КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 23-41-10003

НазваниеСтроение конечных и периодических групп: фундаментальный и вычислительный аспекты

Руководитель Мазуров Виктор Данилович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук , Новосибирская обл

Конкурс №73 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными коллективами» (БРФФИ)

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра

Ключевые слова конечная группа, периодическая группа, локально конечная группа, простая группа, распознаваемость групп по спектру, централизаторная размерность, G-перестановочная подгруппа, минимальное порождающее множество

Код ГРНТИ27.17.17

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект направлен на изучение проблем, находящихся в сфере активного интереса современной теории групп. В настоящем проекте планируется исследовать вопросы, касающиеся теории периодических групп и локально конечных групп. Кроме того, планируется продолжить изучение подгруппового строения и характеризации конечных простых групп и близких к ним. В частности, будут проведены исследования в следующих направлениях. На протяжении всей истории теории групп разнообразные условия конечности группы и связи между ними вызывали живой интерес исследователей. Классическими примерами подобных условий являются периодичность и локальная конечность, которые широко изучались и продолжают изучаются в многочисленных работах. В теории периодических групп с дополнительными условиями конечности одной из важнейших задач является поиск естественных условий, при которых сильно изолированная нормальная подгруппа периодической группы обладает дополнением в ней. Планируется исследовать данную проблему и найти достаточные условия для существования дополнения. Условие периодичности по своей сути накладывает ограничение на подгруппы, порожденные одним элементом группы. В рамках проекта планируется изучить группы, которые порождаются классом сопряженных элементов порядка 2 или 3, где некоторым образом ограничиваются подгруппы, порожденные двумя элементами из класса. Некоторые из подобных условий являются "хорошими" условиями конечности: Дж. Холл доказал локальную конечность групп 3-транспозиций, В.Д. Мазуров доказал, что группа, порожденная классом сопряженных элементов порядка 3, является локально конечной, если любая некоммутирующая пара элементов из этого класса порождает знакопеременную группу степени 4 или 5. В рамках проекта мы планируем продолжить исследования в этом направлении. Локально конечные группы конечной централизаторной размерности сохраняют многие свойства более узкого класса периодических линейных групп. Одной из сложностей при их изучении является незамкнутость класса групп конечной централизаторной размерности относительно взятия гомоморфных образов. Интерес к построению более широкого класса, который бы был замкнут относительно факторизации, но в тоже время сохранял большую часть свойств исходного класса, высказывался еще в работе Брайанта и Хартли 1979 г. Возрождение интереса к группам конечной централизаторной размерности в последнее время связано с теорией моделей, поскольку конечная централизаторная размерность является инвариантом универсальной эквивалентности. С помощью этого наблюдения Мясников и Шумяцкий в 2004 г. доказали, в частности, что линейная дискриминируемая группа является абелевой. В рамках выполнения проекта планируется нахождение класса локально конечных групп, который бы с одной стороны сохранял большую часть свойств группы конечной централизаторной размерности, а с другой был замкнут относительно гомоморфизмов. Понятие G-перестановочной подгруппы впервые было введено А. Скибой в 2003 г. в рамках предложенной им общей концепции X-перестановочности для подгрупп, развивающей классическое определение перестановочной подгруппы, восходящее еще к работам Оре 1939 года. В последние годы понятие G-перестановочной подгруппы получило развитие и нашло применения в работах различных авторов. Тем не менее, дальнейшее применение данного понятия при решении различных задач теории групп затруднено отсутствием информации о G-перестановочных (наследственно G-перестановочных) подгруппах, находящихся в композиционных факторах групп. Поэтому А.Н.Скибой и В.Н. Тютяновым в «Коуровской тетради» под номером 17.112 была записана общая проблема: найти конечные неабелевы простые группы G, которые обладают собственной (наследственной) G-перестановочной подгруппой. Отметим, что результаты в данном направлении для конкретных классов групп представляют особый интерес, что подчеркивает отдельный вопрос 17.37 из «Коуровской тетради». Белорусскими участниками и исполнителем проекта Гальтом А.А. получены результаты при решении данной проблемы. Планируется продолжить совместные исследования в данном направлении. Вопросы характеризации конечных групп по арифметическим параметрам являются популярным направлением исследований в теории конечных групп в течение последних трех десятилетий. Наибольшее число работ в данной области посвящено проблеме распознаваемости простых и почти простых конечных групп по множеству порядков элементов, называемому спектром группы. Несмотря на обширную литературу в данном направлении, некоторые вопросы до сих пор остаются открытыми. В частности, проблема распознаваемости не решена для простых классических групп небольших размерностей, а также для групп Aut(J_2) и Sym(10). Поиск и оценка минимальных порождающих множеств - важные задачи в теории групп, которыми занимаются многие специалисты. На сегодняшний день существуют как общие оценки, так и оценки для известных классов групп (простых, почти простых, транзитивных, примитивных групп и др.). Постоянные оценки оказываются полезными для построения эффективных алгоритмов (см., А.В. Васильев, Д.В. Чуриков, 2019) и для построения вероятностных конструкций (Т. Бернесс, 2013). Планируется изучить минимальные порождающие множества для примитивных групп диагонального типа.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---