Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Исследованы многомерные гиперболические уравнения с потенциалами, на которые действуют операторы сдвига по произвольным пространственным переменным, а на дифференциально-разностные операторы, содержащиеся в этих уравнениях, не накладываются условия знакопостоянства вещественной части символа. Построены многопараметрические семейства их бесконечно гладких глобальных решений. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в подобластях. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться на границах соседних подобластей и вблизи точек сингулярности. Доказана теорема об эквивалентности смешанной задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в плоской ограниченной области и нелокальной смешанной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения со спектральным параметром. Рассмотрена задача об успокоении системы управления с последействием. Эта задача была сведена к вариационной задаче для квадратичного функционала, содержащего неизвестную вектор-функцию и её производную при различных значениях аргумента. Доказана эквивалентность данной вариационной задачи и краевой задачи для однородной системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с переменными коэффициентами и неоднородными краевыми условиями. Доказаны существование и единственность обобщённого решения указанной краевой задачи в пространстве Соболева. Показано, что гладкость обобщённых решений может нарушаться внутри интервала, на котором решения существуют, и сохраняется лишь на некоторых подынтервалах. Получены необходимые для исследования фредгольмовой разрешимости в весовых пространствах типа Кондратьева общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения со сжатием аргументов искомой функции результаты об операторах сжатия в пространствах символов: доказана теорема о представлении аналитических функций со значениями в пространстве символов в виде степенного ряда, показано, что пространство символов образуют алгебру. Исследованы неклассические эллиптические задачи высокого порядка, имеющие условия на непустом выпуклом замкнутом подмножестве пространства Соболева. В терминах эквивалентных норм получена удобная форма для универсальных апостериорных оценок решений в виде так называемого «равенства отклонения». Левая часть равенства учитывает все данные задачи и стремится к нулю, если приближенные решения близки к точным. Правая часть равенства зависит только от приближенных решений, а потому полностью вычислима. Данное равенство позволяет судить о близости приближенных решений к точному, причем без знания последнего и вне зависимости от применявшегося метода аппроксимации. Что не менее важно, оно позволяет выяснить, которая из аппроксимаций лучше приближает точное решение. В рамках выполнения проекта были проведены следующие работы: - изучены свойства разностных операторов на конечном интервале в пространствах Соболева с краевыми условиями второго рода. - задача о нахождении собственных значений и собственных функций была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений со спектральным параметром и нелокальными краевыми условиями. Рассмотрен обыкновенный дифференциальный оператор четного порядка со спектральным параметром и нелокальными условиями, записанными в виде интегралов Римана, содержащих линейную комбинацию производных неизвестной функции. Для модельной задача без младших членов в уравнении, с постоянным старшим коэффициентом и с кусочно-постоянными весовыми функциями в интегральных условиях получена априорная оценки решений задачи при достаточно больших значениях спектрального параметра в терминах эквивалентных норм в пространстве Соболева. Рассмотрена смешанная задача для системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, описывающая кинетику высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе. Доказана априорная оценка нормы напряжённости электрического поля через нормы начальных функций распределения плотности заряженных частиц. Использование этой оценки позволило получить достаточные условия того, что носители функций распределения плотности по пространственным переменным лежат на заданном расстоянии от границы, что соответствует удержанию плазмы в термоядерном реакторе. Распространение вирусной инфекции в культуре клеток и ткани может быть описано реакционно-диффузионной волной. В рамках проекта была построена математическая модель распространения вирусной инфекции, учитывающая влияние провоспалительных цитокинов и резидентных макрофагов. Для построенной модели были определены основные характеристики: 1) число репродукции вируса, показывающее, будет ли распространяться инфекция; 2) скорость распространения волны соотносящаяся с тяжестью заболевания и 3) полная вирусная нагрузка, под которой понимается пространственный интеграл от концентрации вирусных частиц и которая соотносится с инфекционностью респираторного вируса. Было показано, что в модели с воспалением необходимым условием развития инфекции является R > 1+P, где число P характеризует силу иммунного ответа, а число R - число репликации вируса, имеющее тот же смысл, что и базовое число репродукции в эпидемиологических моделях типа SIR.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Для задачи Коши в полуплоскости для дифференциально-разностных параболических уравнений в явном виде построены представления решений функциональными рядами, абсолютно и равномерно сходящимися на любом компактном множестве. Для задачи Коши в плоскости для дифференциально-разностных гиперболических уравнений в явном виде построены представления решений функциональными рядами, абсолютно и равномерно сходящимися в любой полосе, параллельной начальной оси. Представлена теорема о гладкости обобщенных решений смешанной краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения в подобластях. Построены примеры нарушения гладкости обобщенных решений на границах соседних подобластей. Построены примеры нарушения гладкости обобщенных решений в точках сингулярности. Получена асимптотика поведения таких обобщенных решений. Были получены как необходимые, так и достаточные условия фредгольмовой разрешимости в весовых пространствах общих краевых задач в плоских областях для функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов, сформулированные в виде отсутствия на некоторой прямой на комплексной плоскости, параллельной вещественной оси, собственных значений соответствующих конечномероморфных операторнозначных функций. Рассмотрено дифференциальное уравнение параболического типа с ограничениями, заданными на некотором непустом выпуклом замкнутом подмножестве. Для него получено функциональное тождество отклонения, описывающее удаленность приближенных решений от точного, причем вне зависимости от метода построения приближений. Это тождество позволяет получить универсальную апостериорную оценку решения, не требующую знания точного решения и не зависящую от применявшегося метода аппроксимации. Построен пример дифференциально-разностного оператора с краевыми условиями второго рода, показывающий, что гладкость обобщенных собственных функций может нарушаться во внутренних точках интервала. Исследована нелокальная задача для обыкновенного дифференциального уравнения четного порядка с переменными коэффициентами и интегральными условиями, содержащими интегралы Лебега от неизвестной функции и ее производных. Получена априорная оценка решений данной задачи при достаточно больших значениях спектрального параметра. Доказана дискретность и секториальная структура спектра оператора, а также фредгольмовость соответствующих операторов. Исследована первая смешанная задача для системы Власова-Пуассона с внешним магнитным полем. Получена априорная оценка нормы напряжённости электрического поля. Эта оценка позволила доказать глобальное существование характеристик уравнений Власова, а следовательно и существование глобального классического решения первой смешанной задачи для системы Власова-Пуассона с компактным носителем, лежащим на заданном расстоянии от границы. Была построена модель, описывающая распространение вирусной инфекции в ткани, которая учитывает влияние провоспалительных цитокинов и циркулирующих макрофагов. В модели определены условия распространения инфекции, и получены численные характеристики, позволяющие оценить инфекционность и тяжесть заболевания. Была построена и исследована модель, описывающая распространение вирусной инфекции в ткани, которая учитывает иммунный ответ и циркуляцию вируса в организме. Для этой модели получено условие распространения инфекции, оценка на полную вирусную нагрузку и оценка скорости распространения инфекции.