на решение ряда конкретных задач в рамках теории всплесков, а также систем, инвариантных относительно сдвига и свёрточных операторов. Среди них отдельно отметим следующие задачи. Планируется развитие теории мультивсплесков и изучение такого типа систем в случае, когда они не являются формально фреймами, однако обеспечивают разложение функций аналогичное разложению по фреймам. Ослабление условий ведёт к упрощению общей конструкции что позволит обеспечивать востребованные в приложениях свойства, в частности, высокий порядок аппроксимации и симметричность при малом носителе. Планируется изучение топологических свойств множества всех масштабирующих масок систем всплесков. Результаты могут быть использованы для построения всплесковых алгоритмов (быстрого всплескового преобразования и каскадного алгоритма), адаптированных к изучаемому сигналу. Также с помощью этих результатов мы планируем изучать аппроксимационные свойства фреймов непериодических и периодических всплесков. Планируется развитие теории всплесков на так называемых M-положительных множествах в евклидовых пространствах. Это новая структура, представленная в нашей недавней статье. Эта тематика относится к анализу Уолша и тесно связана с аналогичными исследованиями на таких активно изучаемых в мире структурах, как локально компактные группы, поля положительной характеристики, полупрямая и самоподобные замощения. Мы намереваемся описать методы построения базисов и фреймов вейвлетов и изучить их аппроксимационные свойства. Планируется развить теорию приближения в различных функциональных пространствах, таких как весовые пространства Лебега, Орлича, Лоренца, пространства Лебега с переменным показателем, пространства Орлича – Муселяка и абстрактные банаховы пространства функций. Указанные функциональные пространства активно изучаются в последнее время. Планируется решить ряд экстремальных задач теории среднеквадратичных приближений сдвигами, в том числе связанных с поперечниками. Планируется доказать ряд точных неравенств для приближения различных классов функций сплайнами и пространствами сдвигов.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Ю. Фарков, М. Скопина HARMONIC ANALYSIS ON THE SPACE OF M‑POSITIVE VECTORS Journal of Mathematical Sciences, Published online (год публикации - 2023)
10.1007/s10958-023-06601-z

2. О.Л. Виноградов Прямые и обратные теоремы теории приближений в пространствах Лебега с весами Макенхаупта Уфимский математический журнал, Том 15. № 4, стр. 42-60 (год публикации - 2023)
10.13108/2023-15-4-42

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Предложен алгоритм построения фреймоподобных двойственных мультивсплесков с компактным носителем, обладающих востребованными в приложениях свойствами симметрии и заданным порядком аппроксимации. На основе лифтинг-схемы предложен метод улучшения фреймоподобных двойственных мультивсплесков до двойственных фреймов мультивсплесков с сохранением свойств симметрии и порядка аппроксимации. Установлены достаточные условия для того, чтобы две системы функций, порождённые парой масштабирующих тест-функций, образовывали двойственные фреймы всплесков в пространстве суммируемых с квадратом функций, заданных на множестве M-положительных векторов. Разработан алгоритм построения систем всплесков, состоящих из тест-функций и удовлетворяющих этим условиям. В результате реализации алгоритма получены конкретные примеры масштабирующих тест-функций и порождённых ими всплеск-функций. Введены и изучены обобщенные группы Виленкина, ассоциированные с некоторой конечной абелевой группой. В случае, когда в качестве абелевой группы рассматривается циклическая группа, имеем обычную группу Виленкина. Как и для обычной группы Виленкина, наша обобщенная группа является счетным прямым произведением порождающих абелевых групп. Корректность такого определения обосновывается тем, что любая абелева группа изоморфна группе цифр некоторой матрицы. Таким образом, каждая обобщенная группа Виленкина определяется подходящей матрицей, причем не единственной. Дано явное описание непрерывных характеров, введено и изучено преобразование Фурье. Показано, что для любого локального поля положительной характеристики его аддитивная группа изоморфна некоторой обобщенной группе Виленкина, но не всякая обобщенная группа Виленкина является аддитивной группой некоторого локального поля положительной характеристики. Изучено построение систем всплесков с компактным носителем в пространстве функций, заданных на обобщённых группах Виленкина. Получены необходимые, а также достаточные условия маски масштабирующей функции с компактным носителем. Выявлено достаточное условие существования системы всплесков, порождённой масштабирующей функцией с компактным носителем. Установлены достаточные условия, при которых система всплесков, порождённая масштабирующей функцией с компактным носителем, образует жёсткий фрейм. Исследован порядок аппроксимации жёстким фреймом всплесков на классах соболевского типа. Вычислена средняя размерность некоторых подпространств пространств, определяемых с помощью равноотстоящих сдвигов одной функции. Как следствие, рассматриваемые подпространства оказываются точными в смысле средних поперечников в некоторых задачах среднеквадратичной аппроксимации классов сверток на оси. Рассматривалась задача приближения трех классов дифференцируемых функций на полуоси, определенных некоторыми граничными условиями. Установлены точные оценки наилучшего приближения данных классов функций в метрике L_2. Полученные экстремальные подпространства порождаются равноотстоящими сдвигами одной функции. Кроме того, при дополнительных условиях на эту функцию доказана точность рассматриваемых неравенств в смысле средних поперечников. Среди экстремальных приближающих подпространств указаны сплайновые. В первый год выполнения проекта нами была разработана общая схема доказательства прямых и обратных теорем в банаховых идеальных пространствах функций. В этой схеме ключевую роль играет свойство ограниченности усреднений по Стеклову в таких пространствах. Нами получен критерий ограниченности усреднений в пространствах Лебега с переменным показателем, состоящих из периодических функций. Кроме того, получены конкретные оценки норм усреднений по Стеклову и, как следствие, оценки норм некоторых сверточных операторов. Тем самым в этих пространствах установлены прямые и обратные теоремы теории приближений в соответствии с общей схемой. Принципиально, что в отличие от известных результатов об ограниченности максимального оператора, для ограниченности усреднений по Стеклову не требуется, чтобы показатель был отделен от единицы. Получены конструктивные необходимые и достаточные условия, при которых семейство периодических всплесков образует фрейм Парсеваля. Критерий обобщает унитарный и скошенный принципы расширения. Подробно обсуждаются случай одного всплескового генератора, а также ситуация, когда порождающие масштабирующие функции являются тригонометрическими полиномами. Изучены аппроксимационные свойства фреймов всплесков, в терминах нашего конструктивного критерия даны условия совпадения порядков аппроксимации сдвигами масштабирующей последовательности и фреймами.

Публикации

1. Виноградов О.Л. Критерий ограниченности усреднений в пространствах Лебега с переменным показателем на периоде Записки научных семинаров ПОМИ, Записки научных семинаров ПОМИ, 2024, том 537, страницы 40–63 (год публикации - 2024)

2. Виноградов О.Л., Улицкая А.Ю. Оптимальные подпространства для среднеквадратичных приближений классов дифференцируемых функций на полуоси Записки научных семинаров ПОМИ , Записки научных семинаров ПОМИ, 2024, том 539, страницы 44–65 (год публикации - 2024)

3. Лебедева Е.А. Аппроксимация масштабирующими масками Математические заметки , том 115, выпуск 3, страницы 385–391 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14042

4. Скопина М.А. Tight wavelet frames on the space of M-positive vectors. Analysis and Applications, Vol. 22, No. 5, pp. 913-936 (год публикации - 2024)
10.1142/S0219530524500064

5. Водолазов А.М., Скопина М.А. Обобщенные группы Виленкина Математические заметки, Матем. заметки, 116:4 (2024), 489–503 (год публикации - 2024)
https://doi.org/10.4213/mzm14327

6. Бабушкин М.В., Скопина М.А. Wavelet Frames on Generalized Vilenkin Groups Lobachevskii Journal of Mathematics , Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 45 , no. 12, pp. 6027–6040. (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224607380

7. Виноградов О.Л. Средняя размерность пространств сдвигов и их подпространств Математические заметки, Матем. заметки, 116:5 (2024), 694–706 (год публикации - 2024)
https://doi.org/10.4213/mzm14216

8. Виноградов О.Л. Прямые и обратные теоремы теории приближений в банаховых идеальных пространствах Алгебра и анализ, 35:6 (2023), 14–44 (год публикации - 2023)
https://doi.org/10.4213/mzm14216

9. Кривошеин А.В. Approximation by frame-like multiwavelets Analysis and Applications, Номер 22, Том 5, 881-911 (год публикации - 2024)
10.1142/S0219530524500052

10. Бабушкин М.В., Скопина М.А. Фреймы всплесков на множестве M-положительных векторов Записки научных семинаров ПОМИ, Записки научных семинаров ПОМИ, 2024, том 539, страницы 5–30 (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Продолжено развитие методов построения систем всплесков в пространствах суммируемых с квадратом функций, заданных на обобщённых группах Виленкина и множествах M-положительных векторов. Разработан конструктивный метод построения ортогональных базисов, составленных из тест-функций, то есть финитных функций с финитным преобразованием Фурье. Ключевым элементом метода является специальный способ задания маски, обеспечивающий финитность и ортогональность масштабирующей функции. Метод проиллюстрирован конкретными примерами. В рассматриваемых пространствах введены и изучены понятия, которые необходимы для формулировок критериев ортогональности масштабирующей функции: стабильность системы сдвигов, периодический ноль функции, блокирующее множество маски. Получены достаточные условия ограниченности усреднений по Стеклову в пространствах Лебега с переменным показателем в двух новых ситуациях, а именно, в весовых пространствах на множествах конечной меры, в том числе пространствах периодических функций, и в безвесовых пространствах на множествах бесконечной меры. В первом случае доказана ограниченность усреднений только при некоторых условиях типа Макенхаупта, без требования свойства Дини - Липшица. Во втором случае доказана ограниченность усреднений при локальном условии типа Макенхаупта и дополнительном условии поведения функции на бесконечности. В обоих случаях условия ослаблены по сравнению с ранее известными. Разработана общая схема доказательства прямых и обратных теорем теории приближений в пространствах, норма в которых задается посредством задания нормы на пространстве Фурье-образов. Получены различные варианты обобщенного неравенства Минковского в этих пространствах. Под преобразованием Фурье можно понимать не только классическое преобразование Фурье, но даже произвольный линейный оператор из одного векторного пространства в другое. Построены интерполяционные формулы по неравноотстоящим узлам для дифференциальных операторов, использующих дробное дифференцирование, и некоторых других мультипликаторных операторов. Из этих формул выведены точные в равномерной норме неравенства Бернштейна. Получено распространение известного описания классических модулей непрерывности в пространствах Лебега на банаховы идеальные пространства, состоящие как из периодических, так и непериодических функций. Кроме того, соответствующе результаты получены также для широкого класса абстрактных функционалов в банаховых пространствах. Получены необходимые и достаточные условия в терминах масок, при которых система всплесков, определенных на группах Кантора и Виленкина, образует жесткий фрейм. Для изучения свойств масок нами предложен функционал, характеризующий локализованность периодических диадических функций. Сформулирован принцип неопределенности и обсуждается точная и асимптотическая достижимость нижней границы. Предложен алгоритм поиска хорошо локализованных масок фреймлетов. Исследовались аппроксимационные свойства фреймов Парсеваля всплесков, определенных на группе Кантора, реализованной для удобства в виде положительной полупрямой с операцией двоичного сложения. Доказана Lp-сходимость и сходимость почти везде разложений по системам всплесков. Условия на масштабирующие функции и всплеск-функции, обеспечивающие сходимость, обусловлены особенностями групповой операции и не будут достаточны для систем всплесков, определенных на вещественной прямой. Реализован алгоритм дискретного всплеск-преобразования для многомерных сигналов на языке программирования Python, включающий новые технические приёмы для быстрой работы. Сформирована база данных несепарабельных систем всплесков для ряда матриц растяжения с различным набором свойств, большая часть систем являются новыми. Проведён сравнительный анализ многомерных систем всплесков на примере задачи сжатия изображений.

Публикации

1. Лебедева Е.А., Четин Ю.А. Localization of periodic dyadic functions Journal of Mathematical Sciences, том 291, номер 4, стр. 534-543 (год публикации - 2025)
10.1007/s10958-025-07828-8

2. Горшанова А.А., Лебедева Е.А. О критериях для фреймов периодических всплесков Математические заметки, том 118, выпуск 2, страницы 221–239 (год публикации - 2025)
10.4213/mzm14501

3. Горшанова А.А., Лебедева Е.А. О сходимости разложений по системам диадических всплесков Алгебра и анализ, том 37, выпуск 5, страницы 179–197 (год публикации - 2025)

4. Кривошеин А.В. Symmetric dual multiwavelet frames International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, Том 23, Выпуск 04, 2550016 (год публикации - 2025)
10.1142/S021969132550016X

5. Виноградов О.Л. Boundedness of averaging operators in weighted variable exponent spaces of periodic functions Analysis Mathematica, Номер 51, Выпуск 2, стр. 705-726. (год публикации - 2025)
10.1007/s10476-025-00074-9

6. Виноградов О.Л. BOUNDEDNESS OF AVERAGING OPERATORS IN VARIABLE EXPONENT SPACES ON THE SETS OF INFINITE MEASURE Analysis Mathematica, Номер 51, Выпуск 4 (год публикации - 2025)
10.1007/s10476-025-00123-3

7. Виноградов О.Л. Бесселевы функции и точные неравенства типа Бернштейна Вестник С.-Петербургского ун-та. Математика, механика, астрономия (год публикации - 2025)

8. Бабушкин М.В., Скопина М.А. Orthogonal wavelet bases on generalized Vilenkin groups Lobachevskii Journal of Mathematics (год публикации - 2026)

9. Горшанова А.А., Лебедева Е.А. Порядки аппроксимации периодическими фреймами всплесков Записки научных семинаров ПОМИ, том 545, стр. 84-110. (год публикации - 2025)