Инварианты в маломерной топологии

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-21-10014

НазваниеИнварианты в маломерной топологии

Руководитель Таркаев Владимир Викторович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Челябинский государственный университет" , Челябинская обл

Конкурс №76 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс)

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология

Ключевые слова трёхмерное многообразие, узел, инвариант, топологическая квантовая теория поля, скобочный полином Кауффмана, утолщенная поверхность

Код ГРНТИ27.19.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на получение существенного прогресса в одной из центральных проблем маломерной топологии - классификации трёхмерных многообразий и узлов. Предполагается построение новых инвариантов как для трёхмерных многообразий, так и для узлов. При выполнении проекта основные усилия планируется направить на решение двух задач. Первая задача (задача А) состоит в развитии теории квантовых инвариантов трёхмерных многообразий. Она включает в себя категорификацию инвариантов Дейкграафа - Виттена для трёхмерных многообразий (задача А.1), и построение и изучение свойств инвариантов типа Тураева - Решетихина и Тураева - Виро, возникающих из фьюжен категорий малого ранга (задача А.2). Вторая задача (задача Б) состоит в построении новых инвариантов для узлов и зацеплений в трёхмерных многообразиях. Она включает в себя построение полиномиальных инвариантов, близких по смыслу к аффинному индексному полиному, для узлов в неориентируемых утолщениях неориентируемых поверхностей (задача Б.1), и в построение инвариантов классических зацеплений, значениями которых являются полиномы Лорана над телом кватернионов (задача Б.2). Ожидается, что решение перечисленных задач позволит получить существенное продвижение в развитии топологии трёхмерных многообразий и в теории узлов.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Кораблёв Ф.Г. Представления Фибоначчи группы кос Труды института математики и механики УрО РАН, № 4, Т. 30, С. 149-169 (год публикации - 2024)
10.21538/0134-4889-2024-30-4-149-169

2. Таркаев В.В. An analogue of the Kauffman bracket polynomial for knots in the non- orientable thickening of a non-orientable surface Results in Mathematics, Vladimir Tarkaev, An analogue of the Kauffman bracket polynomial for knots in the non- orientable thickening of a non-orientable surface // Results in Mathematics, Volume 79, article number 257, (2024). DOI:10.1007/s00025-024-02281-6 (год публикации - 2024)
10.1007/s00025-024-02281-6

3. Таркаев В.В. An analogue of Turaev comultiplication for knots in non-orientable thickening of a non-orientable surface Chelyabinskiy Fiziko-Matematicheskiy Zhurnal (год публикации - 2025)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Проект направлен на решение двух комплексных задач. Первая задача состоит в развитии теории квантовых инвариантов трёхмерных многообразий, вторая задача связана с построением и изучением свойств новых инвариантов узлов и зацеплений как в трёхмерной сфере, так и в других трёхмерных многообразиях. Результаты, полученные при решении этих задач: 1. Построено семейство многомерных инвариантов типа Дейкграафа - Виттена для компактных трёхмерных многообразий. Эти инварианты обобщают симметричные инварианты типа Дейкграафа - Виттена, построенные нами в ходе выполнения проекта в прошлом году. Каждый инвариант определяется выбором конечной группы G и так называемой специальной (или сильно специальной) G-системы. Подобного рода G-системы представляют собой совокупность конечномерных модулей, индексированных элементами группы, и набор тензоров специального вида на этих модулях. Доказано, что аксиом, которым удовлетворяют тензоры, составляющие эти G-системы, достаточно для инвариантности. 2. Найдены продолжения эпсилон-инварианта и гамма-инварианта трёхмерных многообразий до инвариантов типа Решетихина - Тураева. В частности, найдены структурные морфизмы, задающие соответствующие этим инвариантам модулярные фьюжен категории. Получены явные комбинаторные формулы, задающие инварианты ориентированных узлов и зацеплений в трёхмерной сфере, возникающие из этих категорий. 3. Описана конструкция изотопического инварианта крашенных классических и виртуальных зацеплений с двумя компонентами. Предлагаемая конструкция базируется на конструкции классического скобочного полинома Кауффмана, но получаемый в итоге инвариант является отображением из множества действительных чисел в тело кватернионов. Наш инвариант допускает обобщение на случай зацеплений с произвольным числом компонент. В этом случае он принимает значения в соответствующей алгебре Клиффорда.

Публикации