Диссипативная динамика бесконечномерных и конечномерных систем, разработка математических моделей механических, гидродинамических процессов

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-71-30008

НазваниеДиссипативная динамика бесконечномерных и конечномерных систем, разработка математических моделей механических, гидродинамических процессов

Руководитель Починка Ольга Витальевна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва

Конкурс №81 - Конкурс 2023 года по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые слова Диссипативная динамика, инерциальные многообразия, пространственно-временной хаос, математическое моделирование, уравнения гидродинамики, суда на воздушной подушке, устойчивость движения, регулярная динамика, смешанная динамика, хаотическая динамика, глобальные бифуркации, странные аттракторы, неголономная механика, нейронные сети.

Код ГРНТИ27.31.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Основная цель проекта – создание новых математических методов, направленных на выработку единого подхода к исследованию динамики многомерных и бесконечномерных систем. Описание физической реальности, как правило, дается нелинейными уравнениями в частных производных. Современная теория таких уравнений часто ограничивается интегрируемыми случаями или близкими к ним. Трудность исследования по-настоящему интересных динамических режимов в уравнениях с частными производными объясняется тем, что теория конечномерных динамических систем, опирается во многом на геометрическую интуицию, которая практически отсутствует в бесконечномерном случае. Руководитель проекта – один из немногих мировых специалистов, которому удалось внести важнейшие геометрические идеи, благодаря развитой им теории инерциальных многообразий, в теорию уравнений в частных производных. Нижегородский кампус НИУ ВШЭ, на базе которого будет выполняться проект – один из главных мировых центров исследований по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, объединение усилий вовлеченных в проект ученых дает уникальную возможность начать широкое систематическое исследование основных, и наиболее характерных для приложений, свойств бесконечномерной и многомерной динамики. Одной из первоочередных задач проекта будет исследование вопросов существования гладких инерциальных многообразий у бесконечномерных систем. Не меньшее внимание будет уделено исследованию классов уравнений с бесконечной эффективной размерностью, у которых не существует таких многообразий, и, соответственно, анализу бесконечномерных явлений. В частности, будут изучены диссипативные структуры распределенных уравнений с нетривиальной внутренней динамикой и пространственно-временной хаос. Эти исследования будут существенным образом опираться на фундаментальные результаты, полученные в рамках проекта в теории глобальных бифуркаций и динамического хаоса многомерных систем. Технологическим направлением исследований проекта будет являться разработка новых математических моделей гидродинамических процессов, в том числе создание методики, позволяющей надежно прогнозировать устойчивость движения новых концепций судов с динамическими принципами поддержания. Научная значимость планируемых разработок состоит в создании новых методов исследования устойчивости таких систем, прикладная их значимость состоит в создании методики, позволяющей надежно прогнозировать устойчивость движения судов и, при необходимости, модифицировать элементы аэрогидродинамической компоновки. Использование этой методики предполагается осуществлять на ранних стадиях проектирования, что позволит снизить риски принятия неудачных проектных решений. Одним из важнейших элементов во всех задачах проекта будет численное моделирование разработку программного комплекса вычислительной гидродинамики, основанный на методе решеток Больцмана и новых компьютерных методов исследования динамики в системах неголономной механики, нелинейной оптики, сетях связанных элементов, а также разработку программного обеспечения для исследования бесконечномерных и конечномерных систем методами параллельных вычислений. В рамках выполнения проекта будут получены принципиально новые фундаментальные результаты по следующим направлениям. 1) Диссипативные уравнения в частных производных и математическое моделирование гидродинамических процессов. 2) Динамические системы на конечномерных многообразиях. 3) Теория динамического хаоса и математическое моделирование конечномерных систем. 4) Численные методы исследования многомерной и бесконечномерной динамики.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. В.Д.Галкин, Е.В.Ноздринова, О.В.Починка Circular Fleitas Scheme for Gradient-Like Flows on the Surface Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 28, No. 6, pp. 865–877 (год публикации - 2023)
10.1134/S1560354723060047

2. А.И. Морозов, О.В. Починка CLASSIFICATION OF MORSE–SMALE DIFFEOMORPHISMS WITH A FINITE SET OF HETEROCLINIC ORBITS ON SURFACES MOSCOW MATHEMATICAL JOURNAL, Volume 23, Number 4, Pages 571–590 (год публикации - 2023)
10.17323/1609-4514-2023-23-4-571-590

3. С.В.Гонченко, А.С. Гонченко On discrete Lorenz-like attractors in three-dimensional maps with axial symmetry Chaos, 33, 123104 (год публикации - 2023)
10.1063/5.0172243

4. К. А. Драгунова, Н. Никбахт, И. Д. Ремизов Численное исследование скорости сходимости черновских аппроксимаций к решениям уравнения теплопроводности Журнал Средневолжского математического общества, Т. 25, № 4 (год публикации - 2023)

5. Бусалов А.А., Калинин А.В., Тюхтина А.А. Linearizing Algorithm for Solving a Nonlinear Initial Boundary Value Problem of Radiation Transfer in Spatially Multidimensional Domains Communications in Computer and Information Science, 2024, pp 44–58 (год публикации - 2024)
10.1007/978-3-031-52470-7

6. Починка О.В., Медведев Т.В. A QUASI-ENERGY FUNCTION FOR PIXTON DIFFEOMORPHISMS DEFINED BY GENERALIZED MAZUR KNOTS ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS, 1–22 (год публикации - 2024)
10.1007/s11856-024-2697-7

7. Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., Чепыжов В.В. HOMOGENIZATION OF ATTRACTORS TO REACTION-DIFFUSION SYSTEM IN A MEDIUM WITH RANDOM OBSTACLES Discrete and Continuous Dynamical Systems- Series A, Volume 44, Issue 11: 3474-3490 (год публикации - 2024)
10.3934/dcds.2024066

8. Казаков А.О., Минц Д.И., Петрова Ю.Э., Шилов О.М. On non-trivial hyperbolic sets and their bifurcations in families of difeomorphisms of a two-dimensional torus Chaos , 34(8) (год публикации - 2024)
10.1063/5.0211890

9. Костянко А.Г., Ильин А.А., Стоун Д., Зелик С.В. Multi-vortices and Lower Bounds for the Attractor Dimension of 2D Navier–Stokes Equations ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, том 516, с. 98–102 (год публикации - 2024)
10.31857/S2686954324020163

10. Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., Чепыжов В.В., Толемис А.А. Homogenization of Attractors to Ginzburg-Landau Equations in Media with Locally Periodic Obstacles: Sub- and Supercritical Cases Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, No. 2(114), 2024, pp. 40–56 (год публикации - 2024)
https://doi.org/10.31489/2024m2/40-56

11. Осенков Е.М., Починка О.В. Morse – Smale 3-Difeomorphisms with Saddles of the Same Unstable Manifold Dimension Russian Journal of Nonlinear Dynamics, vol. 20, no. 1, pp. 167–178. (год публикации - 2024)
10.20537/nd240301

12. Максимов Д. А., Яковлев Е. И. Causal Properties of Lorentzian Manifolds and Regular Coverings Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 45, No. 8, pp. 3924–3934 (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224601930

13. Мещеряков М.В., Жукова Н.И. Dynamical Properties of Continuous Semigroup Actions and Their Products Regular and Chaotic Dynamics, 2025, Vol. 30, No. 1, pp. 141–154 (год публикации - 2025)
10.1134/S1560354725010071

14. Дедаев Р.А, Жукова Н.И. Existence of Attractors of Foliations, Pseudogroups and Groups of Transformations RUSSIAN JOURNAL OF NONLINEAR DYNAMICS, 2025. Vol. 21. No. 1. P. 85–102. (год публикации - 2025)
10.20537/nd250205

15. Ажмолдаев Г.Ф., Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., В. В. Чепыжов Homogenization of Attractors to Reaction–Diffusion Equations in Domains with Rapidly Oscillating Boundary: Subcritical Case Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, No. 2(118), 2025, pp. 28–43 (год публикации - 2025)
10.31489/2025M2/28-43

16. Чепыжов В.В. Trajectory attractors method for dissipative partial differential equations with small parameter Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics, 2024;32(6) (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003142

17. Саттаров А.А., Яковлев Е.И. НАКРЫТИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА Известия высших учебных заведений. Математика (год публикации - 2026)

18. Ажмолдаев Г.Ф., Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., В. В. Чепыжов HOMOGENIZATION OF ATTRACTORS TO REACTION–DIFFUSION EQUATIONS IN DOMAINS WITH RANDOMLY OSCILLATING BOUNDARY Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S (год публикации - 2025)
10.3934/dcdss.2025142

19. Ильин А.А., Зелик С.В. Attractors for the Navier–Stokes–Voigt Equations and Their Dimension Lobachevskii Journal of Mathematics, 2025, Vol. 46, No. 9, pp. 4659–4673 (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225610823

20. Ажмолдаев Г.Ф., Бекмаганбетов К.А., Чечкин Г.А., В. В. Чепыжов Homogenization of attractors to reaction–diffusion equations in domains with rapidly oscillating boundary: Critical case Networks and Heterogeneous Media, Volume 19, Issue 3, 1381–1401. (год публикации - 2024)
10.3934/nhm.2024059

21. Ян Дж., Костианко А.Г., Сан К., Тан Б.К., Зелик С.В. Nonconcentration phenomenon for onedimensional reaction–difusion systems with mass dissipation MATHEMATISCHE NACHRICHTEN, Volume 297, Issue 11 (год публикации - 2024)
10.1002/mana.202300442

22. Казаков А.О., Мурильо А., Виейро А., Зайчиков К.С Numerical Study of Discrete Lorenz-Like Attractors Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 1, pp. 78–99. (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724010064

23. Галкин В. Д., Починка О. В. , Шубин Д. Д. Классификация неособых четырехмерных потоков с нескрученной седловой орбитой Математический сборник, том 215, номер 11, 65–91 (год публикации - 2024)
10.4213/sm10091

24. Жукова Н. И., Шеина К. И. Группы базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресмана IZVESTIYA VYSSHIKH UCHEBNYKH ZAVEDENIY - PRIKLADNAYA NELINEYNAYA DINAMIKA, Т. 32, № 6 (год публикации - 2024)

25. Багаев А. В., Жукова Н.И. On degree of smooth maps between orbifolds Уфимский математический журнал (год публикации - 2024)

26. Ремизов И.Д. Chernoff approximations as a method for finding the resolvent of a linear operator and solving a linear ODE with variable coefficients Владикавказский математический журнал (год публикации - 2025)

27. Гонченко С. В., Гонченко А. С., Казаков А. О. , Самылина Е. А. Смешанная динамика: элементы теории и примеры Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Т. 32, № 6 (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003138

28. Кулагин Н.Е., Лерман Л.М., Трифонов К.Н. Twin Heteroclinic Connections of Reversible Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 1, pp. 40–64. (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724010040

29. Зелик С. В., Починка О. В., Ягилев А. А. О размерности Минковского некоторых инвариантных подмножеств динамических систем Журнал Средневолжского математического общества, том 26, номер 1, страницы 32–43 (год публикации - 2024)
10.15507/2079-6900.26.202401.32-43

30. Ноздринов А.А., Ноздринова Е.В., Починка О.В. Stable isotopy connectivity of gradient-like diffeomorphisms of 2-torus JOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS, Volume 207, 105352 (год публикации - 2024)
10.1016/j.geomphys.2024.105352

31. Починка О. В., Таланова Е. А. Диффеоморфизмы Морса–Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях Russian Mathematical Surveys, Volume 79, Issue 1, 127–171 (год публикации - 2024)
10.4213/rm10141e

32. Галкин О.Е., Ремизов И.Д. UPPER AND LOWER ESTIMATES FOR RATE OF CONVERGENCE IN THE CHERNOFF PRODUCT FORMULA FOR SEMIGROUPS OF OPERATORS ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS, 265 (2025), 929–943 (год публикации - 2025)
10.1007/s11856-024-2678-x

33. Багаев А.В., Жукова Н.И. О степени гладкого отображения между орбифолдами Уфимский математический журнал, 2025. Т. 17. № 4. С. 11–25. (год публикации - 2025)

34. Гуревич Е.Я., Сараев И.А. Классификация градиентно-подобных потоков без гетероклинических пересечений на четырехмерных многообразиях. Известия РАН. Серия математическая (год публикации - 2026)

35. Костянко А.Г., Ильин А.А., Зелик С.В. SHARP BOUNDS ON THE ATTRACTOR DIMENSIONS FOR DAMPED WAVE EQUATIONS Известия Российской академии наук. Серия математическая (год публикации - 2026)

36. Каратецкая Е.Ю., Казаков А.О., Сафонов К.А., Тураев Д.В. Analytic proof of the emergence of new type of Lorenz-like attractors from the triple instability in systems with Z4-symmetry Journal of Differential Equations, Volume 430, 15 June 2025, 113189 (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.1016/j.jde.2025.02.060

37. Починка О.В., Чилина Е.Е. Классификация трехмерных отображений с поверхностной псевдоаносовской динамикой математический сборник (год публикации - 2026)

38. Гонченко А.С. О ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЯХ РОЖДЕНИЯ СИММЕТРИЧНОЙ ПАРЫ “АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА – РЕПЕЛЛЕР ЛОРЕНЦА” В ОБРАТИМЫХ СИСТЕМАХ JOURNAL OF MATHEMATICAL SCIENCES (год публикации - 2025)

39. Гонченко С.В., Морозов К.Е. On Mixed Dynamics in the D¨uffing Equation with Periodic Perturbations Regular and Chaotic Dynamics (год публикации - 2026)

40. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Трифонов К.Н. On normal forms of reversible systems with Lorenz attractors and repellers RUSSIAN JOURNAL OF NONLINEAR DYNAMICS (год публикации - 2026)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Исследования по проекту, согласно заявленному плану работ велись по следующим направлениям: 1) Диссипативные уравнения в частных производных, математическое моделирование гидродинамических процессов. 2) Динамические системы на конечномерных многообразиях. 3) Теория динамического хаоса и математическое моделирование конечномерных систем. 4) Численные методы исследования многомерной и бесконечномерной динамики. Приведем сведения о полученных в отчетном году результатах со ссылками на источники инфрмации. - Построены траекторные аттракторы общих систем уравнений реакции-диффузии в областях, которые содержат случайные препятствия или непроницаемые включения. K.A. Bekmaganbetov, G.A. Chechkin, V.V. Chepyzhov. Homogenization of attractors to reaction-diffusion system in a medium with random obstacles. Discrete and Continuous Dynamical Systems. V.44. 2024. N. 11. P. 3474–3490. - Разработана теория оценок снизу размерности аттракторов классических моделей несжимаемой жидкости, основанная на использовании локализованных неустойчивых стационарных решений. А.Г. Костянко, А.А. Ильин, Д.Стоун, С.В. Зелик. Мульти-вихри и оценки снизу фрактальной размерности аттракторов для системы уравнений Навье–Стокса. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления (2024) 516, 98–102. - Исследована зависимость скорости сходимости черновских аппроксимаций от класса гладкости начальных условий. Galkin, O.E., Remizov, I.D. Upper and lower estimates for rate of convergence in the Chernoff product formula for semigroups of operators. Isr. J. Math. (2024). - Проведен асимптотический анализ решений нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений теории переноса излучения и статистического равновесия. Busalov A.A., Kalinin A.V., Tyukhtina A.A. Linearizing Algorithm for Solving a Nonlinear Initial Boundary Value Problem of Radiation Transfer in Spatially Multidimensional Domains// D. Balandin et al. (Eds.): MMST 2023. Communications in Computer and Information Science 1914, Springer, 2023, p. 44-58. - Установлено, что несущим многообразием 3-диффеоморфизмов Морса-Смейла с седловыми точками одинаковых индексов является сфера. E. M. Osenkov, O. V. Pochinka. Morse – Smale 3-Diffeomorphisms with Saddles of the Same Unstable Manifold Dimension // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2024. Vol. 20. No. 1. P. 167–178. - На каждом линзовом пространстве L(p,q) построены диффеоморфизмы Морса-Смейла с дико вложенными одномерными сепаратрисами. Починка О. В., Таланова Е. А. Диффеоморфизмы Морса–Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях // Успехи математических наук. 2024. Т. 79. № 1(475). С. 135–184. - Построена дискретная динамическая система Морса-Смейла на трехмерной сфере, с инвариантным седловым многообразием, чья фрактальная размерность не совпадает с топологической. Зелик С. В., Починка О. В., Ягилев А. А. О размерности Минковского некоторых инвариантных подмножеств динамических систем // Журнал Средневолжского математического общества. 2024. Т. 26. № 1. С. 32–43. - Установлено, что полным инвариантом неособых потоков Морса-Смейла, заданных на замкнутых ориентируемых 4-многообразиях и имеющих единственную седловую орбиту, которая нескручена, является класс эквивалентности двумерного тора, вложенного в многообразие S^2хS^1. Галкин В. Д., Починка О. В., Шубин Д. Д. Классификация неособых четырехмерных потоков с нескрученной седловой орбитой // Математический сборник. 2024. Т. 215. № 11. С. 65–91. - Получена классификация (с точностью до устойчивой изотопической связности) для градиентно-подобных диффеоморфизмов тора с минус тождественным действием в фундаментальной группе. Nozdrinova E., Pochinka O., Nozdrinov A. Stable isotopy connectivity of gradient-like diffeomorphisms of 2-torus // Journal of Geometry and Physics. 2024. P. 1–20.” - Описана глобальная структура хаотических картановых слоений со связностью Эресмана и доказано существование структуры группы Ли в группе базовых автоморфизмов таких слоений. Н.И. Жукова, К.И. Шеина. Группы базовых автоморфизмов хаотических картановых слоений со связностью Эресмана // Известия вузов. ПНД. 2024. T. 32, № 6. - Описана структура и псевдогиперболические свойства гомоклинических аттракторов многомерных отображений, построены новые примеры таких аттракторов, в том числе псевдогиперболические аттракторы лоренцевского и спирального типов. Kazakov A., Murillo A., Vieiro A., Zaichilov K. Numerical study of discrete Lorenz-like attractors //Regular and Chaotic Dynamics. – 2024. – Т. 29. – №. 1. – С. 78-99. - Исследованы гиперболические подмножества и смешанная динамика в окрестностях гетероклинических контуров обратимых систем. N.E. Kulagin, L.M. Lerman, K.N. Trifonov, “Twin heteroclinic connections of reversible systems”, Regular and Chaotic Dynamics, 2024, Vol. 29, No. 1, 40–64.

Публикации

25. Багаев А. В., Жукова Н.И. On degree of smooth maps between orbifolds Уфимский математический журнал (год публикации - 2024)

39. Гонченко С.В., Морозов К.Е. On Mixed Dynamics in the D¨uffing Equation with Periodic Perturbations Regular and Chaotic Dynamics (год публикации - 2026)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Фундаментальной составляющей проекта является развитие качественной теории и теории бифуркаций бесконечномерных и конечномерных динамических систем, демонстрирующих как хаотическое, так и регулярное поведение. Участниками проекта получен целый ряд новых результатов в теории конечномерных динамических систем, а также разработан единый подход, позволяющий эффективным образом исследовать и бесконечномерную динамику. Прикладной составляющей проекта является разработка новых математических моделей механических и гидродинамических процессов, в том числе создание методики, позволяющей надежно прогнозировать устойчивость движения новых концепций судов на статических и аэродинамических подушках; разработка новых компьютерных методов исследования регулярной и хаотической динамики в таких системах. Приведем основные результаты проекта, полученные за отчетный период по перечисленным направлениям исследования. 1) Диссипативные уравнения в частных производных, математическое моделирование гидродинамических процессов. - Разработано программное обеспечение метода крупных вихрей моделирования турбулентных потоков при помощи решетчатых уравнений Больцмана. - Получена усредненная система уравнений реакции–диффузии с детерминированными коэффициентами в случае статистически однородной случайной структурой границы и при выполнении условия эргодичности. - Обосновано применение метода траекторных аттракторов в задачах с малым параметром для диссипативных уравнений с частными производными. - Охарактеризовано пространство неизлучающих источников и пространство источников краевых задач для стационарной системы уравнений Максвелла и системы уравнений Максвелла в квазистационарных электрическом, магнитном и электромагнитном приближениях. - Численно исследована скорость сходимости черновских аппроксимаций для тригонометрических и экспоненциальных начальных условий гладкости выше 4. - Получены новые явные оценки размерности аттрактора в регуляризации Фогта системы Навье–Стокса в ограниченной области и на торе. - С помощью теории мульти-вихрей получена оценка снизу размерности аттракторов уравнений Навье-Стокса и других моделей несжимаемой гидродинамики для неограниченных областей, ограниченных в некотором направлении. 2) Динамические системы на конечномерных многообразиях. - Установлено, что принадлежность градиентно-подобного диффеоморфизма 2-сферы той или иной компоненте устойчивой связности однозначно определяется числом вращения вблизи неподвижной узловой точки. - Доказано, что многообразие размерности 4 допускает регулярный поток тогда и только тогда, когда оно является сглаживаемым. - Получена топологическая классификация сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов трехмерных многообразий с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа двумерных аттракторов и репеллеров, каждый из которых является дизъюнктным объединением цилиндрически вложенных замкнутых поверхностей, ограничение некоторой степени на каждую из которых топологически сопряжено сохраняющему ориентацию псевдоаносовскому гомеоморфизму. - Показано, что фрактальная размерность любого глобального регулярного аттрактора структурно устойчивого потока в Rn совпадает с его хаусдорфовой размерностью. - Установлено, что любые изотопные тождественному градиентно-подобные диффеоморфизмы замкнутых поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой соединяются устойчивой дугой. - Получено условие на накрытие слоев, при выполнении которого, накрывающее расслоение r* также является расслоенным пространством с некоторой структурной группой G*, а накрывающие отображения баз, тотальных пространств, слоев и структурных групп образуют морфизм в категории расслоений Стинрода. - Показано, что существование аттрактора динамической системы (S, X) является трансверсальным свойством, если S — либо псевдогруппа локальных диффеоморфизмов многообразия X, либо группа преобразований многообразия X, либо гладкое слоение на многообразии X. - Получена интегральная формула для степени собственного отображения между связными ориентированными гладкими орбифолдами одной размерности, которая является обобщением соответствующей формулы для многообразий. - Описана топология несущих многообразий многомерных потоков Морса-Смейла без гетероклинических пересечений. 3) Теория динамического хаоса и математическое моделирование конечномерных систем. - Построены основные элементы теории локальных бифуркаций, приводящих к рождению симметричных пар “аттрактор Лоренца - репеллер Лоренца” в случае трехмерных обратимых по времени потоках. - Описаны сценарии перехода от регулярной к хаотической динамике в классической неголономной системе — волчке Суслова. - Описаны бифуркационные механизмы перехода к режиму "максимального гиперхаоса" в цепочках связанных отображений, описывающих взаимодействие между фирмами-олигополиями типа Копеля. - Описаны сценарии возникновения и структура аттрактора Ровеллы. Даны условия, при такой аттрактор рождается из пары петель седлового состояния равновесия. - Найдены условия, при которых бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами приводят к рождению дискретных аттракторов лоренцевского типа. - Получено доказательство RMD-гипотезы в случаях квадратичного и кубического симметричных гомоклинических касаний. - Для систем с Z4 симметрией получены условия рождения пары аттракторов Лоренца а также четырехкрылого аттрактор Лоренца в результате бифуркации состояния равновесия с тремя нулевыми собственными числами, а также из гетероклинического контура, содержащего три состояния равновесия. - В системе, описывающей движение твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести и дополнительной неголономной связью описаны бифуркации, приводящие к возникновению странных аттракторов и странных репеллеров. - Для многомерных диффеоморфизмов с трансверсальной гомоклинической траекторией к невырожденному негиперболическому седлу построена полная бифуркационная диаграмма на плоскости параметров. - Исследована нормальная форма в окрестности состояния равновесия типа седло-фокус-центр. 4) Численные методы исследования многомерной и бесконечномерной динамики. - Разработаны численные методы построения инерциальных многообразий для диссипативной системы, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау. - Разработан численный метод проверки псевдогиперболичности для систем большой размерности обходящий проблему явной записи уравнений в вариациях. - Разработан численный метод классификации динамических режимов на основе методов символической динамики и сжатия данных без потерь (Lempel-Ziv complexity). - Методами вычислительной гидродинамики проведено моделирование истечения воздуха из зоны воздушной подушки.

Публикации

25. Багаев А. В., Жукова Н.И. On degree of smooth maps between orbifolds Уфимский математический журнал (год публикации - 2024)

39. Гонченко С.В., Морозов К.Е. On Mixed Dynamics in the D¨uffing Equation with Periodic Perturbations Regular and Chaotic Dynamics (год публикации - 2026)