Экстремальные и аппроксимационные задачи в анализе и теории машинного обучения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-11-00114

НазваниеЭкстремальные и аппроксимационные задачи в анализе и теории машинного обучения

Руководитель Кашин Борис Сергеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова поперечник, фреймы, федеративное обучение, нейронные сети, жадные алгоритмы, регулярные самоподобные замощения, моделирование поверхностей, преобразование Фурье, ортонормированная система, дробно-монотонные последовательности, дискретизация, гравитационный потенциал, балансировка векторов, голоморфные отображения, области однолистного покрытия

Код ГРНТИ27.25.00, 27.27.00, 27.39.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В последние годы экстремальные и аппроксимационные задачи – направления исследований в теории функций и функциональном анализе, которым планируется посвятить проект, находят все новые приложения, важные как для практики, так и для других направлений математики. К примеру, оказалось, что понятие поперечника множества в линейном метрическом пространстве, введенное в теорию аппроксимации А.Н. Колмогоровым еще в 1936 году, играет фундаментальную роль в компьютерных науках, где оно под другим названием (жесткость матриц) исследуется для случая метрики Хемминга. К настоящему времени поперечники по Колмогорову исследованы достаточно полно, оценки этих величин внедрены в практику. В частности, эти оценки лежат в основе «сжатых измерений» (compressed sensing) – современного метода обработки сигналов, получившего широкое распространение. Однако бурное развитие нейронных сетей приводит к новым постановкам задач теории аппроксимации, которые исследованы слабо. Даже для функций простой структуры во многих случаях отсутствуют теоретические результаты о возможности построения устойчивых, эффективных алгоритмов их приближения посредством нейронных сетей. Проект нацелен, в частности, на систематическое исследование этой темы. Кроме того, планируется изучить аппроксимационные задачи и алгоритмы, возникающие в практических вопросах федеративного обучения (federated learning). Здесь уже нашли применение полученные участниками проекта результаты из функционального анализа о свойствах конечномерных выпуклых тел. Другая тема проекта представляет интерес для эффективного моделирования многомерных поверхностей и связана с разработкой нового аппарата приближения и интерполяции функций нескольких переменных. Речь идет о многомерном, матричном обобщении классических систем всплесков (wavelets), при котором аппроксимация и интерполяция осуществляется линейными комбинациями функций с носителем фрактальной структуры. В качестве еще одного аппарата приближения планируется исследовать свойства полугрупп общего вида, порожденных подмножествами гильбертова пространства. В рамках проекта планируется также продолжить исследование классической тематики – общих ортогональных рядов и рядов по классическим ортонормированным системам. Планируется рассмотреть задачи об эффективной дискретизации полиномов по общим ортогональным системам и решить ряд экстремальных задач, возникающих в теории тригонометрических рядов и преобразований Фурье. Это направление исследований, имеющее, казалось бы, чисто теоретический характер, находит сегодня приложения в алгоритмических вопросах дискретной математики и, одновременно, важно для развития самой теории функций. Еще один круг вопросов, планируемый для изучения в рамках проекта, связан с исследованием экстремальных задач на классах аналитических в области функций с заданными неподвижными точками. Неподвижные точки играют ключевую роль в голоморфной динамике, список приложений которой в последнее время значительно расширился. Классические задачи о точных областях однолистности и однолистного покрытия, а также о коэффициентах степенных разложений будут рассмотрены в новых постановках, полезных для практики, и позволят получить новые знания о самих аналитических функциях.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Предложен алгоритм сжатия и квантизации данных, основанный на известном геометрическом результате Б.С. Кашина 1977 года (так называемое "представление Кашина"). Проведены численные эксперименты, показывающие, что по скорости и точности приближения этот алгоритм имеет преимущества в сравнении с известными алгоритмами, решающими сходные задачи. Предложен подход к оценкам снизу математического ожидания максимума гауссовского процесса, основанный на классических результатах из геометрии выпуклых тел. Для ряда ортонормированных систем (включая тригонометрическую и систему Уолша) установлен широкий класс операторов, которые отображают пространства Лебега с показателем большим 2 в их подпространства, состоящие из функций, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют неравенству Харди–Литтлвуда. Получен ряд новых результатов о свойствах сумм тригонометрических рядов с дробно-монотонными коэффициентами (асимптотика вблизи нуля, аналоги теорем Лоренца и Чанди – Джолиффа). Доказано, что квадратичная спектральная концентрация характеристической функции множества меры, не превосходящей 4/3, на отрезке [-1/2,1/2] всегда не больше квадратичной спектральной концентрации на том же отрезке невозрастающей перестановки этой функции. Дан пример, показывающий, что для функций, принимающих по крайней мере два ненулевых значения, это вообще говоря верно тогда и только тогда, когда мера носителя функции не превосходит ≈ 0,884… Показано, что в некоторых частных случаях от ограничения на меру можно отказаться, получены оптимальные с точностью до константы оценки на L^2–нормы негармонических полиномов с чередующимися коэффициентами +1 и -1. Получено 20 семейств сверхгладких тайловых B-сплайнов двух переменных, определенных как свертка характеристических функций специальных самоподобных компактов. Их гладкость в W_2^k превосходит гладкость стандартных B-сплайнов того же порядка. Получен ряд результатов про возможную гладкость семейств тайловых B-сплайнов, позволивших найти данные примеры. Получен критерий плотности аддитивной полугруппы, порожденной подмножеством эллипсоида с конечной суммой квадратов главных полуосей, в гильбертовом пространстве. Отсюда выводится следствие о плотности аддитивной полугруппы, порожденной голоморфным образом конечномерного компакта. Найдена точная область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с двумя граничными неподвижными точками, одна из которых является притягивающей, в зависимости от значения угловой производной в отталкивающей неподвижной точке.

Публикации

1. Дьяченко М.И., Солодов А.П. Модули непрерывности в интегральной метрике сумм тригонометрических рядов с коэффициентами дробной монотонности Труды Московского математического общества (год публикации - 2024)

2. Меркулов Д.М., Чернюк Д., Рудиков А.А., Оселедец И.В., Муравлёва Е.А., Михалёв А.Ю., Кашин Б.С. Quantization of large language models with an overdetermined basis Proceedings of the Fortieth Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence, Proceedings of Machine Learning Research, Volume 244, Pages 2527–2536. (год публикации - 2024)

3. Оганесян К.А. Неравенство Джона–Ниренберга для рядов типа Римана Математические заметки, Том 117, выпуск 1, страницы 110-120 (год публикации - 2025)
10.4213/mzm14360

4. Кашин Б.С. Геометрический подход к оценкам снизу максимума гауссовских случайных процессов Математические заметки, Том 116, Выпуск 6, страницы 916–922 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14514

5. Дьяченко М.И., Солодов А.П. Some new approaches in the theory of trigonometric series with monotone coefficients Eurasian Mathematical Journal, Volume 16, Number 1, Pages 22-31 (год публикации - 2025)
10.32523/2077-9879-2025-16-1-22-31

6. Зайцева Т.И. Сверхгладкие тайловые B-сплайны Математический сборник, Том 216, номер 3, страницы 69-95 (год публикации - 2025)
10.4213/sm10212

7. Шкляев К.С. О плотности аддитивной полугруппы, порожденной подмножеством эллипсоида Гильберта-Шмидта Математический сборник, Том 216, номер 6, страницы 138-150 (год публикации - 2025)
10.4213/sm10132

8. Кудрявцева О.С. Обобщение теоремы Жюлиа-Каратеодори на случай нескольких граничных неподвижных точек Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Том 522, страницы 25-32 (год публикации - 2025)
10.31857/S2686954325020059

9. Кашин Б.С., Оселедец И.В., Рудиков А.А. Ускоренный алгоритм разложения вектора на два вектора с малой равномерной нормой Математические заметки, Том 118, выпуск 3, страницы 434-442 (год публикации - 2025)
10.4213/mzm14760

10. Зайцева Т.И. Самоподобные сплайны Успехи математических наук, Том 79, выпуск 5, страницы 183–184 (год публикации - 2024)
10.4213/rm10203

11. Кудрявцева О.С., Солодов А.П. Область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками Математические заметки, Том 116, выпуск 4, страницы 632–635 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14370

12. Кудрявцева О.С., Солодов А.П. Точные области однолистности и однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками Математический сборник, Том 216, номер 4, страницы 44-66 (год публикации - 2025)
10.4213/sm10118

13. Дьяченко М.И., Солодов А.П. Интегральные модули непрерывности сумм косинус-рядов, коэффициенты которых имеют порядок монотонности между 1 и 2 Математические заметки, Том 118, выпуск 1, страницы 149-153 (год публикации - 2025)
10.4213/mzm14710

14. Дьяченко М.И., Солодов А.П. The properties of the trigonometric series with fractionally monotone coefficients Journal of Mathematical Sciences (год публикации - 2026)

15. Кашин Б.С. О m-членных приближениях в метрике дискретного пространства L^0_n Математические заметки (год публикации - 2026)