Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Мы решаем задачи вариационного исчисления на (суб)римановых многообразиях. Получены следующие результаты: – Исследованы условия существования экстремалей для функционалов нелинейной теории упругости на группах Карно 𝐻-типа. Гомеоморфизмы (интерпретируемые как классы допустимых деформаций) принадлежат классам Соболева и имеют конечное искажение. Получены условия, при выполнении которых пределы последовательностей таких гомеоморфизмов также принадлежат классу Соболева, имеют конечное искажение и обладают 𝒩^{−1}-свойством Лузина. В случае групп Карно 𝐻-типа получены достаточные условия, налагаемые на области и последовательность гомеоморфизмов, при выполнении которых предельное отображение является инъективным почти всюду. Эти результаты играют ключевую роль при нахождении экстремальных решений задач математической теории упругости на группах Карно 𝐻-типа, для решения которой дополнительно доказаны свойства предельного отображения: неотрицательность якобиана, открытость, инъективность почти всюду, гомеоморфность. – Исследованы функциональные и геометрические свойства пределов гомеоморфизмов с интегрируемым искажением областей в группах Карно. Гомеоморфизмы принадлежат классам Соболева. Получены условия, при выполнении которых пределы последовательностей таких гомеоморфизмов также принадлежат классу Соболева, имеют конечное искажение и обладают 𝒩^{−1}-свойством Лузина. В случае групп Карно 𝐻-типа получены достаточные условия, налагаемые на области и последовательность гомеоморфизмов, при выполнении которых предельное отображение является инъективным почти всюду. Эти результаты играют ключевую роль при нахождении экстремальных решений задач математической теории упругости на группах Карно H-типа. – Предел локально равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией. Ю. Г. Решетняк получил естественное обобщение того, что в теории отображений с ограниченным искажением предел любой локально равномерно сходящейся последовательности отображений с ограниченным искажением является отображением с ограниченным искажением — и установил слабую непрерывность якобианов. Изучены аналогичные вопросы для последовательности гомеоморфизмов класса Соболева, определенной на области в двухступенчатой 𝐻-группе Карно. Показано, что если такая последовательность сходится к некоторому гомеоморфизму локально равномерно, последовательность горизонтальных дифференциалов ее членов ограничена в 𝐿𝜈;𝑙𝑜𝑐, а якобианы членов последовательности неотрицательны почти всюду, то последовательность якобианов сходится к якобиану предельного гомеоморфизма слабо в 𝐿1;𝑙𝑜𝑐; здесь 𝜈 — хаусдорфова размерность группы. – Рассмотрена проблема соответствия границ для последовательности гомеоморфизмов групп Карно, которые изменяют ёмкость конденсатора контролируемым образом. Для изучения общего граничного поведения этих отображений мы вводим некоторые метрики емкости в последовательности областей с невырожденным ядром. Пополнения относительно этих метрик добавляют к областям новые точки, называемые граничными элементами. В качестве одного из следствий мы получаем не только достаточные условия для глобальной равномерной сходимости последовательности гомеоморфизмов, но и некоторые приложения к теории упругости. – Исследована ёмкостная метрика на римановых многообразиях. С ее помощью вводятся емкостные граничные элементы, и изучается граничное поведение замкнутых отображений с ограниченным искажением в терминах граничных элементов. Получены глобальные свойства пространств емкостных граничных элементов, изучены взаимосвязи между граничными элементами при различных показателях. – Получена формула коплощади для соболевского отображения из первой группы Гейзенберга на R^2.