Задачи с параметрами для уравнений и систем с разрывными правыми частями

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-21-00069

НазваниеЗадачи с параметрами для уравнений и систем с разрывными правыми частями

Руководитель Потапов Дмитрий Константинович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова задачи с параметрами, разрывные правые части, обыкновенные дифференциальные уравнения, нелинейная задача Штурма-Лиувилля, задача Гольдштика, автоматическая система управления, релейная характеристика с гистерезисом, внешнее периодическое возмущение, вынужденные колебания

Код ГРНТИ27.29.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Предполагается исследование некоторых классов задач с параметрами для нелинейных уравнений и систем с разрывными правыми частями. С развитием науки и совершенствованием технологий в различных областях знаний появляются новые приложения, в которых применение уравнений или систем с разрывными правыми частями отвечает поставленным целям. Прикладные задачи требуют изучения различных типов разрывных нелинейностей в невозмущенных и возмущенных системах, рассмотрения вопросов существования в них различных типов решений: обобщенных, сильных, полуправильных, периодических и непериодических. Оценка числа решений является также актуальной задачей. Активное изучение таких задач, особенно в последние годы, свидетельствует об актуальности данной проблематики исследований. В этом проекте предполагается исследовать задачи Штурма-Лиувилля с разрывными нелинейностями и один класс возмущенных гистерезисных систем с параметрами. Отметим, что гистерезис занимает важное место среди активно исследуемых нелинейных явлений. Планируется установить новые теоремы о существовании, оценках, свойствах и конфигурациях решений рассматриваемых задач при различных значениях параметров, а также разработать ряд теоретических положений, которые внесут существенный вклад, в том числе новые знания, в теорию нелинейных дифференциальных уравнений и современную теорию нелинейных колебаний. В качестве приложения будет рассмотрена задача Гольдштика об отрывных течениях несжимаемой жидкости.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Евстафьева В.В. Колебательные решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с трёхпозиционным гистерезисным реле без выхода в зоны насыщения Дифференциальные уравнения, Т. 59. № 6. С. 712-725. (год публикации - 2023)
10.31857/S037406412306002X

2. Камачкин А.М., Евстафьева В.В., Потапов Д.К. Существование единственной неподвижной точки отображений, порождённых многомерной системой с релейным гистерезисом Дифференциальные уравнения, Т. 59. № 7. С. 996-1000. (год публикации - 2023)
10.31857/S0374064123070129

3. Басков О.В., Потапов Д.К. О решениях краевой задачи для одного дифференциального уравнения второго порядка с параметром и разрывной правой частью Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 63. № 8. С. 1296-1308. (год публикации - 2023)
10.31857/S0044466923080021

4. Евстафьева В.В. Критерий существования двухточечно-колебательного решения возмущенной системы с реле Математические заметки, Т. 114. Вып. 2. С. 260-273. (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13757

5. Басков О.В., Потапов Д.К. О решениях модельной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с параметром и разрывной правой частью Математический форум (Итоги науки. Юг России). Т. 15. Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Теория операторов и дифференциальные уравнения: Тезисы докладов XVII Международной научной конференции. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН., Т. 15. С. 172-173. (год публикации - 2023)

6. Басков О.В., Потапов Д.К. Управление и возмущение в задаче Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, Т. 19. Вып. 2. С. 275-282. (год публикации - 2023)
10.21638/11701/spbu10.2023.212

7. Потапов Д.К. Вариационное неравенство для задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью Сибирские электронные математические известия, Т. 20. № 2. С. 981-986. (год публикации - 2023)
10.33048/semi.2023.20.059

8. Потапов Д.К. Аппроксимация задачи Штурма-Лиувилля с разрывной нелинейностью Дифференциальные уравнения, Т. 59. № 9. С. 1191-1198. (год публикации - 2023)
10.31857/S0374064123090042

9. Камачкин А.М., Евстафьева В.В., Потапов Д.К. Неподвижные точки отображений, порожденных системой обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом Еругинские чтения – 2023: Материалы XXI Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям. Ч. 1. Могилев: Белорусско-Российский университет., Ч. 1. С. 118-120. (год публикации - 2023)

10. Басков О.В., Потапов Д.К. Об одномерной задаче Гольдштика Спектральная теория операторов и смежные вопросы: Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию проф. Я.Т. Султанаева. Уфа: Изд-во БГПУ., С. 9-10. (год публикации - 2023)

11. Евстафьева В.В., Гусева М.Ю. Математическое моделирование периодического режима в неавтономной системе с неидеальным реле Математическая физика, механика и их приложения: Материалы Материалы Международной научной конференции, посвященной 75-летию академика АН РБ В.Ш. Шагапова. Уфа: РИЦ УУНиТ., С. 206-208. (год публикации - 2023)

12. Басков О.В., Потапов Д.К. О решениях одномерной задачи Гольдштика Математические заметки, Т. 115. Вып. 1. С. 14-23. (год публикации - 2024)
10.4213/mzm13890

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Рассмотрена проблема существования решений задачи Штурма-Лиувилля с несамосопряженным дифференциальным оператором и разрывной нелинейностью. Доказаны теоремы существования нетривиальных (положительных и отрицательных) решений при положительных значениях спектрального параметра. Рассмотрено уравнение с параметром и разрывным нелинейным оператором. Получены улучшенные оценки параметра и нормы оператора для этого уравнения. Рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с положительным параметром и разрывной правой частью, меняющей знак в точке скачка. Поставлены краевые задачи, в том числе со смешанными и периодическими краевыми условиями. Доказаны теоремы существования периодических решений краевых задач. В пространствах Лебега изучены интегральные уравнения с разрывными нелинейностями. Вариационным методом установлена теорема существования полуправильных решений. Для уравнений с параметром получена теорема существования нетривиальных полуправильных решений при достаточно больших значениях параметра. Рассмотрена однородная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывной слабой нелинейностью степенного роста на бесконечности. Вариационным методом получена теорема существования слабого полуправильного решения. Далее в уравнение введен положительный параметр как множитель при слабой нелинейности и изучен вопрос существования ненулевых слабых полуправильных решений полученной краевой задачи. Установлена теорема существования ненулевого слабого полуправильного решения при достаточно больших значениях параметра. Рассмотрена многомерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей, имеющей вещественные простые ненулевые собственные числа, с нелинейностью типа двухпозиционного реле с положительным гистерезисом и непрерывной ограниченной функцией возмущения. Изучены непрерывные двухточечно-колебательные решения с определенным периодом возврата изображающей точки на гиперплоскость переключения. При решении задачи Коши с начальным условием в точке переключения использован метод припасовывания. Построена система трансцендентных уравнений относительно параметров решения (моментов и точек переключения). Доказан критерий существования и единственности решения с некоторым фиксированным периодом возврата. Для системы в канонической форме с диагональной матрицей и вектором обратной связи специального вида (с одним ненулевым элементом) получены условия разрешимости системы трансцендентных уравнений относительно момента первого переключения при заданном периоде возврата и формулы для точек переключения. В случае, когда матрица системы имеет хотя бы одно отрицательное собственное число, а функция возмущения является периодической, доказана теорема существования периодических решений с двумя и четырьмя точками переключения за период. Исследована задача Коши для релейной системы с периодическим возмущением в виде укороченного ряда Фурье. Рассмотрены решения с произвольным периодом возврата в точку переключения. Получены оценки для решения канонической системы в случае, когда период возврата соизмерим с периодом функции возмущения, но не кратен ему. Установлены условия на параметры системы и решения, когда траектория решения находится в ограниченной области между поверхностями разрыва и когда их пересекает. Для полностью управляемой системы с матрицей, которая может иметь одно положительное собственное число, релейной нелинейностью с гистерезисом в качестве управления и периодическим возмущением установлены достаточные условия существования единственного периодического двухточечно-колебательного решения с периодом, соизмеримым с периодом возмущения. Доказана асимптотическая устойчивость решения с помощью метода фазовой плоскости. Для канонической системы, содержащей релейную нелинейность с параметром и периодическую функцию возмущения с параметром, получены условия на параметры системы, которые обеспечивают существование единственного решения с периодом, кратным периоду функции возмущения. Установлена функциональная зависимость параметра нелинейности от параметра функции возмущения. Предложен алгоритм нахождения параметров системы и момента первого переключения реле для случая, когда период решения задан. В качестве модели релейной автоматической системы управления с неустойчивым объектом управления и внешним воздействием рассмотрена трехмерная система в канонической форме с диагональной матрицей, содержащей положительное собственное число, с релейной нелинейностью, содержащей верхнее пороговое значение как параметр, и периодической функцией возмущения. Изучено периодическое решение с двумя точками переключения за период, равный периоду функции возмущения. Разработана программа для расчета параметров системы и решения, траектории аналитического решения и проверки условий переключения с заданной точностью. Проведено математическое моделирование колебательного режима работы автоматической релейной системы и построены траектории. Для релейной системы с гармоническим воздействием предложен подход, позволяющий расщепить многомерную систему на одно- и двухмерные подсистемы. Для двухмерной подсистемы с нетривиальной жордановой клеткой доказана теорема существования и единственности асимптотически устойчивого режима с периодом, кратным периоду воздействия. Показано, как получить этот режим с помощью настройки параметров реле. Рассмотрена система с релейной нелинейностью в специальном виде, который позволил аналитически вычислить неподвижную точку порождаемого этой системой оператора. Предложены способы выбора вектора, определяющего в фазовом пространстве системы расположение поверхностей разрыва, при котором существует единственная неподвижная точка на одной из этих поверхностей. Для системы с релейным несимметричным гистерезисом указаны условия, при которых изучаемая система определяет динамическую систему. Получены достаточные условия, при которых движения системы являются рекуррентными или периодическими. Рассмотрены различные конфигурации замкнутых фазовых траекторий и свойства точек переключения. Все полученные выше теоретические результаты проиллюстрированы примерами.

Публикации

1. Потапов Д.К. Об оценках в уравнении с параметром и разрывным оператором Дифференциальные уравнения, Т. 60. № 10. С. 1435-1440. (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124100129

2. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Dynamics of relay systems with hysteresis and harmonic perturbation Eurasian Mathematical Journal, Vol. 15. № 2. P. 48-60. (год публикации - 2024)
10.32523/2077-9879-2024-15-2-48-60

3. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. On motions of a dynamical system with a relay hysteresis Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Vol. 20. № 4. (год публикации - 2024)
10.20537/nd241105

4. Евстафьева В.В. Построение управления для многомерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом и возмущением Дифференциальные уравнения, Т. 60. № 10. С. 1368-1385. (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124100064

5. Евстафьева В.В., Гусева М.Ю. Исследование пространства параметров многомерной системы с релейным гистерезисом и возмущением Дифференциальные уравнения (год публикации - 2024)

6. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Слабые полуправильные решения задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений в дивергентной форме с разрывными слабыми нелинейностями Математический сборник (год публикации - 2025)

7. Евстафьева В.В. Об одном типе колебательных решений неавтономной системы с релейным гистерезисом Математические заметки, Т. 115. Вып. 5. С. 724-740. (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14020

8. Басков О.В., Потапов Д.К Existence of solutions to the non-self-adjoint Sturm–Liouville problem with discontinuous nonlinearity Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 64. № 6. P. 1254–1260. (год публикации - 2024)
10.1134/S0965542524700489

9. Камачкин А.М., Евстафьева В.В., Потапов Д.К. Аналитическое вычисление неподвижной точки оператора, порождаемого мгогомерной системой с релейным гистерезисом Дифференциальные уравнения, Т. 60. № 8. С. 1021-1033. (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124080029

10. Басков О.В., Потапов Д.К. О существовании решений задачи Штурма–Лиувилля с несамосопряженным дифференциальным оператором и разрывной нелинейностью Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сборник материалов Международной научной конференции (11 – 15 марта 2024 г.) / отв. ред. Р.Н. Гарифуллин. – Уфа: Аэтерна, 2024. – 76 с., Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения: сборник материалов Международной научной конференции (11 – 15 марта 2024 г.) / отв. ред. Р.Н. Гарифуллин. – Уфа: Аэтерна, 2024. – С. 12-13. (год публикации - 2024)

11. Гусева М.Ю. Расчет аналитического решения трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с релейным гистерезисом и возмущением Процессы управления и устойчивость, Т. 11. № 1. С. 195-199. (год публикации - 2024)

12. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Полуправильные решения интегральных уравнений с разрывными нелинейностями Математические заметки, Т. 116. Вып. 1. С. 109-121. (год публикации - 2024)
10.4213/mzm13983

13. Потапов Д.К. Управление в задаче Штурма-Лиувилля с разрывной правой частью Международная конференция «Системный анализ: моделирование и управление», посвященная памяти академика А.В. Кряжимского, Москва, 23–24 января 2024 г. : Тезисы докладов. – Москва : МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2024. – 128 с., Международная конференция «Системный анализ: моделирование и управление», посвященная памяти академика А.В. Кряжимского, Москва, 23–24 января 2024 г. : Тезисы докладов. – Москва : МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2024. – С. 95-97. (год публикации - 2024)
10.29003/m3791.978-5-317-07128-8

14. Евстафьева В.В. Теорема существования двухточечно-колебательного решения релейной возмущенной системы с отрицательным собственным числом матрицы Сибирские электронные математические известия, Т. 21. № 2. С. 990-1010. (год публикации - 2024)
10.33048/semi.2024.21.066

15. Евстафьева В.В. Об оценках решения многомерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с релейной нелинейностью и возмущением Математические заметки (год публикации - 2025)

Возможность практического использования результатов
Результаты проекта могут быть использованы в разработке новых строительных материалов с различной степенью пористости и многослойности для получения требуемых характеристик теплопроводности. Результаты исследования релейных систем с гистерезисом могут быть использованы, например, в устройствах обогрева помещений с регуляторами температуры в виде двухпозиционного неидеального реле. Основанный на научном подходе подбор параметров гистерезиса (ширины его петли) в термостатах обеспечит корректную и эффективную работу системы обогрева и оптимизирует расход энергии, поскольку очень узкая петля гистерезиса приводит к частым переключениям и износу оборудования. Слишком широкая петля ведет к резким перепадам температуры в помещении и перерасходу энергии.