Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Для случайного блуждания S(0),S(1),...,S(n), приращения которого принадлежат (без центрирования) области притяжения устойчивых законов и подчиняются ограничениям min(S(1),...,S(n))>0 и S(n)<h(n) , где h(n)→∞ при n→∞, причем h(n)=o(√n) в случае конечной дисперсии приращений блуждания, показано, что в зависимости от соотношений между параметрами r, h(n) и n предельное распределение случайной величины L(r,n) — минимума случайного блуждания на отрезке [r,n] может иметь 5 различных форм. Полученные результаты позволили найти 5 видов предельных распределений соответствующим образом нормированной случайной величины logZ(r,n) в критическом редуцированном ветвящемся процессе Z(r,n), 0<r<n, в случайной среде при условии невырождения исходного ветвящегося процесса {Z(k), k=0,1,...,n} в случайной среде к моменту n и ограничении S(n)<h(n) на значение сопровождающего случайного блуждания. Исследовался критический ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС) с конечной дисперсией размеров приращений сопровождающего случайного блуждания и начальным числом частиц, зависящим от параметра n→∞. В случае, когда логарифм начального числа частиц имеет порядок √n, найдено предельное распределения времени вырождения указанного ВПСС; доказана предельная теорема о сходимости конечномерных распределений соответствующим образом нормированных размеров популяции ВПСС в моменты времени n_{t_1},…,n_{t_k}, а также функциональная предельная теорема для траекторий, описывающих эволюцию логарифма размера популяции этого процесса. Пусть {Z(n), n=0,1,2,…} — ВПСС, приращения сопровождающего блуждания которого имеют положительное среднее m и удовлетворяют левостороннему условию Крамера. При дополнительных моментных условиях на распределение количества потомков одной частицы доказана теорема, описывающая асимптотику вероятностей P(log Z(n)<x), где m(-1) n< x<mn, а m(-1)— некоторый параметр. Аналогичная теорема была установлена в интегро-локальной форме. Оказалось, что асимптотика указанных вероятностей имеет ту же форму, что и для вероятностей соответствующих событий, относящихся к сопровождающему случайному блужданию, а само событие нижнего уклонение обеспечивается соответствующим поведением сопровождающего случайного блуждания. Пусть {p*(i), i=1,2,…} и {p(i), i=1,2,…} — две последовательности, состоящие из независимых одинаково распределенных случайных величин со значениями в интервале (0,1) (распределения элементов разных последовательностях, вообще говоря, различны). Для фиксированных последовательностей рассмотрим простое блуждание {S(n), n=0,1,...} на целочисленной решетке, устроенное следующим образом: при нахождении в состоянии i случайное блуждание перемещается на следующем шаге направо с вероятностью p*(i) и налево с вероятностью 1-p*(i), если из состояния i до настоящего момента не происходило переходов случайного блуждания направо, или с вероятностями p(i) направо и 1-p(i) налево, если из этого состояния случайное блуждание уже совершало переходы направо. Обозначим T(m) первый момент достижения уровня m случайным блужданием в возмущенной случайной среде. Доказано, что событие {T(m)=k} может быть описано в терминах ветвящегося процесса в случайной среде с иммиграцией в первых m поколениях, в котором первая частица каждого поколения имеет отличное от остальных распределение числа потомков. Указанное соответствие позволило применить известные результаты о больших уклонениях для регенерирующих последовательностей и получить для исследуемой вероятности асимптотическое соотношение P(T(m)=k) = F(k/m)exp(-L(k/m)m)(1+o(1)) при m→∞. Для функций F и L получены выражения в терминах спектрального радиуса некоторого семейства линейных операторов. Изучалась схема серий ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением числа потомков (ВПССГ) {Z(k,n), k=0,1,...,n}, n=1,2,... . С помощью этой схемы серий было задано возмущение исходного ВПССГ {Z(k), k=0,1,2,...}. Было доказано, что если разность a(i,n) в момент i между шагами сопровождающих случайных блужданий процессов {Z(k,n), k=0,1,...,n} и {Z(k), k=0,1,...,n} равна -cin^{-d}, c>0, 0<d<3/2, то последовательность n^{1/2}P(Z(n,n) > 0) стремится к нулю при n→∞. Было рассмотрено арифметическое случайное блуждание {S(k), k=0,1,2,...} с нулевым средним и конечной положительной дисперсией. Пусть M(n) максимум этого блуждания на отрезке [0,n], а T=T(n) — первый момент достижения максимума на этом отрезке. Доказана предельная теорема в форме P(T<xk^2|M(n)=k) для k стремящихся к бесконечности, имеющих порядок o(n½) и принадлежащих решетке распределения. Аналогичные результаты получены и в нерешетчатом случае. Также была доказана локальная предельная теорема для распределения максимума случайного блуждания на отрезке [0,n] в форме P(M(n)=k) для указанных выше значений параметра k. Пусть v – мальтусовский параметр каталитического ветвящегося случайного блуждания (КВСБ), характеризующий скорость экспоненциального роста как общих, так и локальных численностей частиц в КВСБ, а m(t;bPt) — случайная величина, равная числу частиц, находящихся в КВСБ в момент времени t снаружи поверхности bPt, где b – масштабирующий коэффициент из промежутка (0,1], P – предельная форма фронта распространения популяции. Показано, что распределение отношения m(t;bPt)/exp{vbt} сходится при t→∞ к нетривиальному предельному распределению, преобразование Лапласа которого удовлетворяет некоторой системе интегральных уравнений. URL опубликованных статьей https://www.mathnet.ru/php/getFirstPage.phtml?jrnid=dm&paperid=1833&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dm&paperid=1831&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dm&paperid=1843&option_lang=rus

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Исследовался критический ветвящийся процесс {Z(n),n= 0,1,...} в случайной среде (ВПСС), сопровождающее случайное блуждание {S(n), n=0,1,...} которого имеет приращения, принадлежащее (без центрирования) области притяжения устойчивого закона. При n→∞ найдено условное распределение случайной величины Z(n) при условии {Z(n)>0, S(n)<K}, где K -- некоторая константа. При тех же условиях для любого фиксированного b из промежутка (0,1/2) доказана сходимость в пространстве D[0,1] случайного процесса {exp{-S(nb+[n(1-b)t]}Z((nb+[n(1-b)t]]), 0 <t< 1} при n→∞ к предельному процессу с почти наверное постоянными траекториями. Для нерешетчатого случайного блуждания на отрезке [0,n] описано предельное распределение момента достижения им максимума на этом отрезке при фиксации значения максимума на уровне, принадлежащем зоне нормальных уклонений. Исследовался критический ВПСС с начальным числом частиц, зависящим от параметра n→∞, в предположении, что сопровождающее случайное блуждание S(n) в момент n после деления на некоторую постоянную A(n) удовлетворяет при n→ ∞ предельной теореме с устойчивым предельным законом. В случае, когда логарифм начального числа частиц имеет порядок A(n), найдено предельное распределения времени вырождения указанного ВПСС. Для случайного процесса, сопоставляющего моменту времени t≥0 число частиц в поколении с номером [nt] и соответствующим образом нормированного, доказана теорема о слабой сходимости конечномерных распределений, а для логарифма этого процесса установлена предельная теорема о сходимости по распределению в пространстве D[0,∞), оснащенном топологией Скорохода. Установлены предельные теоремы для функционалов, равных соответственно максимуму или сумме численностей различных поколений ВПСС. Описана асимптотика вероятности позднего вырождения марковской рекуррентной последовательности в случайной среде (МРПСС). Показано, что эта асимптотика имеет вид Cexp(-an) для некоторых параметров C и a, заданных в терминах собственных чисел и векторов переходной матрицы соответствующей марковской цепи. В частном случае ВПСС этот результат обобщает результаты В.И. Афанасьева 2024 года, полученные для процессов с геометрическим распределением числа потомков одной частицы, и результаты В. Бансайе и К.Бейингхоффа, описывающие те же вероятности на уровне логарифмической асимптотики. Выделены две зоны нижних уклонений для МРПСС и получена асимптотика вероятностей нижних больших уклонений в первой зоне уклонений — показано, что указанная асимптотика совпадает, с точностью до мультипликативной константы, с соответствующей асимптотикой для сопровождающего случайного блуждания. Описаны асимптотики вероятностей больших уклонений для локального и общего финальных продуктов случайной рекуррентной последовательности, которые являются аналогом финального продукта, известного в теории ветвящихся процессов. В предположении, что произведенные объемы продукта независимы и не зависят от рекуррентного процесса, показано, что для каждого вида продукта эта асимптотика совпадает, с точностью до соответствующей мультипликативной постоянной, с известной асимптотикой для вероятностей больших уклонений сопровождающего случайного блуждания. Полученные результаты применимы для исследования некоторых функционалов от ветвящихся процессов в случайной среде, ветвящихся процессов с иммиграцией и двуполых ветвящихся процессов в случайной среде. Рассматриваются две модели возмущённого простого случайного блуждания в случайной среде, в которых вероятности перехода зависят от количества посещений текущего состояния. В первой модели возмущение в точке исчезает после первого шага из этой точки вправо, во второй модели возмущение в точке исчезает после первого посещения этой точки. Пусть T(n) — время первого достижения уровня n возмущённым случайным блужданием. Для первой модели описано асимптотическое поведение вероятностей большого уклонения случайной величины T(n), а для второй модели проведены предварительные оценки. Для простого симметричного случайного блуждания {W(i), i=0,1,2,…} найдена асимптотика вероятности события A(N(n))= {0 ≤ W(i) ≤ N(n), i=1,2,…,n} при n →∞, где N(n) →∞ и N(n) = o(n^{1/2}). Изучены также конечномерные распределения процесса {W([tn]), 0≤ t≤ 1 } при n → ∞ в предположении, что событие A(N(n)) произошло. Пусть {Z(k,n), k=1,...,n} - схема серий ветвящихся процессов в случайной среде с сопровождающими случайными блужданиями {S(k,n), k=1,...,n}, n=1,2,... ). С помощью этой схемы серий задано возмущение исходного ветвящегося процесса в случайной среде {Z(k), k=1,2,...} с сопровождающим случайным блужданием {S(k), k=1,...,n}. Описано асимптотическое поведение вероятности невырождения возмущённого ветвящегося процесса, где возмущение задано в виде детерминированного изменения шагов сопровождающего случайного блуждания на величину a(k,n) = - ckn^{-3/2}, c < 0. Кроме того, показано, что если разность между невозмущенным и возмущенным сопровождающими блужданиями имеет вид -g(k/n)n^{-1/2}, где функция g(t) является неотрицательной и гёльдеровой с параметром большим 1/2, то отношение вероятностей невырождения невозмущенного и возмущенного процессов сходится к вероятности нахождения траекторий броуновской извилины выше функции g(t) / s, где s - стандартное отклонение шага сопровождающего случайного блуждания. Найдена асимптотика вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде с замораживаниями и геометрическим распределением числа потомков одной частицы, в которой процесс замораживание порождается логарифмически-выпуклой последовательностью {T(i), i = 1, 2, ...} натуральных чисел Исследована плотность популяции внутри фронта её распространения в каталитическом ветвящемся случайном блуждании в случае легких хвостов скачков блуждания. Доказаны предельные теоремы о распределениях нормированного числа частиц в слое внутри фронта распространения популяции, когда время стремится к бесконечности. Кроме намеченной программы исследований, в процессе доказательства удалось выяснить, как эти результаты можно расширить, рассматривая предельные распределения числа частиц в произвольном борелевском множестве внутри изучаемого фронта.