Эквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-71-01100

НазваниеЭквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит

Руководитель Шафаревич Антон Андреевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва

Конкурс №84 - Конкурс 2023 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия

Ключевые слова алгебраическое многообразие, алгебраическая группа, эквивариантная компактификация, торическое многообразие, аддитивное действие

Код ГРНТИ27.17.33

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Эквивариантной компактификацией связной алгебраической группы G называется вложение группы G в компактное (полное) алгебраическое многообразие X, при котором действие группы G на себе левыми сдвигами продолжается до регулярного действия на всем многообразии X. Например, эквивариантными компактификациями алгебраических торов, являются (компактные) торические многообразия. Торические многообразия привлекательны своим достаточно простым комбинаторным описанием, благодаря которому торические многообразия хорошо изучены. Случай, когда группа G является аддитивной группой векторного пространства (векторная группа) является значительно более трудным. В этом случае также используется термин "аддитивное действие", а именно аддитивным действием на многообразии Х, называется эффективное действие векторной группы с открытой (в топологии Зарисского) орбитой. Полное многообразие является эквивариантной компактификацией векторной группы тогда и только тогда, когда на нем есть аддитивное действие. На сегодняшний день нету классификации эквивариантных компактификаций векторных групп. Более того, в отличие от торических многообразий, бывают случаи, когда векторную группу G можно эквивариантно вложить в одно и тоже многообразие Х несколькими способами (т.е. на одном многообразии может быть несколько неэквивальентных аддитивных действий). Однако некоторые продвижения в изучении эквивариантных компактификаций векторных групп тоже имеются. Так, например соответствие Хассета–Чинкеля устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивариантными вложениями векторной группы в проективное пространстве и конечномерными локальными алгебрами. Известно какие обобщенные многообразия флагов являются эквивариантными компактификациями векторных групп. Более того, реализация обобщенного многообразия флагов как эквивариантной компактификацией векторной группы, если и существует, то единственно. Получена классификация многообразий дель Пеццо с числом Пикара 1, являющихся эквивариантными компактификациями векторных групп. Есть описание эквивариантных компактификаций векторных групп, являющихся торическими многообразиями. Несмотря на то, что при n>6 проективное пространство размерности n можно реализовать бесконечным числом способов в виде эквивариантной компактификации векторной группы, при всех n есть ровно один способ эквивариантно вложить векторную группу в проективное пространство, так чтобы число орбит было конечно. В рамках предлагаемого проекта планируется изучать эквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит. Одним из основных вопросов является следующий: может ли полное многообразие быть реализовано двумя или более различными способами в виде эквивариантной компактификации векторной группы с конечным число орбит. Также есть основания надеяться на то, что эквивариантные компактификации векторной группы с конечным числом орбит можно классифицировать. В частности, планируется описать торические многообразия и гиперповерхности, допускающие реализацию в виде компактификации векторной группы с конечным числом орбит.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Рассмотрим алгебраическое многообразие Х над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики К. Аддитивным действием на Х называется эффективное действие группы Ga^n с открытой в топологии Зарисского орбитой. Здесь Ga - аддитивная группа поля К. Пусть О - открытая орбита относительно некоторого аддитивного действия на Х. Мы говорим, что Х удовлетворяет условию ОП (условие на одно-параметрические подгруппы), если для любой точки х из Х найдется такая точка z из O и одномерная подгруппа H в Ga^n, такие что точка х лежит в замыкании H-орбиты точки z. Удалось доказать, что на проективном пространстве есть только одно аддитивное действие, удовлетворяющее условию ОП - это действие вида (s_1, ..., s_n)*[z_0:z_1 : ... :z_n] = [z_0: z_1 + s_1z_0 : .... : z_n + s_nz_n], где (s_1, ... s_n) - координаты на Ga^n, а z_0...z_n - однородные координаты на P^n. Напомним, что индуцированное аддитивное действие на проективном многообразии Х в P^n - такое действие, которое продолжается до действия на P^n. Были описаны все проективные гиперповерхности, на которых есть индуцированное аддитивное действие, удовлетворяющее условию ОП. Оказалось, что это квадрики (вырожденные и невырожденные), а также гиперповерхности, заданные уравнением (z_0^2)*z_3 − z_0*z_1*z_2 + z_3^3/3 = 0 в P^n для некоторого n>= 3. В случае, когда эти гиперповерхности вырожденные, то есть могут быть заданны уравнением в P^n, которое зависит менее чем от n+1 координатных функций, то помимо аддитивного действия, удовлетворяющего условию ОП, могут быть другие аддитивные действия, не удовлетворяющие условию ОП. На основе этих результатов была написана статья "Limit points of one-parametric subgroups for additive actions on hyperurfaces", котора была отправлена в журнал Collectanea Mathematica, а также выложена на сайт arxiv.org (https://arxiv.org/pdf/2505.03924). Также было получено несколько результатов про аддитивные действия на проективных гиперповерхностях с конечным числом орбит. В предыдущем отчетном были найдены все гиперповерхности, на которых есть индуцированное аддитивное действие с конечным числом орбит. В этом отчетном периоде удалось описать все аддитивные действия на этих гиперповерхностях. Оказалось, что их не более двух. Если их два, то у второго аддитивного действия бесконечно много орбит. Также были описаны орбиты для этих аддитивных действий. Также были описаны все проективные гиперповерхности, являющиеся многообразиями матроидов Шуберта. Оказалось, что это либо P^1, вложенное в P^2 с помощью вложения Веронезе, либо P^1xP^1 вложенное в P^3 с помощью вложения Сегре. Эти результаты были добавлены в статью "Projective hypersurfaces admitting an additive action with finite number of orbits", которая опубликована в журнале Journal of Algebra and Its Applications (https://link.springer.com/article/10.1007/s00025-021-01462-x). Также изучались аддитивные действия на полных торических многообразиях. В предыдущем отчетном периоде был найден комбинаторный критерий того, когда на полном симплициальном торическом многообразии есть действие унипотентной группы с конечным числом орбит. В текущий период было доказано, что для несемплициальных полных торических многообразий этот критерий является достаточным условием. Были также описан орбиты максимальной унипотентной группы на полных торических многообразиях. Было доказано, что на полном торическом многообразии есть аддитивное действие нормализуемое тором, и удовлетворяющее условию ОП, только если это многообразие - произведение проективных пространств. Было также доказано, что на полных торических поверхностях никакие собственные регулярные подгруппы максимальной унипотентной группы в группе автоморфизмов не действуют с конечным числом орбит. Часть новых результатов про полные торические многообразия были добавлены в статью "Toric varieties admitting an action of a unipotent group with a finite number of orbits", которая опубликована в журнале Research in the Mathematical Sciences (https://link.springer.com/article/10.1007/s40687-024-00491-6). Остальные результаты я надеюсь дополнить и опубликовать в будущем.

Публикации

1. Боровик В.А., Чернов А.Е., Шафаревич А.А. Additive actions on projective hypersurfaces with a finite number of orbits Journal of Algebra and Its Applications (год публикации - 2026)
10.1142/S0219498826500192

2. Шафаревич А.А. Toric varieties admitting an action of a unipotent group with a finite number of orbits Research in the Mathematical Sciences, том 12, статья 6 (год публикации - 2025)
s40687-024-00491-6