Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Предложенный подход к разработке алгоритма трехмерной реконструкции, в отличие от классических FBP-алгоритмов, сначала выполняет операцию обратного проецирования и затем фильтрацию. Алгоритм может быть описан двумя шагами: - Определяется средне взвешенная обратная проекция по прямой проекции, т.е. определяется не фильтрованные значения функции объекта. - Осуществляется фильтрация средне взвешенной обратной проекции, т.е. определяется фильтрованные значения функции объекта. На втором шаге алгоритма вводится уравнение визуализации, которое позволяет рассматривать задачу реконструкции, как задачу восстановления изображения с инвариантной к сдвигу функцией рассеяния точки. Предложенный подход рассмотрен для спиральной траектории источника излучения, удовлетворяющей условию полноты Кириллова-Смита-Туя. Определение средне взвешенной обратной проекции по прямой проекции проводится на основании трехмерного преобразование Радона. В итоге, получаем нефильтрованное уравнение визуализации функции объекта. Нефильтрованное уравнение визуализации функции объекта не возможно использовать для реконструкции изображения, т.к. в него входит произвольная функция рассеяния точки (ФРТ) неопределенного вида. Показано, что произвольной ФРТ можно путем ее итерации свести к ядру свертки. Приводится математическое доказательство итерационного подхода в определении ядра свертки, используя свойства и преобразования сложной дельта-функции. Количество итераций в приближении к ядру свертки было выбрано равным двум, что обеспечивает изменение угла сканирования в требуемых пределах от 0 до 360 градусов. Показано, что при использовании итераций в приближении к ядру свертки и значений радиуса траектории источника больше радиуса объекта исследования, мы можем получить в виде трехмерной свертки с двумерным фильтром 2D поперечных плоскостей объекта фильтрованное уравнение визуализации, к которому может быть применено преобразование Фурье. Проведено исследование решения фильтрованного уравнения визуализации в Фурье области. Показано, что для повышения устойчивости реконструкции томографического изображения требуется, как и в двумерной рентгеновской КТ с плоским веерным пучком излучения, умножение на функцию "окна", ограничивающего влияние высоких частот объекта исследования. В качестве функции "окна" могут быть выбраны двумерные «окна» Хемминга, Ханна, Шеппа-Логана. 2. Определение фильтрованного уравнения визуализации позволило перейти к разработке вычислительного алгоритма реконструкции томографического изображения для конусного пучка рентгеновского излучения, т.е. к решению обратной задачи томографии. Был разработан алгоритм: а). Определение взвешенной обратной проекции по прямым проекциям. б). Определение прямого преобразования Фурье взвешенной обратной проекции. в). Определение прямого преобразования Фурье ядра свертки (фильтра). г). Определение обратного фильтра. д). Определение Фурье преобразования искомой функции объекта исследования. ж). Определение томографического изображения через обратное преобразование Фурье функции Фурье преобразования искомой функции объекта исследования. 3. Для моделирования и проверки разработанного алгоритма трехмерной реконструкции томографического изображения в конусном пучке излучения решена прямая задача рентгеновской компьютерной томографии с конусным пучком излучения и спирального сканирования - получение прямых проекций. 4. Программный алгоритм определения проекционных данных применен для объекта исследований, заданного в виде математической модели тестового фантома. 5. Проведено исследование устойчивости трехмерного алгоритма реконструкции и качества томографических изображений при заданном шуме проекционных данных. Для исследований использовались разработанные программы (программные коды) модели объекта исследования, получения проекционных данных (прямая задача) и реконструкции томографического изображения (обратная задача). Получены следующие результаты: - томографическое изображение представляется в виде значений "серо-белого" набора пикселей, ошибка вычисляется для каждого пикселя изображения, как среднеквадратическая ошибка идеального изображения и при влиянии фактор, - влияние двумерных вышеназванных «окон», а также для двухмерных "окон", разработанных автором проекта, на погрешность томографического изображения практически нет, - влияние ошибок дискретизации вычислений, детекторной системы, источника излучения на погрешность томографического изображения такое же, как и для «классической» двумерной томографии, - влияние шума проекционных данных имеет существенное значение. Разработана методика исследования устойчивости трехмерного алгоритма реконструкции, основанная на анализе шума восстановленного томографического изображения при наложении на проекционные данные аддитивного гауссовского шума. Показано, что ошибка реконструкции томографического изображения по не зашумленным проекционным данным с 5%-ым шумом равна 6,8%. Научные результаты: 1. Было математически показано, что лучевую сумму для конусного пучка и спирального сканирования можно представить через преобразование Радона, чье ядро – линейная дельта-функция в 3D пространстве. Также было показа-но, что обратная проекция конусного пучка может быть определена усреднением значений лучевых сумм, связанных с трехмерным преобразованием Радона. Получена связь обратной проекции с интегральным уравнением искомой функции объекта и произвольной функцией рассеяния точки (ФРТ) неопределенного вида - ядра уравнения. Это интегральное уравнение есть нефильтрованное уравнение визуализации функции объекта. Общее решение его не представляется возможным. 2. Однако, было показано, используя свойства и преобразования дельта-функции и условие, что расстояние от источника излучения до центра объекта больше радиуса объекта, ядро уравнения может быть определено, как итерационно-инвариантная ФРТ, и вычислено, и в итоге сведено к ядру свертки, которое не зависит от координат объекта. В этом случае решение уравнения визуализации искомой функции объекта сводится к трехмерному Фурье пре-образованию исходного уравнения, определению фильтра (Фурье преобразования ядра свертки), т.е. к фильтрованному уравнению визуализации, и определению искомой функции объекта. 3. Разработаны программы (программные коды): - реконструктора (обратная задача томографии), - получение проекционных данных по модели объекта исследования (прямая задача томографии), - модели объекта исследования, - исследования устойчивости реконструктора.