Нелинейные задачи математической физики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-21-00023

НазваниеНелинейные задачи математической физики

Руководитель Баданин Андрей Васильевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова уравнения Буссинеска, обратная задача, асимптотики, матрицы Якоби оператор Шрёдингера, энергозависимые потенциалы, резонансы, дискретный магнитный оператор Шредингера, периодические графы, оценки спектральных зон, формулы следов

Код ГРНТИ27.39.21

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В рамках проекта планируется решить следующие задачи. 1. Решение обратной спектральной задачи для оператора третьего порядка с малыми коэффициентами. Решение уравнения Буссинеска с малыми начальными данными. Описание переменных действие-угол для уравнения Буссинеска. В гидродинамике приближение Буссинеска для волн на воде является приближением, применимым для слабонелинейных и достаточно длинных волн. Решения уравнений Буссинеска могут терять гладкость со временем. Это явление является причиной многих природных и технических катаклизмов. Поэтому изучение этого явления очень важно для приложений. В работе 1981 года H.McKean изучал уравнение Буссинеска методом обратной спектральной задачи. Мы ставим задачу дать строгое доказательство результатов H.McKean'а. В частности мы решаем обратную задачу для соответствующего периодического оператора третьего порядка для малых начальных данных. Кроме того, мы предполагаем описать переменные действие-угол для уравнения Буссинеска. 2. Решение обратной задачи по резонансам для операторов Якоби на полуоси с матричнозначными потенциалами с ограниченным носителем, исследование асимптотических свойств резонансов. Исследование спектральных свойств операторов Якоби с различными периодическими коэффициентами на положительной и отрицательной полуосях. Исследование спектральных свойств периодических операторов Якоби с дислокацией, то есть операторов, периодические коэффициенты которых на положительной и отрицательной полуосях отличаются сдвигом. Изучаемые операторы возникают в различных моделях квантовой и классической механики, например, при описании контакта двух периодических сред или среды, периодичность которой нарушена в одной точке. Резонансы оператора Якоби на полуоси с матричнозначными коэффициентами практически не изучены. Спектральные свойства операторов с двумя различными периодическими коэффициентами и операторов с дислокацией не изучены, нет результатов о возможном положении собственных чисел относительно непрерывного спектра. 3. Исследование обратной задачи по резонансам для операторов Шрёдингера на полуоси с энергозависимыми потенциалами, исследование асимптотических свойств резонансов и решение задачи характеризации резонансов для операторов Шрёдингера со ступенчатыми потенциалами, возмущенными потенциалами с компактным носителем. Изучаемые операторы возникают в различных моделях квантовой и классической механики, например, при описании взаимодействия релятивистских бесспиновых частиц с ненулевой массой. Резонансы для таких гамильтонианов мало изучены, в частности, не рассматривалась обратная задача в терминах резонансов. Задача характеризации резонансов не решена ни для одного оператора и их асимптотические свойства мало изучены. 4. Изучение спектральных свойств дискретного магнитного оператора Шредингера на периодических графах. Данный оператор возникает в физике твердого тела при изучении энергетических зон кристаллических структур в приближении сильной связи. Задачей проекта является установление взаимосвязей между геометрическими параметрами графа и спектральными свойствами оператора. Планируется: - получить формулы следов для магнитного оператора Шредингера с периодическими электрическим и магнитным потенциалами на периодических графах; - оценить суммарную длину спектральных зон магнитного оператора Шредингера в терминах геометрических параметров графа, магнитных потоков и электрического потенциала; - получить асимптотики спектральных зон магнитного оператора Шредингера для случая малых магнитных потоков. Формулы следов для магнитного оператора Шредингера на периодических графах отсутствуют в литературе. Некоторые верхние оценки суммарной длины спектральных зон магнитного оператора Шредингера были получены в работах Коротяева Е.Л. (совместно с Сабуровой Н.Ю.) в 2017-2020 гг. Оценки снизу нам неизвестны. Спектр магнитного оператора Шредингера для случая малых магнитных потоков на произвольном периодическом графе не исследовался.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Коротяев Е.Л., Леонова Е.О. Inverse Resonance Problem for Jacobi Operators on a Half-Lattice Russian Journal of Mathematical Physics, Russ. J. Math. Phys. 30, 320–344 (год публикации - 2023)
10.1134/S1061920823030056

2. Баданин А.В., Коротяев Е.Л. Обратная задача для L-оператора пары Лакса уравнения Буссинеска на окружности Функциональный анализ и его приложения (год публикации - 2023)

3. Баданин А.В., Коротяев Е.Л. Преобразование Маккина для операторов 3-го порядка Записки научных семинаров ПОМИ, Записки научных семинаров ПОМИ, т.533, 2024, стр.44-54 (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Мы исследовали преобразование Маккина для несамосопряженного оператора 3-го порядка с периодическими коэффициентами. Это преобразование сводит спектральную задачу для оператора 3-го порядка к спектральной задаче для оператора Шредингера с периодическим энергозависимым потенциалом. Мы доказали существование преобразования при малых коэффициентах оператора 3-го порядка и изучили основные его свойства. Мы получили оценки потенциала оператора Шредингера в терминах коэффициентов оператора 3-го порядка. Мы доказали, что в случае малых коэффициентов преобразование Маккина устанавливает биективное соответствие между спектральными данными для оператора 3-го порядка и оператора Шредингера. Мы решили обратную спектральную задачу для оператора 3-го порядка с 3-точечными условиями по спектру и нормировочным постоянным. 2. Для оператора Шрёдингера на полуоси с граничным условием Дирихле в нуле и ступенчатым потенциалом с гладким возмущением получены асимптотики резонансов и формулы, описывающие число резонансов в большом круге и в окрестности главного члена асимптотики. Введена нумерация резонансов. 3. Установлены изоморфизмы между обратными задачами по собственным значениям плюс нормировочные числа Трубовица и по собственным значениям плюс нормировочные числа Марченко. Изоморфизмы между этими спектральными данными, то есть между этими задачами, строятся с помощью диагонального оператора и спектрального отображения 4-спектра. Отображение 4-спектра равно отображению длин лакун для соответствующей периодической матрицы Якоби. Иными словами, мы решаем задачу для конечной матрицы с помощью решения задачи для периодической матрицы. Интернет-ресурсы https://arxiv.org/abs/2409.10988 https://arxiv.org/abs/2408.01886 https://arxiv.org/abs/2408.01873 https://arxiv.org/abs/2406.09668 http://www.pdmi.ras.ru/znsl/2024/v533.html https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=4169&option_lang=rus

Публикации