Мартингальные и спектральные методы и их применения в стохастическом анализе

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-00375

НазваниеМартингальные и спектральные методы и их применения в стохастическом анализе

Руководитель Гущин Александр Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика

Ключевые слова теория мартингалов, случайные процессы, предельные теоремы, статистический последовательный анализ, статистический мартингально-марковский анализ, задачи об оптимальной остановке, задачи об обнаружении "разладки", стохастические дифференциальные уравнения, динамические системы, линейные системы управления, ветвящиеся случайные блуждания, случайные среды, случайные матрицы

Код ГРНТИ27.43.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В современной теории вероятностей и ее приложениях под мартингальными методами понимается широкий набор вероятностно-аналитических приёмов, основанных на понятии мартингала (т.е. процесса, предсказание которого в "будущем" на основе "прошлого" зависит только от "настоящего"), фильтрации, марковских моментов, стохастического интеграла и стохастических дифференциальных уравнений по мартингалам, теорем о представлении функционалов, формул замены вероятностных мер и др. Вместе с марковскими процессами и их глубокими связями с гармоническими функциями, теорией операторов, спектральным анализом в предлагаемом проекте дается не только развитие ряда теоретических аспектов теории мартингалов и спектральных аналитических методов, но и даются их приложения к ряду практически востребованных задач (финансовой инженерии, оптимально быстрого обнаружения случайно появляющегося объекта и др.). Основные вопросы и направления исследований проекта: Будут рассматриваться актуальные проблемы, именуемые "задачами о разладке", в которых требуется скорейшее приближение к стохастически движущемуся объекту, начальное положение которого и момент изменения движения являются случайными. Предполагается разработка процедур движения для обнаружения тела, при том существенном ограничении, что движение должно подчиняться требованиям типа "условий Липшица". Предложенные ранее мартингальные методы решения (А.Н. Ширяев, "Стохастические задачи о разладке", МЦНМО, 2016) предполагают, что на рассматриваемое обнаруживающее движение никаких "технических" ограничений не накладывается. Одной из главных областей применения мартингальных методов является статистика случайных процессов, поскольку отношение правдоподобия как функция времени есть мартингал. В проекте предполагается рассмотреть новый подход к классической тематике статистики случайных процессов – абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Планируется исследовать вопросы, связанные с вычислением оптимальных границ в задачах об оптимальной остановке. В рамках проекта будут рассмотрены неоднородные по времени задачи для процесса броуновского движения, являющегося каноническим примером непрерывного мартингала. Планируется развитие мартингального подхода в исследовании линейных стохастических систем управления с мартингальными возмущениями целевого функционала. С помощью новых методов предполагается найти вид закона управления, оптимального по критерию долговременного среднего, а также оценить долгосрочной риск его использования при применении критерия потраекторного эргодического. Планируется проведение исследований в такой активно развиваемой области случайных процессов, как теория ветвящихся случайных блужданий (ВСБ). Привлечение ВСБ позволяет изучать эволюцию систем частиц, которые могут не только размножаться, гибнуть, но и перемещаться по пространству в различных средах по правилам, учитывающим фактор случайности. Одной из целей проекта является создание новых методов исследования ВСБ, основанных на сочетании мартингальной техники и спектральной теории. Планируется разработка новых мартингальных методов в задаче описания предельного поведения стохастических моделей, которые могут интерпретироваться как модели соперничества экономических агентов. Будут рассматриваться задачи приближения моделей, в которых время дискретно, моделями с непрерывным временем. Прежде всего интерес будут представлять вопросы об асимптотически (т.е. на длинном горизонте времени) оптимальных стратегиях агентов. Последнее направление исследований проекта относится к теории случайных матриц и посвящено развитию мартингальных и спектральных методов в задаче описания сингулярного спектра случайных матриц растущей размерности с независимыми строками.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Куценко В.А., Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Условия надкритичности для ветвящихся блужданий в случайной убивающей среде с единственным центром размножения Успехи математических наук, том 78, выпуск 5(473), страницы 181-182 (год публикации - 2023)
10.4213/rm10147

2. Файнберг Е.А., Ширяев А.Н. О прямых и обратных уравнениях Колмогорова для чисто скачкообразных марковских процессов и их обобщениях Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страницы 796-812 (год публикации - 2023)
10.4213/tvp5638

3. Смородина Н.В., Яровая Е.Б. Об одной предельной теореме для ветвящихся случайных блужданий Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страницы 779-795 (год публикации - 2023)
10.4213/tvp5609

4. Яськов П.А. О достаточных условиях в теореме Марченко–Пастура Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страницы 813-833 (год публикации - 2023)
10.4213/tvp5668

5. Смородина Н.В., Яровая Е.Б. Об одной предельной теореме для ветвящихся случайных блужданий с конечным числом типов частиц Записки научных семинаров ПОМИ, том 526, страницы 172-192 (год публикации - 2023)

6. Куценко В.А., Яровая Е.Б. Ветвящееся случайное блуждание в случайной убивающей среде с сильным центром размножения Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страница 849 (год публикации - 2023)

7. Яровая Е.Б., Смородина Н.В. Предельные теоремы для ветвящихся случайных блужданий с нарушением пространственной однородности Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страница 875 (год публикации - 2023)

8. Житлухин М.В. Диффузионное приближение для одной модели предсказательной игры Теория вероятностей и ее применения, том 68, выпуск 4, страницы 751-768 (год публикации - 2023)
10.4213/tvp5679

9. Гущин А.А. Равномерная интегрируемость неотрицательных супермартингалов через замену времени в геометрическом броуновском движении Теория вероятностей и ее применения, том 69, выпуск 4, страницы 780–790 (год публикации - 2024)
10.4213/tvp5742

10. Г.А. Попов, Е. Б. Яровая Укрупнение состояний ветвящегося случайного блуждания по многомерной решетке Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, номер 1, страницы 54–64 (год публикации - 2024)
10.55959/vmumm4589

11. Е.Б. Яровая Спектральные методы и их применения в анализе ветвящихся случайных блужданий Теория вероятностей и ее применения, том 69, выпуск 4, страницы 695–711 (год публикации - 2024)
10.4213/tvp5739

12. В.А. Куценко, С. А. Молчанов, Е. Б. Яровая Branching Random Walks in a Random Killing Environment with a Single Reproduction Source Mathematics, том 12, выпуск 4, страница 550 (год публикации - 2024)
103390/math12040550

13. Е.Б. Яровая Спектральные методы и их применения в стохастическом анализе 4 конференция математических центров России, 6–11 августа 2024, г. Санкт-Петребург, Россия (год публикации - 2024)

14. В.А. Куценко Эффекты случайных сред в процессах с генерацией и блужданием частиц по решеткам Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (со ссылкой на грант) (год публикации - 2024)

15. И.А. Ибрагимов, Н.В. Смородина, М.М. Фаддеев Одно замечание к формуле Ито Теория вероятностей и ее применения, том 69, выпуск 2, страницы 227–242 (год публикации - 2024)
10.4213/tvp5678

16. Е.С. Паламарчук Об асимптотическом поведении решений линейных многомерных стохастических дифференциальных уравнений с мультипликативными возмущениями Теория вероятностей и ее применения, том 69, выпуск 3, страницы 472–495 (год публикации - 2024)
10.4213/tvp5682

17. И.А. Ибрагимов, Н.В. Смородина, М.М. Фаддеев О некоторых свойствах дробной производной броуновского локального времени Труды Математического института имени В. А. Стеклова, том 324, стр. 109–123 (год публикации - 2024)
10.4213/tm4351

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В задаче построения приближающего движения для моделей с «разладкой» был исследован вопрос отыскания достаточных статистик в двух предложенных ранее критериях. I. Было установлено, что в ситуации, когда функция риска зависит от значения наблюдаемого процесса, достаточная статистика будет двумерной (процесс апостериорной вероятности и значение самого наблюдаемого процесса). II. В задаче максимизации вероятности P(−A < theta − T < B), где theta — момент «разладки», T — правило остановки, а A > 0 и B > 0 — некоторые случайные величины, было установлено, что достаточная статистика будет одномерной (неоднородной по времени) в следующем случае: величина A должна быть экспоненциально распределенной, а величина B может быть распределена произвольным образом (и, кроме того, может быть выбрана детерминированной). Было выбрано в качестве канонического пространства произведение двух пространств траекторий и в качестве канонического процесса - композиция координатных процессов. Доказано, что любой неотрицательный супермартингал представим как канонический процесс относительно некоторой меры на каноническом пространстве, и охарактеризованы все такие меры. Доказано, что канонический процесс, который есть неотрицательный супермартингал, является обобщенным процессом плотности некоторой меры (меры Фельмера). Получен критерий абсолютной непрерывности и сингулярности в терминах меры Фельмера и отвечающей ей замене времени. В рассматриваемой нелинейной задаче об оптимальной остановке предложен способ построения верхних и нижних оценок для оптимальных границ остановки (в основе которого лежит построение верхних и нижних оценок для функционала, входящего в соответствующее интегральное уравнение). Таким образом, с одной стороны, данный подход позволяет оценить устойчивость алгоритма при его численной реализации, а с другой — может в принципе быть использован при построении теоретических оценок. В рамках анализа линейной стохастической системы управления с мартингальными возмущениями целевого функционала рассмотрен многомерной случай. Показано, что при известном предположении о стабилизируемости в среднем квадратичном, существует оптимальное в среднем управление. Также установлено, что при предположении о существовании положительно определенного решения матричного уравнения типа Риккати построенная стратегия является оптимальной по критерию потраекторного долговременного среднего. Исследована робастность оптимальной стратегии и получены степенные оценки для разности целевых функционалов, а также для отклонения целевого функционала от оптимального управления от своего среднего значения. Проведено исследование модели предсказательной игры с помощью ее аппроксимации диффузионным процессом. Получены необходимые и достаточные условия доминирования стратегий в такой игре. Исследовано предельное поведении дробной производной порядка α < 1/2 броуновского локального времени по пространственной переменной (при больших значения времени t). Доказана теорема о замене в классической формуле Ито второй производной, понимаемой в смысле обычного дифференцирования, на вторую производную в смысле дифференцирования обобщенных функций. С привлечением спектральных методов установлена связь между ветвящимися случайными блужданиями с конечным числом источников ветвления различных интенсивностей и структурой спектра эволюционного оператора средней численности частиц в точках решетки. Решена задача о количестве собственных значений конечномерного самосопряженного возмущения самосопряженного оператора в вещественном гильбертовом пространстве. Полученные результаты обобщены на случай возмущений несамосопряженных операторов и применены для доказательства предельных теорем с возможным нарушением свойства пространственной однородности случайного блуждания, лежащего в основе ветвящегося случайного блуждания. Изучена связь между структурой спектра эволюционного оператора и геометрическим расположением источников ветвления на многомерной решетке. Такой подход позволяет выявлять фазовые переходы в надритическом случае и уточнять методы нахождения моментов численностей частиц в точках. Спектральные и мартингальные методы, которые ранее использовались для исследования ветвящихся случайных блужданий по многомерной решетке, удалось адаптировать к ветвящимся случайным процессам на непрерывном фазовом пространстве. С их помощью получены предельны теоремы о ветвящемся винеровском процессе на вещественной прямой в предположении, что источники ветвления находятся в конечном числе точек, причем интенсивность ветвления в них может быть различной. В рамках проекта разработан аналитический аппарат, в котором в качестве переменной интенсивности ветвления рассматриваются обобщенные функции, не являющиеся, вообще говоря, регулярными функционалами (например, линейные комбинации дельта-мер). С использованием данного аналитического аппарата доказаны предельные теоремы об асимптотическом поведении ветвящегося винеровского процесса в предположении, что интенсивность ветвления постоянна, но одновременно на прямой имеется конечное число точечных источников ветвления различной интенсивности и произвольного знака. Для этого построена соответствующая этому процессу полугруппа операторов, найдены необходимые и достаточные условия наличия в спектре этого оператора положительного собственного значения, выписаны уравнения для определения положительных собственных значений и получены формулы для нахождения соответствующих собственных функций. Получен аналог прямого уравнения Колмогорова и найдены условия, гарантирующие наличие инвариантного распределения. Найдены оптимальные достаточные условия, при которых предельное распределение сингулярных чисел случайных матриц с независимыми центрированными строками в стандартной нормировке будет совпадать с распределением, возникающим в случае матриц из н.о.р. стандартных гауссовских величин, — в предположении, что число строк матриц растет пропорционально числу столбцов, ковариационные матрицы строк ограничены по спектральной норме и, вообще говоря, различны, а среднее вторых моментов элементов матриц стремится к единице. Данные условия суть: (1) свойство слабой концентрации (вокруг своего среднего значения) квадратичных форм строк матриц, (2) среднее ковариационных матриц строк стремится к единичной матрице в терминах l1 нормы на собственных значениях (с.з.) разности матриц (деленной на число с.з.); (3) следы ковариационных матриц строк стремятся к 1 в среднем в l1 норме.

Публикации