КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 23-21-00161
НазваниеНепрямые численные методы решения задач оптимального управления в пространствах мер
Руководитель Старицын Максим Владимирович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук , Иркутская обл
Конкурс №78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления
Ключевые слова оптимальное управление, транспортные уравнения, уравнение неразрывности, уравнение баланса, принцип максимума Понтрягина, численные методы оптимального управления
Код ГРНТИ27.37.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект посвящен построению численных методов решения задач оптимального управления в пространствах мер. Роль управляемой системы играет уравнение переноса с источником/стоком; состоянием является распределение (мера) на евклидовом пространстве, а управлением - измеримая функция времени.
Подобные математические постановки являются естественными для формализации задач управления ансамблями большого числа структурно идентичных объектов, управления движением в условиях неопределенности и возмущения, а также управления квантовыми системами. Они широко применяются при моделировании коллективного поведения, при описании транспортных потоков, в моделях динамики общественного мнения, а также в области машинного обучения и искусственного интеллекта.
Целью исследования является разработка детерминированных численных методов решения указанных оптимизационных задач на основе необходимых условий оптимальности и точных формул приращения функционала, а также развитие вспомогательного математического аппарата теории управления в пространстве мер.
Несмотря на широкий спект приложений рассматриваемого класса задач оптимизации аналитические методы оказываются практически не применимы на практике, а работы по непрямым численным методам фактически отсутствуют. Публикации по результатам проекта могут стать первыми в указанном направлении.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1.
М. В. Старицын, Н. И. Погодаев, Е. В. Гончарова
Принцип максимума Понтрягина и непрямой метод спуска в задаче оптимального импульсного управления нелокальным уравнением переноса
Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", Т. 46, С. 66-84 (год публикации - 2023)
10.26516/1997-7670.2023.46.66
2.
Д.Ю. Карамзин, Ф. Л. Перейра
On Normality in Optimal Control Problems with State Constraints
Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 63, No. 6, pp. 973–989 (год публикации - 2023)
10.31857/S004446692306011X
3. М.В. Старицын, Л.Р. Д. Дрегля Сидоров Алгоритмы оптимального управления динамическим системами в пространстве мер на основе классических и нелокальных формул приращения Материалы конференции «Ляпуновские чтения 2023» (г. Иркутск, 4 – 8 декабря 2023 г.). – Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2023. – 184 с., с. 110 (год публикации - 2023)
4. А.В. Горбачева, Д.Ю. Карамзин Some examples of 2-order state-constrained optimal control problems and the maximum principle Материалы конференции «Ляпуновские чтения 2023» (г. Иркутск, 4 – 8 декабря 2023 г.). – Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2023. – 184 с., с. 36 (год публикации - 2023)
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В ходе реализации второго этапа проекта получены следующие основные результаты:
1. Впервые получен вариант классического принципа Понтрягина (ПМП) для линейной по состоянию задачи оптимального управления транспортным уравнением с источником на пространстве конечных знакопеременных борелевских мер (Задача 1).
2. Для Задачи 1 получены точные представления приращения целевого функционала на любой паре управлений (точные формулы приращения). Формулы приращения полностью выражаются в терминах сопряженной траектории и содержат явную конструкцию управлений спуска в форме обратной связи.
Доказаны необходимые условия оптимальности неклассического “позиционного” типа. Им отвечает новое для теории управления понятие экстремальности, основанное на принципе сравнения.
Как следствие необходимых условий построен непрямой детерминированный алгоритм монотонного спуска по функционалу, свободный от параметров “шага” и существенно более эффективный по сравнению с традиционными методами первого порядка на основе ПМП.
3. Для классической задачи управления с фазовыми ограничениями глубины 2 (Задача 2) получены оценки скачка производной функции – множителя Лагранжа в задаче оптимального управления.
Доказан ПМП с усиленным (поточечным) условием нетривиальности для задачи оптимального управления с фазовым ограничением k-го порядка (где k - натуральное число).
Рассмотрен пример задачи с фазовым ограничением k-го порядка. Доказано существование экстремалей со счетным накоплением контакта с границей допустимой области.
4. Изучена задача Коши с параметром, возмущенная линейным функционалом. Получены необходимые и достаточные условия на значения параметра, в окрестности которых существуют нетривиальные решения в классе вещественных непрерывных функций. Указан способ построения таких решений.
Публикации
1. Гончарова Е.В., Погодаев Н.И., Старицын М.В. Точные формулы приращения функционала в задаче оптимального управления линейным уравнением баланса Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика» (год публикации - 2025)
2.
Погодаев Н.И., Старицын М.В.
Exact formulae for the increment of the objective functional and necessary optimality conditions, alternative to Pontryagin's maximum principle
Sbornik: Mathematics, 215:6 (2024), 790–822 (год публикации - 2024)
10.4213/sm9967e
3. Карамзин Д.Ю. On the study of higher-order state-constrained control systems Proceedings of the 10th International Conference on Control, Decision and Information Technologies CoDIT 2024 | Valletta, Malta / July 01-04, 2024 (год публикации - 2024)
4.
Карамзин Д.Ю.
Некоторые оценки для скачка производной функции-множителя Лагранжа в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями второго порядка (Some Estimates for the Jump of the Derivative of the Lagrange Multiplier Function in Optimal Control Problems with Second-order State Constraints)
«The Bulletin of Irkutsk State University». Series «Mathematics» («Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta». Seriya «Matematika»), vol. 49, pp. 3–15 (год публикации - 2024)
10.26516/1997-7670.2024.49.3
5.
Дрегля Сидоров Л.Д., Сидоров Н.А.
Задача Коши с параметром, возмущенная линейным функционалом
Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры (Eng.: Journal of Mathematical Sciences), 237, ВИНИТИ РАН, M., 2024, 10–17 (год публикации - 2024)
10.36535/2782-4438-2024-237-10-17
Возможность практического использования результатов
Исследование носит теоретический характер.