Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В соответствии с заявкой, проводились исследования математических вопросов теории квантовых открытых систем с учетом геометрических свойств пространства-времени. В частности, проводились исследования соотношения теории открытых квантовых систем и общей теории относительности. 1) Исследована возможность алгебраического описания наблюдателей в зависящих от времени гравитационных полях. В термодинамике черных дыр в асимптотически плоском пространстве третий закон термодинамики нарушается, и энтропия не может быть описана с использованием стандартных моделей статистической механики. Было показано, что для некоторых черных бран - таких как черные браны Пуанкаре, черные браны Лифшица и анизотропные черные браны типа Лифшица - третий закон выполняется, и энтропия стремится к нулю при приближении температуры к нулю. Получено обобщение ранее установленной дуальности между термодинамикой черных дыр и Бозе-газом на черные браны. В частности, черная брана Пуанкаре в D-мерном пространстве-времени дуальна нерелятивистскому Бозе-газу в (D-2) мерном пространстве. Аналогичный результат получен для черных бран Лифшица и Бозе-газа [И.Я. Арефьева, И.В. Волович, Д.О. Степаненко, “Черные браны/Бозе газ дуальность и третий закон термодинамики”, Теоретическая и математическая физика (принята к печати), https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=10852&option_lang=eng arXiv: 2411.01778]. 2) Теория открытых квантовых систем обычно рассматривает динамику на таком временном масштабе, на котором динамика открытой системы становится приближённо некоррелированной с окружением. Влияние этого окружения на систему остаётся, но сводится лишь к внешнему шуму. Это однако приводит к таким эффектам, как диссипация и декогеренция, которые без взаимодействия с окружением отсутствуют. В рамках проекта сделан следующий шаг в развитии данного подхода. А именно, выделен временной масштаб, на котором приближённо сохраняются симметрии свободной динамики открытой квантовой системы. Было продемонстрировано, что влияние окружения в такой постановке приводит к размыванию симметрий исходной системы на данном временном масштабе [Teretenkov, A. E. "Superoperator master equations for depolarizing dynamics." Lobachevskii Journal of Mathematics 45.6 (2024): 2615-2627, https://link.springer.com/article/10.1134/S1995080224602832]. 3) Считается, что островной механизм в теории черных дыр позволяет получить унитарную эволюцию при излучении Хокинга, то есть решить так называемый информационный парадокс в теории черных дыр. В рамках проекта была исследована временная зависимость энтропии зацепленности излучения Хокинга на фоне двусторонней вечной черной дыры Шварцшильда со сферически симметричными границами с отражающими граничными условиями. Островная конфигурация перестает существовать при некотором времени удаленного наблюдателя и возникает только спустя некоторый конечный промежуток времени. Энтропия зацепленности дважды испытывает скачок в указанные моменты времени и в течение этого временного интервала превышает термодинамическую энтропию черной дыры, что приводит к информационному парадоксу [Dmitry Ageev, Irina Aref'eva, Timofei Rusalev, “Black holes, cavities and blinking islands”, Physical Review D (принята к печати), https://arxiv.org/abs/2311.16244]. 4) Получено представление произвольной однопараметрической полугруппы ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на координатном пространстве посредством комплекснозначной конечно-аддитивной меры на пространстве траекторий. Доказана формула Фейнмана—Каца для возмущения произвольной С_0-полугруппы добавлением к ее генератору оператора умножения на ограниченную измеримую функцию. 5) Найдено однопараметрическое семейство глобальных решений в общей теории относительности со скалярным полем с использованием метрики Лиувилля. Потенциал скалярного поля имеет экспоненциальный вид. Важным свойством данной метрики является полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для геодезических даже в отсутствие какой-либо симметрии. Эта модель приводит к гладкому продолжению вселенной Фридмана с ускоренным расширением через нуль масштабного множителя назад по времени. 6) Изучен перенос в квантовой системе с управлением. Показано, что возможно достижение направленности для туннельных переходов при наличии квантового управления. 7) Исследовано уравнение теплопроводности для лапласиана Леви на римановом многообразии замкнутых путей. С помощью семейства 1-форм, зависящего от времени и являющегося решением уравнения теплопроводности для лапласиана Ходжа-де Рама на компактном ориентированном римановом многообразии, было построено решение уравнения теплопроводности для лапласиана Леви, обладающее следующим свойством. При стремлении времени к бесконечности оно сходится к гармоническому для лапласиана Леви функционалу.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В отчетном году 2025 г было продолжено изучение математических вопросов открытых квантовых систем и их геометрических характеристик и получены следующие результаты. 1) Удалось установить эквивалентность между основным уравнением квантовой механики и уравнениями классической теории упругости. В 1750 году Эйлер и Бернулли предложили уравнение для описания колебаний балок и пластин в теории упругости. В 1926 году Шредингер открыл волновое уравнение, описывающее движение квантово-механических частиц. В рамках проекта доказано, что эти фундаментальные уравнения связаны. Чтобы вывести уравнение Эйлера-Бернулли из уравнения Шредингера, мы используем представление комплексной волновой функции в виде суммы его действительной и мнимой частей, получаем два уравнения Эйлера-Бернулли, каждое из которых описывает колебания балки или пластины. Таким образом, уравнение Шредингера представляет собой пару уравнений Эйлера-Бернулли с зависимыми начальными данными. Возникает принципиальная возможность моделирования квантово-механических эффектов с помощью классических уравнений теории упругости. 2) Изучено влияние свойств спектра самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве на свойства унитарной группы, порождаемой им как динамической системой в гильбертовом пространстве. Получены условия периодичности траекторий и их транзитивности на инвариантном торе, содержащем начальную точку траектории. Получены условия, необходимые и достаточные для неблуждаемости точек в инвариантном многообразии в фазовом пространстве. 3) В течение отчетного года были получены новые результаты в анализе операторов и дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах, возникающих при изучении квантовых динамических систем. Была исследована прямоугольная область бесконечномерного вещественного сепарабельного гильбертова пространства (бесконечномерный аналог классического единичного куба). На этой области изучался оператор Лапласа Дирихле, определяемый системой координатных производных с весами, заданными спектром положительного самосопряженного оператора. Основной задачей работы было изучение неоднородной задачи Дирихле. Впервые эта задача была проанализирована для правых частей, принадлежащих отрицательным пространствам Соболева. Были установлены и сформулированы в терминах спектра оператора достаточные условия существования слабого решения. Эти условия обеспечивают корректность вариационной формулировки задачи и гарантируют существование решения во взвешенных пространствах Соболева. 4) Получено описание закономерностей геномной эволюции Кунина как следствия формулы Фейнмана-Каца для марковского процесса случайного блуждания в пространстве последовательностей. При этом логнормальное распределение для замен оснований в семействах ортологичных генов (гомологичных генов в разных организмах) получается как следствие модели марковской эволюции белков, порождаемой независимыми заменами аминокислот. Показано, что степенное распределение для размеров семейств паралогичных генов (генов в одном геноме, связанных событиями генной дупликации) является следствием марковской эволюции геномов, порождённой дупликациями генов. 5) Была получена точная формула, описывающая эволюцию во времени многоуровневой квантовой системы, начальное состояние которой сложным образом зависит от начального состояния среды. Кроме того, для нескольких одинаковых и не влияющих друг на друга резервуаров, была вычислена первая поправка к такой динамике в стандартном пределе слабой связи. Выяснено, что даже при сложном начальном влиянии окружения на состояние системы, эволюция системы может быть описана в простой форме. 6) Доказана эквивалентность трех различных определений лапласиана Леви, действующего на функциях на многообразии путей. С помощью собственных функций оператора Лапласа–Бельтрами и собственных 1-форм лапласиана Ходжа–де Рама было построено семейство собственных функций для лапласиана Леви. Показано, что решение уравнения теплопроводности для лапласиана Леви, состоящее из параллельных переносов, порожденных классическим решением уравнения теплопроводности Янга–Миллса, поточечно сходится к гармоническому функционалу для лапласиана Леви при стремлении времени к бесконечности. 7) Для излучения Хокинга в рамках островной формулы для энтропии зацепленности системы черная дыра - излучение Хокинга получены явные выражения для энтропии зацепленности конформной материи в основном состоянии в двумерной гравитации Джакива–Тейтельбойма с положительной космологической постоянной при наличии границ в двух областях, содержащих соответственно космологический горизонт и горизонт, ассоциированный с горизонтом “черной дыры”. Показано, что в области с горизонтом “черной дыры” существует островное решение, приводящее к насыщению энтропии зацепленности на уровне термодинамической энтропии данного горизонта, тогда как в области с космологическим горизонтом островные решения отсутствуют, и энтропия зацепленности при смещении границ может неограниченно возрастать. 8) Проведено исследование математических оснований предела больших N в теориях поля, голографически дуальных гравитации. В качестве рабочей модели рассматривается теория случайных матриц из гауссова унитарного ансамбля (GUE). Исследован вопрос о модификация приближения больших N с целью воспроизведения самоусредняющегося поведения спектрального форм-фактора при сколь угодно поздних временах, характерных для гравитации. Сформулирована теорема о самоусреднении (по ансамблю GUE) спектрального форм-фактора, усредненного по главным минорам фиксированной исходной матрицы в пределе больших N. 9) Найдены все трехмерные локально плоские римановы сепарабельные метрики. Они описывают новые виды дислокаций в упругой среде в рамках геометрической теории дефектов: эллиптические, гиперболические и параболические дислокации.