Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Полученные во второй год выполнения проекта результаты представлены в трех обширных блоках задач: 1. Исследован ряд альфа-моделей неньютоновой гидродинамики: Исследовалась слабая разрешимость начально-краевых задач для альфа-моделей I и II классов, описывающих движение нелинейно-вязких жидкостей. В данном проекте рассматривается естественная для реальных жидкостей вязкость, предложенная В.Г. Литвиновым. Для изучаемых начально-краевых задач введено понятие слабого решения, подобраны функциональные пространства, в которых изучается разрешимость. Получены априорные оценки решений. Одним из основных результатом является полученное доказательство теорем существования слабых решений для изучаемых моделей в двумерном и трехмерном случаях. Также исследовался вопрос сходимости полученных слабых решений при стремлении параметра альфа к нулю. Исследовалась слабая разрешимость начально-краевых задач для альфа-моделей I и II классов, описывающих движение жидкости с учетом памяти среды от минус бесконечности до Т. История возникновения данной модели тесно связана с потребностью изучения сред, учитывающих все предшествующие состояния вязкоупругой среды, как бы далеко ни отстояли они от текущего момента времени. В изучаемой модели память среды рассматривалась экспоненциального типа на бесконечном временном интервале. Одним из основных результатом является полученное доказательство теорем существования слабых решений для изучаемых моделей в двумерном и трехмерном случаях. Также исследовался вопрос сходимости полученных слабых решений при стремлении параметра альфа к нулю. 2 Исследована корректность ряда моделей вязкоупругих сред с бесконечной памятью: Исследовалась слабая разрешимость начально-краевой задачи, описывающей движение нелинейно-вязкой жидкости с дробным реологическим (определяющим) соотношением. Данные модели возникают при изучение движения вязкоупругих сред с полимерными добавками. Реологическое соотношение для данного типа сред содержит производную. В последние годы для моделей, описывающих движение растворов полимеров, оказалось важным использовать не просто обычные производные в реологических соотношениях, а дробные производные. Переход к моделям с дробными производными вызван потребностью изучения большого класса полимеров, в которых необходимо учитывать эффекты ползучести и релаксации. Поэтому в проекте исследовалась математическая модель с левосторонней дробной производной Римана-Лиувилля с бесконечной памятью от минус бесконечности до Т. Для данной начально-краевой задачи введено понятие слабого решения, подобраны функциональные пространства, в которых изучается разрешимость. Получены априорные оценки решений. Основным результатом является полученное доказательство теоремы существования слабых решений для изучаемых моделей в двумерном и трехмерном случаях. Также исследовалось существование слабого решения начально-краевой задачи, описывающей движение слабо концентрированных водных растворов полимеров с памятью от минус бесконечности до Т. Данные реологические соотношения возникли при изучении жидкостей типа Фойгта и Кельвина-Фойгта. В таких жидкостях равновесное состояние устанавливается не мгновенно после изменения внешних условий, а с некоторым запаздыванием, которое характеризуется значением времени релаксации. Это запаздывание объясняется процессами внутренней перестройки. В рассматриваемых в данном проекте математических моделях для учета релаксационных свойств было предложено реологическое соотношение, в которое входит производная. В изучаемой математической модели для учета релаксационных свойств среды рассмотрено реологическое соотношение, содержащее объективную производную Яуманна, а для учета памяти среды данное соотношение дополнено дробным интегралом Капуто. Для данной начально-краевой задачи введено понятие слабого решения, подобраны функциональные пространства, в которых изучается разрешимость. Получены априорные оценки решений. Основным результатом является полученное доказательство теоремы существования слабых решений для изучаемых моделей в двумерном и трехмерном случаях. 3. На основе теории топологической степени для многозначных векторных полей, также развиваемой в Воронежской математической школе, исследована разрешимость дифференциальных включений дробного порядка: Исследована задача Коши для функциональных включений, содержащих сумму n каузальных однозначных операторов и многозначного каузального оператора в банаховых пространствах. Исследована краевая задача для дифференциальных включений типа Хейла дробного порядка 1<α<2 в сепарабельном банаховом. Предполагалось, что линейная часть порождает равномерно ограниченное сильно непрерывное семейство косинус-оператор функций, а нелинейная часть является каузальным многозначным оператором. На основе теории топологической степени уплотняющих мультиотображений, установлен общий принцип управляемости для систем, описываемых полулинейными функционально-дифференциальными включениями дробного порядка из интервала (0,1), с обратной связью в виде sweeping процесса в гильбертовом пространстве и запаздыванием. Система предполагает, что линейная часть включения является генератором равномерно ограниченной C_0-полугруппы операторов в банаховом пространстве, а нелинейная часть есть многозначное отображение типа Каратеодори.