Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Одной из главных целей проекта является изучение свойств групп, сохраняемых при $m$-замыканиях, и построение полиномиальных алгоритмов вычисления замыканий некоторых классов групп. В 2024 г. участниками проекта А.В. Васильевым и С.В. Скресановым в соавторстве с И.Н. Пономаренко (ПОМИ РАН) была установлена связь между строением композиционных факторов группы подстановок и её $m$-замыкания для $m\geq 4$. Было показано, что если данная группа подстановок не содержит секцию, изоморфную знакопеременной группе степени $d$, $d\geq 25$, то и $m$-замыкание этой группы для $m\geq 4$ тоже не содержит такой секции. В ходе доказательства устанавливаются и несколько более точные ограничения на строение композиционных факторов рассматриваемой группы, что позволяет показать замкнутость естественных классов групп относительно операции m-замыкания. Еще одно направление проекта связано с изучением BS-ширины полных классов групп. В 2024 г. участником проекта Д.О. Ревиным было доказано, что BS-ширина любого полного класса групп конечна и получена верхняя оценка на эту ширину в терминах наибольшего $d$ такого, что полная симметрическая группа степени $d$ лежит в данном классе. Этот результат обобщает классическую теорему Бэра-Сузуки, которая в терминах BS-ширины гласит, что BS-ширина класса $p$-групп для любого простого числа $p$ равна 2, а также теорему о том, что BS-ширина класса разрешимых групп равна 4, доказанную независимо Гордеевым, Груневальдом, Кунявским, Плоткиным с одной стороны и Флейвеллом, Гэстом, Гуралником с другой стороны. Третье направление проекта связано с изучением конечных групп, изоспектральных конечным простым классическим группам (группы изоспектральны, если у них одинаковые множества порядков элементов). Известно, что любая конечная группа, изоспектральная простой классической группе $L$ размерности не менее 37, очень близка к $L$, а именно, является почти простой группой с цоколем $L$. Существует гипотеза, что данным свойством обладают и классические группы много меньших размерностей. В 2024 г. участниками проекта М.А. Гречкосеевой и В.В. Паньшиным было доказано, что этим свойством обладают простые группы $PSL_6(q)$, $PSU_5(q)$ и $PSU_6(q)$. В ходе доказательства также был получен общий результат о конечных группах, изоспектральных простым классической группам: такие группы не могут иметь в качестве композиционного фактора исключительную группу лиева типа.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Одной из основных задач проекта является построение полиномиального алгоритма нахождения замыкания для любой группы $G$ подстановок с ограниченными неабелевыми композиционными факторами. В текущем году решение основной задачи было сведено к очень ограниченной ситуации, когда $G$ - примитивная базисная аффинная группа, а стабилизатор точки $G_0$, который в данном случае является линейной группой, содержит по модулю подгруппы скалярных матриц единственную минимальную нормальную подгруппу $L$, которая действует абсолютно неприводимо. Это позволяет утверждать, что общая задача будет полностью решена в следующем, третьем году работы по проекту. Одной из целей проекта является изучение вычислительной сложности проблемы изоморфизма групп, в частности, изучение полиномиальных сведений между различными вариантами проблемы изоморфизма и связанными проблемами. В 2025 г. участник проекта С.В. Скресанов показал, что проблема изоморфизма групп сводится за полиномиальное время к проблеме вычисления полной группы автоморфизмов. Более того, доказывается, что и ряд других вычислительных задач на группах тоже сводится за полиномиальное время к проблеме вычисления автоморфизмов. Полученный результат является групповым аналогом классических полиномиальных сведений в проблеме изоморфизма графов. Теорема Бэра-Сузуки дает критерий принадлежности элемента конечной группы ее $p$-радикалу для любого фиксированного простого числа $p$. Это утверждение играет в теории конечных групп важную роль, являясь одновременно признаком непростоты группы и инструментом локального анализа. Обобщения этой теоремы занимают умы многих специалистов, включая таких корифеев, как Фишер, Тиммесфельд, Гуральник, Малле и другие. Естественным направлением обобщений является перенесение данного результата с простого числа $p$ на произвольное множество $\pi$ простых чисел. В 2025 году получено существенное продвижение в изучении неулучшаемого аналога теоремы Бэра-Сузуки для $\pi$-радикала. Этот аналог шаг за шагом доказывается для конечных групп с запретом на определенные композиционные факторы, и шаг в доказательстве состоит в снятии запрета на те или иные композиционные факторы. В 2025 году удалось снять запрет на наличие композиционных факторов, изоморфным симплектическим группам. В настоящее время аналог теоремы Бэра-Сузуки для $\pi$-радикала доказан для конечных групп, не имеющих композиционных факторов, изоморфных простым ортогональным группам размерности не меньше 7, и некоторым "большим" исключительным группам. Одной из целей проекта является доказательство следующей гипотезы: конечная группа, имеющая такое множество порядков элементов, как конечная простая классическая группа $L$ не очень маленькой размерности, очень близка к $L$, а именно, является почти простой группой с цоколем $L$. В 2025 г. М.А. Гречкосеева и В.М. Родионов показали, что указанным свойством обладают простые группы $PSL_8(q)$, $PSU_8(q)$, $P\Omega_10^+(q)$, $P\Omega_10^-(q)$ и $P\Omega_12^+(q)$. В.В. Паньшин доказал, что указанным свойством обладают все простые линейные и унитарные группы над полями нечетной характеристики размерностей от 7 до 24 с несвязным графом простых чисел. Результат В.В. Паньшина завершил изучение проблемы распознаваемости по спектру для простых групп с несвязным графом простых чисел.