Избранные задачи геометрической теории функций и теории потенциала

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-21-00056

НазваниеИзбранные задачи геометрической теории функций и теории потенциала

Руководитель Дубинин Владимир Николаевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук , Приморский край

Конкурс №78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова Емкости конденсаторов, симметризация, римановы поверхности, гармоническая мера, конформные инварианты, голоморфные функции, экстремальные многочлены, рациональные функции, гипергеометрические функции.

Код ГРНТИ27.27.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В рамках данного проекта предполагается решение классических и современных задач геометрической теории функций и теории потенциала. На этом пути предполагается развитие предложенных ранее участниками проекта оригинальных методов исследований. Впервые будет установлена асимптотическая формула для емкости конденсатора с переменными уровнями потенциала и свободной областью определения. Методом диссимметризации конденсаторов планируется решить хорошо известную задачу Гончара-Бернстайна о гармонической мере радиальных разрезов. С помощью установленных нами ранее принципов мажорации для голоморфных функций и квадратичных форм с участием функций Грина и функций Робена будут доказаны принципиально новые теоремы искажения для многолистных функций с учетом их граничного поведения. В том числе будут получены теоремы для голоморфных функций со свободной областью определения. В частности, будут доказаны дифференциальные неравенства для полиномов и рациональных функций с критическими значениями на заданном отрезке. С помощью предложенной нами ранее техники диссимметризации конденсаторов будет установлена наилучшая к настоящему времени оценка критических значений рациональных функций. Применение открытой нами ранее симметризации конденсаторов на римановой поверхности приведет к точным дифференциальным неравенствам для конечных произведений Бляшке. Нами планируется установить неравенства бернштейновского типа для рациональных функций с различными мажорантами на одном и нескольких отрезках. Усиление ожидается за счет включения в оценки коэффициентов числителей рассматриваемых рациональных функций. В рамках изучения свойств полиномов предполагается рассмотрение симметризационных преобразований на римановых поверхностях функций, обратных подходящим полиномам Шабата. Еще одним направлением исследования будет вопрос сходимости функций, построенных по полиномам, подтверждающих асимптотическую точность недавно доказанных неравенств бернштейновского типа, к функциям Грина соответствующих областей. Планируется исследовать свойства специальных функций, возникающих при решении экстремальных задач. В частности, будет уделено внимание изучению гипергеометрических функций и их обобщений. В этом направлении предполагается получить некоторые оценки, доказать новые интегральные представления, установить формулы преобразований для гипергеометрических функций с целыми параметрическими разностями. Для пространственных конденсаторов будет получена асимптотическая формула емкости вырождающегося конденсатора со свободным участком границы, установлена связь этой асимптотики с дискретной энергией функции Робена либо Неймана. Все поставленные в проекте задачи являются новыми и представляют несомненный интерес в теории потенциала, в геометрической теории функций и ее приложениях. Несмотря на бурное развитие соответствующих теорий и неоднократные обсуждения на конференциях и в различных публикациях по действительному и комплексному анализу, существующие методы исследований не дают ответа на конкретные вопросы, разрешить которые призван данный проект. К настоящему времени имеются решения лишь весьма частных случаев задач такого типа, полученные математиками разных школ. Уровень ожидаемых результатов сопоставим с мировым, а по ряду позиций опережает аналогичные зарубежные разработки в данной области науки.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Дубинин В.Н. Асимптотическая формула для емкости конденсатора при вырождении всех его пластин Дальневосточный математический журнал, Номер 2, том 23, с. 184-189 (год публикации - 2023)
10.47910/FEMJ202316

2. Дубинин В.Н. On the dissymmetrization theorem Сибирские электронные математические известия, Номер 1, том 20, с. 477-485 (год публикации - 2023)
10.33048/semi.2023.20.028

3. Дубинин В.Н. Вариационные формулы для конформной емкости Математический сборник, том 215, номер 1, страницы 99–111 (год публикации - 2024)
10.4213/sm9915

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Установлена наилучшая к настоящему времени оценка в выдвинутой руководителем проекта гипотезе о конечных произведениях Бляшке, ассоциированной с известной гипотезой Смейла о среднем значении для комплексных полиномов. Полученная оценка усиливает предыдущие результаты Шейл-Смолла в этом направлении. Установлены геометрические свойства римановой поверхности экстремальной функции. Показано, что изменение линии уровня гармонической функции с помощью классической вариации Адамара с малым параметром приводит к изменению интеграла Дирихле порядка квадрата этого параметра. В результате дополнена известная теорема Тейхмюллера о сумме модулей двусвязных областей, разбиваемых континуумом, близким к концентрической окружности. С использованием метода симметризации доказаны новые теоремы покрытия и искажения для голоморфных и ограниченных в круговом кольце функций, сохраняющих одну из его граничных компонент. В частности, установлены неравенства, включающие производную Шварца в граничных точках кольца. В качестве следствий получены дифференциальные неравенства для слабо однолистных в круге функций. Кроме того, полученные нами утверждения для функций, заданных в кольце, с помощью предельного перехода приводят к некоторым новым результатам для функций, голоморфных в единичном круге. Доказаны новые многоточечные теоремы искажения для рациональных функций с ограничениями на их нули, полюсы и критические значения. Показана выпуклость либо монотонность некоторых специальных функций, связанных с емкостями и возникающих при решении экстремальных задач в круговом кольце как на плоскости, так и в евклидовом пространстве. В частности, применяя симметризационные методы и асимптотические формулы для емкости конденсаторов с шаровыми пластинами и переменными уровнями потенциала, получено несколько оценок дискретной энергии функций Грина, Робена и Неймана кругового кольца. Исследованы свойства обобщенных гипергеометрических функций. Получено обобщение хорошо известной формулы суммирования Карлсона – Минтона. При этом обобщении единственная отрицательная параметрическая разность в формуле Карлсона – Минтона заменена на конечное число целых отрицательных разностей, некоторые из которых повторяются. Доказано рекуррентное соотношение, которое уменьшает размерность вычисленной в единице гипергеометрической функции с целыми параметрическими разностями. Показано, что преобразования типа Эйлера - Пфаффа основаны на формулах суммирования для конечных гипергеометрических функций. https://rscf.ru/project/23-21-00056/

Публикации

1. Бахтин К.E., Прилепкина Е.Г. On summations of generalized hypergeometric functions with integral parameter differences Mathematics, Vol. 12, No. 11. – P. 1656. (год публикации - 2024)
10.3390/math12111656

2. Афанасьева-Григорьева А.С., Гуляева К.А., Прилепкина Е.Г. Generalized reduced modulus in Euclidean space Lobachevskii Journal of Mathematics, Т. 45. № 1. С. 353-363. (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224010037

3. Дубинин В. Н. Произведения Бляшке и гипотеза Смейла о комплексных полиномах Математические заметки, Том 116, выпуск 2, страницы 229–235 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14315

Возможность практического использования результатов
Возможность практического использования результатов проекта в экономике и социальной сфере в ближайшей перспективе не очевидна. Полученные фундаментальные результаты исследований в области комплексного анализа, в частности, новые вариационные формулы для конформной емкости, могут найти применения в технологиях, связанных с аэродинамикой и гидродинамикой. Результаты по специальным функциям гипергеометрического типа могут использоваться в некоторых задачах, связанных с радиотехникой.