Задачи управления и оптимизации для вольтерровых систем: методы исследования, алгоритмы решения, приложения в интеллектуальных технологиях и в управлении социально-экономическими процессами

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-20020

НазваниеЗадачи управления и оптимизации для вольтерровых систем: методы исследования, алгоритмы решения, приложения в интеллектуальных технологиях и в управлении социально-экономическими процессами

Руководитель Сумин Михаил Иосифович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина" , Тамбовская обл

Конкурс №77 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (региональный конкурс)

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова задача управления, оптимизация, регуляризация условий оптимальности, вольтеррово уравнение, дифференциальное уравнение, краевая задача, модель нейронной системы, популяционные модели

Код ГРНТИ27.47.15; 27.33.19; 27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на развитие теории, методов решения задач управления и оптимизации линейных и нелинейных вольтерровых систем с различного вида управляющими воздействиями и ограничениями; исследование на этой основе моделей нейронных систем (построенных на основе принципов работы мозга), моделей динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, задач управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов (на примере задачи борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур в закрытых грунтах). Для достижения этих научных целей в проекте рассматриваются следующие четыре взаимосвязанные задачи: I. Исследование вопросов существования и свойств решений вольтеррова операторного уравнения и конкретных классов функциональных, дифференциальных и интегральных уравнений; II. Регуляризация классических условий оптимальности (КУО) и развитие метода вольтерровых функционально-операторных уравнений; III. Разработка оптимизационных стратегий глобализации сходимости метода Левенберга-Марквардта и метода Ньютона с подзадачами линейного программирования; IV. Исследование моделей нейронных систем (построенных на основе принципов работы мозга), моделей динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, задач управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов. Планируемые в проекте результаты исследования поставленных задач будут новыми, опережающими мировой уровень исследований по данным направлениям. Научная значимость проекта обусловлена особой ролью, которую играют вольтерровы уравнения и связанные с ними задачи управления и оптимизации в многочисленных областях знаний как фундаментального, так и прикладного характера. Такими уравнениями описывается динамика большинства процессов и явлений. На основе планируемых результатов о вольтерровых уравнениях будут изучены функциональные уравнения с отклоняющимся аргументом, интегральные и дифференциальных уравнений неявного вида, будут исследованы вопросы существования и свойства рещений краевых задач и задач управления, предложены алгоритмы приближенного решения. Востребованным и актуальным направлением Проекта является разработка и исследование эффективности алгоритмов решения выпуклых и нелинейных (вообще говоря, невыпуклых) задач оптимизации и оптимального управления, основанных на регуляризации КУО, которым от природы присущи свойства некорректности. Регуляризация позволяет естественным образом трансформировать КУО в регуляризирующие алгоритмы и тем самым существенно расширить основанную на привычных конструкциях функций Лагранжа и Гамильтона-Понтрягина сферу их действия. Прикладную значимость будет также иметь предлагаемая в проекте разработка эффективных численных методов решения задач оптимизации с возможно неизолированными прямодвойственными решениями, основанных на оптимизационных стратегиях глобализации сходимости стабилизированных методов решения вариационных задач. Актуальность решения задач Проекта подтверждается их приложениями к моделям нейронных систем, к моделям динамики эпидемий и сопутствующих социально-экономических процессов, к задачам управления и оптимизации в проблемах контроля численности вредоносных организмов (на примере задачи борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур в закрытых грунтах). Для перечисленных математических моделей в Проекте будут исследованы вопросы корректности, адекватности, оптимального определения параметров, будут предложены алгоритмы численного решения.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Борзов Н.С., Жуковская Т.В., Серова И.Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 142. С. 137–154 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-142-137-154

2. Жуковский Е.С., Серова И.Д. О задаче управления для системы неявных дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения, Т. 59, № 9. С. 1283-1296 (год публикации - 2023)
10.31857/S0374064123090121

3. Борзов Н.С., Жуковская З.Т. О существовании допустимых процессов для управляемых систем со смешанными ограничениями Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 143. С. 227-235 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-143-227-235

4. Бурлаков Е.О., Мальков И.Н. Математическое моделирование в задаче разработки эффективного метода контроля фузариоза колоса пшеницы Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 143. С. 236-244 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-143-236-244

5. Сенгупта Р. Вариационный принцип Экланда в квазиметрических пространствах Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 143. С. 268-276 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-143-268-276

6. Измаилов А., Усков Е., Жибай Я. Newton Method vs. Semismooth Newton Method for Singular Solutions of Nonlinear Complementarity Problems Advances in Systems Science and Applications, Vol. 23. Issue 3. P. 16–26 (год публикации - 2023)
10.25728/assa.2023.23.3.1406

7. Жуковский Е., Бурлаков Е., Мальков И. Caristi-Type Conditions in Constraint Minimisation of Mappings in Metric and Partially Ordered Spaces Set-Valued and Variational Analysis, Vol. 31.Issue 35. P. 1-23 (год публикации - 2023)
10.1007/s11228-023-00697-w

8. Котюков А., Павлова Н. Equilibrium in Open Market Models with Nonconstant Elastisities Proceedings of 2023 16th International Conference Management of Large-Scale System Development, MLSD 2023, P. 1-5 (год публикации - 2023)
10.1109/MLSD58227.2023.10303986

9. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптимизации линейных систем вольтеррова типа с функциональными ограничениями Вестник российских университетов. Математика, Т. 28, № 143. С. 298–325. (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-143-298-325

10. Никаноров С., Павлова Н. Study of the Continuous-Time Open Dynamic Leontief Model as a Control System Proceedings of 2023 16th International Conference Management of Large-Scale System Development, MLSD 2023, P. 1-5 (год публикации - 2023)
10.1109/MLSD58227.2023.10303878

11. Котюков А., Павлова Н. Nonuniqueness of Equilibrium in Closed Market Model Advances in Systems Science and Applications, Vol. 23. Issue 2. P. 184–194 (год публикации - 2023)
10.25728/assa.2023.23.2.1421

12. Патрина А.С. О краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, моделирующей электрическую активность головного мозга Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 144. С. 383-394. (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-144-383-394

13. Сумин М.И. О роли множителей Лагранжа и двойственности в некорректных задачах на условный экстремум. К 60-летию метода регуляризации Тихонова Вестник российских университетов. Математика, Т. 28. № 144. С. 414-435. (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-144-414-435

14. Котюков А., Павлова Н. Алгоритм поиска точек совпадения в сложных системах Управление большими системами: сборник трудов, Вып. 107. С. 6-27 (год публикации - 2024)
10.25728/ubs.2024.107.1

15. Жуковская Т.В., Серова И.Д. О существовании решений функционального включения с отклоняющимся арументом Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Международная школа молодых ученых "Моделирование и оптимизация сложных систем", Сборник тезисов докладов международной конференции и международной школы молодых ученых. Суздаль, 28 июня - 4 июля. С. 160-161 (год публикации - 2024)

16. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. On Local Behavior of Newton-Type Methods Near Critical Solutions of Constrained Equations Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 203, pp. 1103–1126 (год публикации - 2024)
10.1007/s10957-023-02367-1

17. Доровских Д. И., Измаилов А.Ф.,Усков Е.И. Глобализация сходимости кусочных ньютоновских методов Вестник российских университетов. Математика, Т. 29, вып. 146, с. 149–163 (год публикации - 2024)
10.20310/2686-9667-2024-29-146-149-163

18. Фишер А., Измаилов А.Ф., Солодов М.В. The Levenberg–Marquardt method: an overview of modern convergence the ories and more Computational Optimization and Applications, Vol. 89, pp. 33–67 (год публикации - 2024)
10.1007/s10589-024-00589-1

19. Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум Труды Института математики и механики УрО РАН, Т. 30, № 2. С. 203–221. (год публикации - 2024)
10.21538/0134-4889-2024-30-2-203-221

20. Жуковский Е.С., Патрина А.С. О взаимосвязи периодических решений непрерывных и разрывных моделей электрической активности головного мозга Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Международная школа молодых ученых "Моделирование и оптимизация сложных систем", Сборник тезисов докладов международной конференции и международной школы молодых ученых. Суздаль, 28 июня - 4 июля. С. 161-162. (год публикации - 2024)

21. Жуковский Е.С., Серова И.Д. Метод сравнения в исследовании уравнений и включений Сциентиа, Санкт-Петербург , 1,04 Мб; 100 с. (год публикации - 2024)
10.32415/scientia_978‑5‑907902‑07‑7

22. Климов П., Сенгупта Р. On the Compatibility of Metric and Linear Order Advances in Systems Science and Applications, Vol. 03, pp. 1–10 (год публикации - 2024)

23. Мальков И., Бурлаков Е., Верхлютов В., Ушаков В. A Model of Travelling Waves in the Neural Medium with Directional Variability of Inhibitory Effects Studies in Computational Intelligence, Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research VIII, pp. 244–253 (год публикации - 2024)

24. Фишер А., Измаилов А.Ф., Желитте М. Behavior of Newton-Type Methods Near Critical Solutions of Nonlinear Equations with Semismooth Derivatives Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 203, pp. 2179–2205 (год публикации - 2024)
10.1007/s10957-023-02350-w

25. Сумин В.И., Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимизации систем вольтеррова типа с операторными ограничениями Дифференциальные уравнения, Т. 60, № 2, С. 237-259. (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124020074

26. Сумин В.И., Сумин М.И. Регуляризация классических условий оптимальности в задачах оптимизации линейных распределенных систем вольтеррова типа с поточечными фазовыми ограничениями Вестник российских университетов. Математика, Т. 28, № 148. С. 455-484 (год публикации - 2024)
10.20310/2686-9667-2024-29-148-455-484

27. Котюков А.М., Павлова Н.Г. О положении равновесия в экономических системах XIV ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ, С. 260-264 (год публикации - 2024)

28. Котюков А., Павлова Н. Equilibrium in Allen Type Dynamic Market Model 2024 17th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD), Pp. 1-4 (год публикации - 2024)

29. Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация принципа Лагранжа в нелинейной задаче оптимального управления с поточечным фазовым ограничением-равенством Вестник российских университетов. Математика, том 30, выпуск 151, страницы 275–304 (год публикации - 2025)
10.20310/2686-9667-2025-30-151-275-304

30. Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация принципа Лагранжа в нелинейных задачах на условный экстремум Журнал вычислительной математики и математической физики, том 64, номер 12, страницы 2312–2331 (год публикации - 2024)
10.31857/S0044466924120076

31. Бурлаков Е., Олейник А., Поносов А. TravellingWaves in Neural Fields with Continuous and Discontinuous Neuronal Activation Mathematics, Volume 13, Issue 5, pp. 1-17. (год публикации - 2025)
10.3390/math13050701

32. Мальков И., Бурлаков Е., Верхлютов В., Ушаков В. On Reconstruction of Cortical Traveling Wave Parameters from MEG Data Using Neural Field Equations with Directionally Variable Excitation and Inhibition Parameters Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research IX. NEUROINFORMATICS 2025. Studies in Computational Intelligence, SCI, volume 1241, pp 646–655. (год публикации - 2025)
10.1007/978-3-032-07690-8_51

33. Жуковская Т.В., Патрина А.С. Один метод исследования системы дифференциальных уравнений, моделирующих динамику электрической активности мозга Нано-био-технологии. Тепло- и электроэнергетика. Математическое моделирование: сборник статей международной научно-практической конференции 27–28 февраля 2025 года, г. Липецк, С. 250-254. (год публикации - 2025)

34. Павлова Н.Г. Применение теории накрывающих отображений к исследованию математических моделей рынка Теория управления и математическое моделирование : материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, Россия, 16–20 июня 2025 г.) : в 2 ч. Ч. 2., С. 266-269. (год публикации - 2025)

35. Котюков А., Павлова Н. On Equilibrium in Allen Type Dynamic Models 18th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD), P. 1-4. (год публикации - 2025)
10.1109/MLSD65526.2025.11220684

36. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Transformations of variables and transformations of equations via the perturbed Newton method framework Computational Optimization and Applications, P. 1-16. (год публикации - 2025)
10.1007/s10589-025-00734-4

37. Сенгупта Р. О зависимости неподвижной точки от параметра в ( q_1 , q_2 )-квазиметрических пространствах Вестник российских университетов. Математика, том 30, выпуск 151, страницы 267–274 (год публикации - 2025)
10.20310/2686-9667-2025-30-151-267-274

38. Серова И.Д. Существование и оценки решений периодической краевой задачи для неявного дифференциального включения Теория управления и математическое моделирование : материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, Россия, 16–20 июня 2025 г.) : в 2 ч. Ч. 1, С. 172-175. (год публикации - 2025)

39. Сумин В.И. Метод вольтерровых функциональных уравнений в проблеме сингулярности управляемых начально-краевых задач Теория управления и математическое моделирование : материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, Россия, 16–20 июня 2025 г.) : в 2 ч. Ч. 2., С. 145-148. (год публикации - 2025)

40. Сумин М.И. О регуляризации принципа Лагранжа в нелинейной задаче оптимального управления системой Гурса–Дарбу с поточечным фазовым ограничением-равенством Журнал вычислительной математики и математической физики, том 65, номер 11, страницы 1813–1833 (год публикации - 2025)
10.7868/S3034533225110052

41. Никаноров С.О., Павлова Н.Г. About Correctness of Mathematical Models of Economic Processes Described by Differential Equations 18th International Conference on Management of Large-Scale System Development (MLSD), С. 1-4. (год публикации - 2025)
10.1109/MLSD65526.2025.11220747

42. Измаилов А., Солодов М. A General Perturbed Newtonian Framework and Critical Solutions of Nonlinear Equations Set-Valued and Variational Analysis, Volume 33, article number 3, (2025) (год публикации - 2025)
10.1007/s11228-025-00739-5

43. Котюков А.М., Павлова Н.Г. О равновесии в динамической рыночной модели типа Аллена XVIII Всероссийская мультиконференция по проблемам управления (МКПУ–2025) : материалы мультиконференции (Тула, 15 сентября – 20 сентября 2025 г.) : в 4 т. Т. 2. Управление в распределенных и сетевых системах (УРСС – 2025), С. 49-52. (год публикации - 2025)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
На втором этапе Проекта были продолжены исследования по нелинейному анализу в упорядоченных и обобщенно метрических пространствах, теории управления и оптимизации вольтерровых систем, теории приближенных методов решения уравнений и задач оптимизации. На основании разработанных в проекте методов разрабатывались и исследовались математические модели экономических процессов, динамики электрических потенциалов коры головного мозга, динамики развития эпидемий, модель взаимодействия растительной биомассы, насекомого-вредителя и энтомофага в тепличной системе. Исследования проводились по всем основным направлениям Проекта: Задача I. Определено и исследовано понятие согласованности метрики и порядка. Продолжено изучение топологии, порожденной квазиметрикой. Исследованы свойства замкнутости и секвенциальной замкнутости, компактности, секвенциальной компактности и полной ограниченности множеств. С использованием этих результатов исследованы условия существования экстремальных точек в квазиметрических пространствах, аналогичные условиям Каристи. Рассмотрены уравнения в квазиметрических пространствах, исследованы вопросы существования решений операторных уравнений, оценки отклонения множества решений от заданного элемента квазиметрического пространства. На основании этих результатов исследованы различные типы вольтерровых функциональных уравнений (в классах измеримых функций, суммируемых функций, непрерывных функций), явно не разрешенные относительно искомой функции. Получены условия существования и оценки решений, исследована структура множества решений и зависимость множества решений от параметра. Задача II. Исследования по направлению II были посвящены регуляризации классических условий оптимальности (КУО) – принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина – в выпуклых задачах оптимального управления для управляемых вольтерровых систем с операторными ограничениями, в частности, с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, а также с возможно не сильно выпуклым функционалом цели. В качестве базовой управляемой системы рассматривалось линейное функционально-операторное уравнение II рода общего вида в пространстве $L_2$, основной оператор правой части которого предполагался квазинильпотентным. Получены регуляризованные КУО, которые формулируются как теоремы существования минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги, состоящих из минималей функции Лагранжа, с двойственными переменными, генерируемыми в соответствии с процедурой регуляризации двойственной задачи. Совокупность свойств, о которых идет речь в указанных теоремах существования, дают основание трактовать их также как теоремы сходимости МПР. Результаты «расшифрованы» применительно к двум конкретным вольтерровым системам рассматриваемого класса: начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения типа уравнения переноса и начальной задаче для системы с запаздыванием. Кроме того, проведена регуляризация принципа Лагранжа в недифференциальной форме в параметрической (т.е. зависящей от параметров) выпуклой задаче на условный экстремум с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве и конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Задача III. Получены результаты о локальном притяжении ньютоновских методов к особым решениям уравнения, оператор которого обладает сильно полугладкой производной, но может не быть дважды дифференцируем. Эти результаты применены к переформулировке комплементарных задач через гладкую функцию дополнительности. Для уравнений с дополнительными ограничениями и неизолированными решениями, и для определенного класса ньютоновских методов показано, что при выполнении в решении условия 2-регулярности по некоторому направлению в ядре производной, являющемуся касательным к допустимому множеству (но не обязательно направленным в его внутренность), существует большая (не асимптотически тощая) область начальных точек, из которых итерации корректно определены и порождают последовательность, сходящуюся именно к этому решению. Получены способы глобализации сходимости вариантов метода Ньютона для кусочно-гладких нелинейных уравнений, а также метода Гаусса-Ньютона для случая наличия дополнительных ограничений. Разработан общий подход к получению тонких результатов о локальной сходимости метода Левенберга-Марквардта и метода Ньютона с подзадачами линейного программирования для нелинейных уравнений с ограничениями, суммирующий и уточняющий ряд известных результатов такого рода, допускающих неизолированность решений. Задача IV. Предложена и исследована интегро-дифференциальная модель динамики электрических потенциалов коры головного мозга, являющаяся обобщением модели нейронного поля Амари и содержащая формализации функциональной микроструктуры нейронной среды, а также пространственной дифференциации тормозных связей в нейронном поле. Предложена и исследована вольтеррова функционально-дифференциальная модель динамики развития эпидемий, содержащая ряд параметров, позволяющих учитывать особенности заболеваний ВИЧ/СПИД и COVID-19. Для вольтерровой функционально-дифференциальной системы, описывающей взаимодействие растительной биомассы, насекомого-вредителя и энтомофага в тепличной системе, получены достаточные условия существования локальных и глобальных решений моделирующих уравнений, содержащих управляющие параметры, которые формализуют следующие воздействия на экосистему теплиц: а) внесение в тепличную систему энтомофага; б) удаление поражённых частей растений. Результаты второго этапа НИР представлены на российских и международных научных конференциях, семинарах, опубликованных в 15 статьях в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах, в том числе 11 статей в журналах, индексируемых Web of Science, Scopus, RSCI (информацию о проекте и ссылки на публикации результатов в отечественных журналах см. https://elibrary.ru/item.asp?id=53913806).

Публикации