Квазиклассические асимптотики для анализа квантовых нелинейных открытых систем

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-71-01047

НазваниеКвазиклассические асимптотики для анализа квантовых нелинейных открытых систем

Руководитель Кулагин Антон Евгеньевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский политехнический университет" , Томская обл

Конкурс №84 - Конкурс 2023 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова Квазиклассическое приближение, асимптотические методы, квантовые системы, открытые системы, нелинейные уравнения

Код ГРНТИ27.29.23

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Главной сложностью при описании реальных квантовых систем является их открытость, многомерность и, зачастую, нелокальность. Зачастую описать некоторые эффекты в данных системах не удается, используя упрощенные модели, не учитывающие какое-либо из этих свойств систем. Наиболее известными примерами таких эффектов является формирование вихревой решетки в бозе-эйнштейновском конденсате или модель атомного лазера. Для решения этой проблемы вместо упрощения моделей за счет сведения их к одномерным, локальным и закрытым можно использовать асимптотические методы решения уравнений, учитывающих все эти особенности. Тогда в некотором порядке асимптотического разложения удастся хотя бы качественно описать такие эффекты. Таким образом, была поставлена задача разработки аналитического метода асимптотического описания квантовых систем, который естественным образом обобщался бы на случай открытых, многомерных систем с нелокальной нелинейностью. Данный проект посвящен рассмотрению моделей, описываемых нестационарным n-мерным уравнением Шредингера с нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью. Задача построения аналитических решений такого уравнения является сложной и актуальной задачей современной математической физики, так как для него слабо развиты не только аналитические методы, но и численные подходы сталкиваются с трудностями, в том числе с вычислительной сложностью в трехмерном случае. В проекте предлагается обобщить идеи оригинального квазиклассического подхода, успешно примененных ранее для описания закрытых нелинейных квантовых систем и открытых классических, для решения данной задачи. Предлагаемый подход развивает идеи метода комплексного ростка Маслова и общий формализм метода основан на теории псевдодифференциальных операторов. Реализация проекта разбивается на два этапа. На первом этапе планируется разработать метод решения задачи Коши для нестационарного n-мерного уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью в классе функций, описывающих полей нескольких квазиклассических квазичастиц. На втором этапе предлагается решить эту задачу в классе функций, квазиклассически локализованных на кривых. Основными результатами решения данных задач будет как непосредственно асимптотика самого поля, описываемого волновой функцией - решением нелинейного уравнения Шредингера, так и вспомогательная динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений (в зависимости от этапа), описывающих в квазиклассическом приближении динамику области локализации и дающую информацию о системе. Решение поставленных математических задач открывает широкие перспективы для исследования открытых нелинейных квантовых систем, в частности в рамках модели Гросса-Питаевского с диссипацией, в рамках комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау, а также некоторых задач в нелинейной оптике.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассически сосредоточенные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с неконсервативной частью Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 4 октября – 8 октября 2023 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2023. - 256 с., Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 4 октября – 8 октября 2023 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2023. - 256 с. (год публикации - 2023)

2. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. A semiclassical approach to the nonlocal nonlinear Schrodinger equation with a non-hermitian term Mathematics, 12(4), 580 (год публикации - 2024)
10.3390/math12040580

3. Шаповалов А.В., Кулагин А.Е., Синюков С.А. Невязка квазиклассически сосредоточенных решений кинетического уравнения на примере нелокальной модели ионизации активной среды Известия ВУЗов. Физика, 2, 67 (год публикации - 2024)
10.17223/00213411/67/2/4

4. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Quasiparticles for the one-dimensional nonlocal Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation Physica Scripta, 99, 045228 (год публикации - 2024)
10.1088/1402-4896/ad302c

5. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассические квазичастицы для уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью и антиэрмитовой частью ВОРОНЕЖСКАЯ ЗИМНЯЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА С.Г. КРЕЙНА - 2024. Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В.П. Маслова, Издательский дом ВГУ, Воронеж, 134-136 (год публикации - 2024)

6. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассические решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с антиэрмитовой частью, ассоциированные с динамикой квазичастиц ISDCT SB RAS, Proceedings of the 8th International School-Seminar on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2024). Irkutsk, Russia, June 24–28, 2024. Irkutsk : ISDCT SB RAS, 2024, 313 p. ISBN 978-5-6041814-5-4 (год публикации - 2024)

7. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассические решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с неэрмитовой частью, ассоциированные с динамикой квазичастиц Уфа: Аэтерна, Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 2 октября - 5 октября 2024 г.) В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2024. - 242 с. (год публикации - 2024)

8. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Квазиклассический подход для обобщенного уравнения Хауса, описывающего излучение в резонаторе лазера с импульсной накачкой Известия ВУЗов. Физика, № 3, Т. 68, с. 90-97 (год публикации - 2025)
10.17223/00213411/68/3/12

9. Шаповалов А.В., Кулагин А.Е. Semiclassical dynamics of quasiparticles in the nonlocal Fisher-KPP model Моделирование нелинейных процессов и систем. Материалы седьмой международной конференции.- М.: Янус – К, 2024 - 344 с., c. 31-32. (год публикации - 2024)

10. Кулагин А.Е., Шаповалов А.В. Quasiparticle solutions for the nonlocal NLSE with an anti-Hermitian term in semiclassical approximation The European Physical Journal Plus, Vol. 146, article number 246, 23 pages (год публикации - 2025)
10.1140/epjp/s13360-025-06183-6

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Разработан метод построения асимптотических решений задачи Коши для n-мерного уравнения Шредингера с кубической нелокальной нелинейностью и неэрмитовой частью, квазиклассически сосредоточенных на эволюционирующей кривой. Решения с такой геометрией имеют смысл в координатном пространстве с размерностью n не меньше 2. Линейные части оператора уравнения и ядра нелинейности (как эрмитовой, так и антиэрмитовой части) полагались псевдодифференциальными операторами с гладкими символами. Получена система интегро-дифференциальных уравнений («классические» уравнения), описывающие эволюцию взвешенной кривой локализации для квазиклассически сосредоточенных на кривой решений в широком смысле. Квантовые поправки к «классическим» уравнения, позволяющие построить решения исходного нелинейного уравнения Шредингера (волновую функцию) в квазиклассическом приближении, находились в пространстве расширенной размерности. На решениях замкнутой динамической системы на моменты (моменты понимались специальным образом в пространстве расширенной размерности) главный член асимптотики представляет собой спроецированное на исходное пространство решение ассоциированного линейного уравнения Шредингера с дополнительным дифференциальным условием. Дополнительное условие разрешено в явном виде и показано, что достаточно наложить его лишь на начальное условие задачи Коши. Построен приближенный нелинейный оператор эволюции для решений, квазиклассических сосредоточенных на кривой. Была показана применимость разработанного подхода для описания переходных процессов в вихревых состояниях вещества в открытой системе. На примере двумерного модельного уравнения, включающего в себя ловушку с членами второй и четвертой степени с малой степенью асимметрии, потенциал силы Кориолиса (вращающаяся система координат), нелинейность с гауссовым ядром и феноменологическое затухание, было показано существование квазиустановившихся вихревых состояний, эволюцию которых в квазиклассическом приближении можно ассоциировать с накапливающейся деформацией взвешенной кривой. Получены нелинейные уравнения, описывающие такую деформацию, а также их линеаризованный вид. Предложен критический показатель, свидетельствующий о границе между квазиустановившимся вихревым состоянием и началом перехода в новое вихревое состояние (с другим количеством квантованных вихрей) – выпуклость кривой локализации. Алгоритм построения квазиклассических решений, локализованных на кривой, реализуется в декартовых координатах, т.е. его реализация не полагается на выделенные системы координат, ассоциированные с геометрией кривой локализации. Также было проведено исследование применимости разработанного формализма построения квазиклассически сосредоточенных решений в открытых системах (с неэрмитовой частью оператора уравнения) для модели связанных мод в активной лазерной среде (в резонаторе) с импульсной накачкой. Показано, что при определенных допущениях (в частности, большой частотной ширины полосы усиления активной среды) метод прямым образом применим к такой задаче в слабодисперсионном приближении, а для другого случая (более общего с физической точки зрения) уравнение на главный член асимптотики вырождается в дифференциальное (асимптотическое решение в этом случае тоже можно построить).

Публикации