Алгебры и коалгебры инцидентности, их автоморфизмы и дифференцирования

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-21-00375

НазваниеАлгебры и коалгебры инцидентности, их автоморфизмы и дифференцирования

Руководитель Крылов Петр Андреевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет" , Томская обл

Конкурс №78 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра

Ключевые слова Алгебра инцидентности, коалгебра инцидентности, автоморфизм, дифференцирование

Код ГРНТИ27.17.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект носит теоретический характер и относится к теории колец. При работе над проектом будут использованы известные подходы и методы теории колец и модулей, а также новые методы и подходы, разработанные руководителем проекта ранее. В ходе выполнения проекта будут развиты и новые подходы. Планируется решить ряд основных вопросов о строении, свойствах алгебр и коалгебр инцидентности над произвольным коммутативным кольцом и таких их важнейших линейных отображений как автоморфизмы, изоморфизмы и дифференцирования. Будут найдены условия представимости группы автоморфизмов и группы внешних автоморфизмов алгебры инцидентности I(X, R) в виде полупрямого произведения групп с известным строением. В частности, будут найдены условия представимости каждого автоморфизма этой алгебры в виде произведения внутреннего, кольцевого, мультипликативного и порядкового автоморфизмов. Будет найдено строение подгруппы мультипликативных автоморфизмов, в частности, выяснено, когда всякий мультипликативный автоморфизм будет внутренним. При некоторых весьма общих предположениях будет доказано, что всякий изоморфизм двух алгебр инцидентности I(X, R) и I(Y, S) индуцируется изоморфизмом предупорядоченных множеств X и Y и изоморфизмом колец R и S. Будут найдены условия представимости группы дифференцирований и группы внешних дифференцирований алгебры инцидентности I(X, R) в виде прямой суммы групп с известным строением. Будет выяснено, при каких условиях всякое дифференцирование является суммой внутреннего, кольцевого и аддитивного дифференцирований. Будет найдено строение подгруппы аддитивных дифференцирований, в частности, выяснено, когда всякое аддитивное дифференцирование будет внутренним. Будут описаны автоморфизмы и дифференцирования коалгебры инцидентности частично упорядоченного множества Х для коммутативного кольца R. Будет найдено строение группы автоморфизмов и группы дифференцирований стандартной редуцированной алгебры инцидентности и коалгебры инцидентности, а также наследственной биалгебры и наследственной алгебры Хопфа. Будут найдены общие свойства и найдено строение тензорного произведения алгебр и коалгебр инцидентности. Сформулированные задачи имеют общий характер и относятся к широким и содержательным классам алгебр над коммутативными кольцами. Информация о строении и свойствах алгебр и коалгебр инцидентности интересна сама по себе и важна для понимания строения произвольных колец. Постоянно выходят статьи зарубежных математиков, посвященные алгебрам инцидентности и их различным линейным отображениям. Все указанные направления исследований важны для современной теории колец и модулей. Они находятся в центре внимания специалистов. Изучение алгебр и коалгебр инцидентности представляет большой интерес для алгебры и является актуальной задачей. Проектом предполагается исследовать автоморфизмы, изоморфизмы и дифференцирования алгебр инцидентности в довольно общей ситуации, практически покрывающей все основные рассматриваемые ранее случаи. Линейные отображения коалгебр и биалгебр инцидентности, алгебр инцидентности Хопфа специально не рассматривались. Поэтому планируемая работа по изучению автоморфизмов, изоморфизмов и дифференцирований данных коалгебр будет новой. Запланированные в ходе выполнения проекта результаты являются новыми и составят существенное развитие такой области теории колец как кольца и кокольца инцидентности и их линейные отображения.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Дудин И.В., Крылов П.А. Тензорное произведение алгебр инцидентности и групповых алгебр Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, https://elibrary.ru/item.asp?id=54678584 (год публикации - 2023)

2. Кайгородов Е. В., Крылов П. А. Кольца инцидентности и их автоморфизмы Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 91, стр. 41 -51 (год публикации - 2024)
10.17223/19988621/91/4

3. Крылов П. А., Норбосамбуев Ц. Д. Изоморфизмы алгебр инцидентности Вестник Томского государственного университета. Математика и механика (год публикации - 2024)

4. Дудин И.В., Крылов П.А. О некоторых изоморфизмах для алгебр инцидентности и групповых алгебр Алгебра и логика, Том 63, № 1 (год публикации - 2024)

5. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Об автоморфизмах и дифференцированиях редуцированных алгебр и коалгебр инцидентности Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 90, стр. 33 - 39 (год публикации - 2024)
10.17223/19988621/90/3

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В рамках исполнения проекта проводились работы по изучению автоморфизмов и дифференцирований алгебр и коалгебр инцидентности и некоторых связанных вопросов. В результате второго года выполнения работ были получены следующие результаты. 1. Доказано, что если алгебры инцидентности I(X, R) и I(Y, S) удовлетворяют условию (2), то любой изоморфизм между ними индуцирует изоморфизм частично упорядоченных множеств, ассоциированных с предупорядоченными множествами X и Y. Если дополнительно кольцо R удовлетворяет (n, m)-условию, то всякий изоморфизм между I(X, R) и I(Y, S) индуцирует изоморфизм предупорядоченных множеств X и Y. Для алгебр инцидентности I(X, R) и I(Y, S), удовлетворяющих условию (2), доказано, что всякий изоморфизм между ними равен композиции диагонального изоморфизма из I(X, R) в I(Y, S) и внутреннего автоморфизма алгебры I(Y, S). 2. Доказано, что всякое дифференцирование алгебры I(X, R) является суммой внутреннего, аддитивного и кольцевого дифференцирований. 3. Основной результат об аддитивных дифференцированиях алгебры инцидентности I(X, R) утверждает, что подмодуль внутренних аддитивных дифференцирований выделяется в Der(I(X,R)) прямым слагаемым. При этом дополнительное слагаемое состоит из дифференцирований, аннулирующих ребра фиксированного остовного дерева Т графа Х. В качестве следствий найдено несколько критериев того, чтобы данное аддитивное дифференцирование было внутренним. Пусть множество X является конечным связным и частично упорядоченным и центр C(R) кольца R - поле. При таких предположениях размерности пространства всех аддитивных дифференцирований и пространства аддитивных внешних дифференцирований выражены через следующие инварианты графа Х: число ребер, цикломатическое число и ранг некоторой матрицы циклов длины три. 4. Для коалгебры Со(Х, R), где Х – частично упорядоченное множество, R - поле, определены внутренние, мультипликативные и порядковые автоморфизмы. Установлено, что они соответствуют внутренним, мультипликативным и порядковым автоморфизмам соответственно алгебры инцидентности I(X, R). Доказано, что каждый автоморфизм коалгебры Со(Х, R) является произведением внутреннего, мультипликативного и порядкового автоморфизма. 5. Введены внутренние дифференцирования и аддитивные дифференцирования коалгебры Со(Х, R) и доказано, что каждое дифференцирование коалгебры Со(Х, R) записывается как сумма внутреннего дифференцирования и аддитивного дифференцирования. 6. Найдены автоморфизмы и дифференцирования полугрупповой алгебры наследственной биалгебры инцидентности В и наследственной алгебры Хопфа инцидентности H, которые являются автоморфизмами или дифференцированиями самой биалгебры В или алгебры H соответственно. 7. Найден канонический изоморфизм между тензорным произведением алгебры инцидентности I(X,R) на групповую алгебру R[G] и групповой алгеброй I(X,R)[G]. Найден также канонический инъективный гомоморфизм из групповой алгебры I(X,R)[G] в алгебру инцидентности I(X,R[G]). Если G – конечная группа или Х – конечное множество, то получаем изоморфизм. Установлено, что тензорное произведение коалгебр инцидентности будет коалгеброй инцидентности.

Публикации