Операторы Роты - Бакстера на группах, кольцах и алгебрах Хопфа

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-71-10005

НазваниеОператоры Роты - Бакстера на группах, кольцах и алгебрах Хопфа

Руководитель Губарев Всеволод Юрьевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" , Новосибирская обл

Конкурс №85 - Конкурс 2023 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра

Ключевые слова оператор Роты - Бакстера, свободная алгебра Роты - Бакстера, алгебра матриц, алгебра многочленов, алгебра Кэли - Диксона, конечная простая группа лиева типа, алгебра Хопфа, квантовая группа, псевдоалгебра

Код ГРНТИ27.00.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Дифференцирование в алгебре обобщает свойства производной и играет важную роль в алгебраической топологии, структурной теории колец, теории групп и алгебр Ли. Оператор Роты - Бакстера, введённый Г. Бакстером в 1960 году, служит алгебраическим аналогом интегрального оператора. К данному моменту найдены глубокие связи таких операторов с теорией представлений (Г. Бакстер, Дж.-К. Рота, Дж. Б. Миллер и др., 1960-1980-е годы), математической физикой (А.А. Белавин, В.Г. Дринфельд, М.А. Семёнов-Тян-Шанский, 1980-е годы), некоммутативной геометрией (Т. Шедлер, В.В. Соколов, В.Н. Рубцов, А.В. Одесский и др., 2010-е годы), пре- и посталгебрами (М. Агуиар, 2000, К. Эбраими-Фард, 2002 и др.) и др. Отметим монографию Л. Гуо 2012 года, посвящённую операторам Роты - Бакстера. В настоящее время отмечается возрастающий интерес как к изучению операторов Роты - Бакстера на алгебрах, так и к определению и исследованию аналогов интегрального оператора на других алгебраических структурах, таких как группы (операторы Роты - Бакстера на группах ввели Л. Гуо, Х Ланг, Ю. Шенг в 2021 году), конформные алгебры (операторы Роты - Бакстера на конформных алгебрах определили Ю. Хонг и Ч. Бай в 2020 году) и их обобщение псевдоалгебры (РБ-операторы на псевдоалгебрах задали Л. Лиу и С. Ванг также в 2020 году), и алгебры Хопфа (РБ-операторы на алгебрах Хопфа введены грантосоискателем М.Е. Гончаровым в 2021 году). Отметим, что существует соответствие между кососимметричными решениями классического уравнения Янга-Бакстера (и, как следствие, биалгебрами Ли) на квадратичных алгебрах Ли и кососимметричными операторами Роты - Бакстера веса 0, а также между структурами факторизуемых биалгебр Ли и операторами Роты - Бакстера ненулевого веса специального вида. Учитывая ту роль, которую играют биалгебры Ли при построении квантовой универсальной обертывающей алгебры, естественно возникает вопрос о роли операторов Роты - Бакстера в теории квантовых групп. В рамках проекта планируется изучение операторов Роты - Бакстера на простых алгебрах и на других простых алгебраических структурах, что приведёт к углублению связей между операторами Роты - Бакстера и другими объектами (уравнение Янга - Бакстера, двойные алгебры Ли, брейсы и др.). Ниже приведены три основных направления исследований. 1) Описание операторов Роты - Бакстера на простых конечномерных алгебрах: алгебре матриц (для произвольного порядка предполагается описание важнейших семейств, таких как РБ-операторов максимального индекса и лямбда-кососимметрических), расщепляемой алгебре Кэли - Диксона, простой нелиевой алгебре Мальцева. 2) Изучение операторов Роты - Бакстера на свободных алгебрах и свободных алгебр Роты - Бакстера. В это направление включается доказательство аналога теоремы Бергмана для свободной ассоциативной РБ-алгебры, а также описание централизаторов элементов в свободной лиевой алгебре Роты - Бакстера. Планируется описание мономиальных РБ-операторов на алгебре многочленов и свободной коммутативной алгебре от двух и более порождающих; доказательство инъективности вложения алгебры Ли Роты - Бакстера в её универсальную обёртывающую ассоциативную РБ-алгебру. 3) Изучение и описание операторов Роты - Бакстера на группах, конформных алгебрах, псевдоалгебрах и алгебрах Хопфа. Все запланированные результаты являются новыми; на всех рассматриваемых объектах операторы Роты - Бакстера либо ранее не изучались, либо рассматривались лишь некоторые их свойства, без полного или частичного описания.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Панасенко А.С. Rota-Baxter Operators of Weight Zero with non-Matrix Images on Cayley-Dickson Algebra European Journal of Mathematics (год публикации - 2025)

2. Губарев В.Ю. Rota-Baxter operators of weight zero on upper-triangular matrices of order three Mediterranean Journal of Mathematics, Volume 21, issue 7, article number 200. (год публикации - 2024)
10.1007/s00009-024-02744-8

3. Алхуссейн Х., Колесников П.С. On the pre-commutative envelopes of commutative algebras Journal of Algebra and Its Applications (год публикации - 2024)
10.1142/S0219498826500088

4. Гончаров М. Rota-Baxter operators of non-scalar weights, connections with coboundary Lie bialgebra structures Communications in Algebra, Volume 53, issue 7, pages 2702–2722. (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.1080/00927872.2025.2450032

5. Гальт А.А., Губарев В.Ю. Rota-Baxter operators on dihedral and alternating groups Advances in Group Theory and Applications (год публикации - 2025)

6. Панасенко А.С. Rota-Baxter operators of nonzero weight on split octonions Advances in Applied Clifford Algebras (год публикации - 2025)

7. Ходзицкий А.Ф. Monomial Rota-Baxter operators of weight zero and averaging operators on the polynomial algebra Russian mathematics (год публикации - 2025)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получено описание операторов Роты — Бакстера ненулевого веса на расщепляемой алгебре Кэли — Диксона с точностью до умножения на скаляр и сопряжения автоморфизмами и антиавтоморфизмами: было доказано, что нерасщепляемым является всего один такой оператор. Получены возможные разложения расщепляемой алгебры Кэли — Диксона в прямую сумму двух подалгебр с точностью до действия автоморфизмами и антиавтоморфизмами: над квадратично замкнутым полем существует всего семь таких разложений. Таким образом, завершена классификация операторов Роты — Бакстера на композиционных алгебрах. Доказано, что каждый оператор Роты — Бакстера произвольного веса на простой йордановой алгебре M2(F)(+) является обычным оператором Роты — Бакстера или симметризованным оператором Роты — Бакстера на алгебре матриц 2-го порядка. На простой расщепляемой семимерной алгебре Мальцева M7 (над алгебраически замкнутым полем характеристики 0) были получено полное описание операторов Роты — Бакстера ненулевого веса. Данное описание получено с точностью до сопряжения автоморфизмами и применения тильда-преобразования. Доказано, что конечные проективные специальные линейные группы размерности два обладают только расщепляемыми операторами Роты — Бакстера. С другой стороны, среди классических групп найдена конечная проективная симплектическая группа размерности 6 над полем из двух элементов, которая обладает нерасщепляемым оператором Роты — Бакстера. Получено описание классов мономиальных операторов Роты – Бакстера нулевого веса на алгебре многочленов F[x,y] и ее идеале F0[x,y] коразмерности один: 1) не повышающих степень с ядром, не содержащим мономов, 2) отображающие каждый моном в себя с некоторым коэффициентом. Установлена взаимосвязь между операторами Роты – Бакстера и операторами усреднения на алгебре многочленов от произвольного числа переменных. Получена частичная классификация однородных мономиальных операторов Роты – Бакстера и операторов усреднения на алгебрах многочленов от двух переменных. Найден базис Грёбнера — Ширшова в свободной ассоциативной алгебре, снабжённой оператором Роты — Бакстера веса k, для идеала, порождённого соотношением R^m(R+k id)^n = 0.

Публикации

1. Панасенко А.С. Rota-Baxter Operators of Weight Zero with non-Matrix Images on Cayley-Dickson Algebra European Journal of Mathematics (год публикации - 2025)

5. Гальт А.А., Губарев В.Ю. Rota-Baxter operators on dihedral and alternating groups Advances in Group Theory and Applications (год публикации - 2025)

6. Панасенко А.С. Rota-Baxter operators of nonzero weight on split octonions Advances in Applied Clifford Algebras (год публикации - 2025)

7. Ходзицкий А.Ф. Monomial Rota-Baxter operators of weight zero and averaging operators on the polynomial algebra Russian mathematics (год публикации - 2025)