Актуальные проблемы квантовой теории информации

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-11-00145

НазваниеАктуальные проблемы квантовой теории информации

Руководитель Холево Александр Семенович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-212 - Квантовые методы обработки информации

Ключевые слова квантовое состояние, квантовый канал, квантовое измерение, пропускная способность канала, квантовая сцепленность, квантовая нелокальность, энтропия фон Неймана, относительная энтропия, граница Холево, положительная операторнозначная мера, квантовое распределение ключа

Код ГРНТИ27.47.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Современное развитие квантовых информационных технологий перманентно приводит к необходимости решения новых, зачастую трудных математических задач. Некоторые из них решаются сравнительно быстро, тогда как другие остаются нерешенными многие годы, но затем подходы к их (частичному) решению находятся на новом этапе развития методов исследования (как это было, например, с гипотезой аддитивности или гипотезой о гауссовских минимизаторах). В проекте планируются исследование и решение комплекса связанных между собой новых актуальных математических задач квантовой теории информации, а также некоторых давно стоящих открытых проблем, которые важны как с общей квантово-информационной точки зрения, так и для развития передовых квантовых технологий. Задачи концентрируются вокруг следующих основных взаимосвязанных тем -- квантовые каналы, вероятностные операторно-значные меры (измерительные каналы), квантовая сцепленность, каналы с подслушивателем (квантовая криптография): 1) Разработка и доказательство континуальной версии теоремы Хьюстона-Джозы-Вуттерса (Hughston-Jozsa-Wootters theorem) о расширении произвольного ансамбля квантовых состояний до вероятностной операторно-значной меры. Использование этого результата для решения ряда открытых вопросов квантовой теории информации "систем с непрерывными переменными", в частности, нерешенных задач теории квантового дискорда в двухчастичных системах бесконечной размерности. 2) Доказательство выполнимости ряда ключевых свойств регуляризированной относительной энтропии сцепленности в двухчастичных и многочастичных квантовых системах бесконечной размерности (необходимых для ее использования в качестве меры сцепленности в бесконечномерных квантовых системах, в частности, в системах с "непрерывными переменными"). 3) Нахождение и исследование аналитических соотношений между значениями мер сцепленности и нелокальности для произвольного многочастичного квантового состояния любой размерности, а также исследование устойчивости нелокальности многочастичного состояния к шуму. Это важно для квантовых технологий, основанных на использовании квантовой нелокальности и сцепленности. 4) Строгое математическое исследование квантовых каналов, задаваемых квантовыми вычислениями на клиффордовых неадаптивных и адаптивных схемах, а также каналов из высших уровней иерархии Клиффорда. Вычисление информационных характеристик, в частности, классической пропускной способности квантовых каналов, определяемых представлениями групп и квантовыми схемами. 5) Построение новых классов вероятностных операторно-значных мер и исследование их информационной полноты. Определение динамики квантовых систем с помощью формализма операторно-значных мер. Выявление информационного содержания понятия измерительного канала как "подслушивателя" в схемах квантовой криптографии. 6) Получение проверяемых достаточных условий существования предельной точки у последовательности бесконечномерных квантовых каналов в топологии сильной сходимости. Использование этих условий для решения открытых вопросов квантовой теории информации, в частности, для доказательства обобщенной версии теоремы Петца об обращающем канале для бесконечномерной квантовой системы. 7) Решение ряда открытых вопросов, связанных с понятием сильной-* сходимости бесконечномерных квантовых каналов (как наиболее физически мотивированного вида сходимости таких каналов). В частности, получение критерия секвенциальной компактности относительно сильной-* сходимости и проверяемых достаточных условий совпадения сильной-* сходимости и сильной сходимости для последовательностей квантовых каналов. 8) Анализ криптостойкости разных версий протокола квантовой криптографии с фазово-временным кодированием в условиях затухания. Построение конкретных примеров постселективных преобразований квантовых состояний, которые дают преимущество перед детерминированными преобразованиями в задачах квантовой криптографии.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Разработана адекватная формулировка и получено обобщение конечномерного результата Хьюстона-Джозы-Вуттерса (HJW-theorem) на случай смешанных состояний в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве и непрерывных ансамблей, актуальный, например, для «систем с непрерывными переменными» в квантовой фотонике. Получено доказательство континуальной версии этой теоремы, которая позволяет представить произвольный непрерывный ансамбль состояний бесконечномерной квантовой системы как результат измерения обобщенной наблюдаемой (вероятностной операторно-значной меры) в референтной системе над очищением среднего состояния этого ансамбля. На этой основе получена полная классификация непрерывных ансамблей с фиксированным средним состоянием в сепарабельном гильбертовом пространстве в терминах обобщенных наблюдаемых. Получены новые формулы в алгебре бозонных гауссовских операторов, с помощью которых дано упрощенное явное вычисление «степени совпадения» (fidelity) двух гауссовских состояний в общем случае. [A.S.Holevo//Lobachevskii Journal of Mathematics, 2024, Vol. 45, No. 6, pp. 2509–2526. https://rdcu.be/dVQFO] Получены необходимые и достаточные условия существования предельной точки у последовательности бесконечномерных квантовых каналов относительно топологии сильной сходимости. С помощью данных условий решены следующие задачи: 1) доказана обобщенная версия теоремы Петца об обращающем канале для бесконечномерной квантовой системы, в которой не предполагается ни точность (невырожденность) состояний, ни условие доминирования первого состояния вторым; 2) доказана замкнутость множеств деградируемых и антидеградируемых квантовых каналов бесконечной размерности в топологии сильной сходимости; 3) доказано сохранение свойства обратимости квантового канала относительно заданного множества входных состояний при переходе к пределу в топологии сильной сходимости. [M.E.Shirokov//Lobachevskii Journal of Mathematics, 45(6), 2585–2606 (2024), https://rdcu.be/dVQFU] Построено постселективное преобразование для состояний из четырёх фотонов, соответствующих протоколу квантового распределения ключей с фазово-временным кодированием. Вычислена вероятность успеха этого преобразования для различных значений угла между состояниями протокола внутри базиса. Построена атака на протокол на основе предложенного преобразования. Вычислена критическая длина линии связи, при которой перехватчик получает полную информацию, для различных значений интенсивности исходных сигналов. [Д.А.Кронберг// Теоретическая и математическая физика, принята к печати, http://mi.mathnet.ru/rus/tmf10844] Разработан новый подход к определению в явном виде точного аналитического выражения для нарушения неравенства СHSH при локальных измерениях спина любой величины s≥1/2 и на основе этого получены новые результаты о соотношении между нелокальностью и сцепленностью двух-кудитного состояния. Для произвольного двухкудитного состояния любой размерности d=2s+1≥2 нами: (i) введено понятие s-спиновой матрицы корреляций, имеющей размерность 3×3 для любого d≥2; (ii) определена ее связь с известной в литературе корреляционной матрицей этого состояния размерности (d^2-1)×(d^2-1) в обобщенном представлении Паули и (iii) в терминах s-спиновой корреляционной матрицы найдено в явном виде точное аналитическое выражение для максимального значения абсолютной величины математического ожидания, стоящего в левой части СHSH неравенства, (для краткости, СHSH математического ожидания) при локальных измерениях в этом состоянии спина любой величины s≥1/2. Конкретизируя найденное общее выражение при любых d≥2 для двухкудитного состояния Гринбергера–Хорна-Цайлингера (GHZ), нелокального двух-кудитного состояния Вернера и сцепленных двухкудитных состояний с диагональной s-спиновой матрицей корреляций, мы находим, что при локальных измерениях спина s≥1 в каждом из этих состояний, включая максимально сцепленное, неравенство CHSH не нарушается. Более того, в отличие от случая s= 1/2, где каждое чистое несепарабельное двухкубитное состояние нарушает неравенство CHSH и максимальное значение CHSH математического ожидания увеличивается с ростом степени сцепленности этого состояния, ситуация при измерениях спина s≥1 совершенно иная — для чистого двух-кудитного состояния с более высокой степенью сцепленности значение максимального CHSH ожидания оказывается меньше, чем для чистого двухкудитного состояния с более низкой сцепленностью и даже сепарабельного. Исследуя далее аналитически и численно полученное точное выражение для максимального значения CHSH математического ожидания при локальных измерениях спина s=1 в различных сцепленных чистых и смешанных состояниях двух кутритов, мы выдвигаем гипотезу, что при локальных измерениях спина в любом двухкутритном состоянии неравенство CHSH не нарушается. Определены квантовые каналы, связанные с квантовым случайным блужданием на счетном множестве состояний. Проведена оценка сверху и снизу для их пропускной способности. Введено понятие мажоризации квантовых каналов распределениями вероятностей. Приведены примеры, когда условие мажоризации выполняется и, более того, верхняя граница в оценке достигается. Приведены условия, при которых возможна конечномерная аппроксимация процесса непрерывных измерений, представленных в виде бинепрерывной полугруппы. Изучено общее строение квантовых каналов, реализуемых квантовыми схемами, составленными из стабилизаторных операций и классического управления над унитарными вентилями Паули (неадаптивные клиффордовы схемы).

Публикации

1. Жигальский И.А., Кронберг Д.А. Коллективные преобразования квантовых состояний с постселекцией и их применение в квантовой криптографии Теоретическая и математическая физика (год публикации - 2025)

2. Холево А.С. Information capacity of state ensembles and observables Lobachevskii Journal of Mathematics,, Vol. 45, No. 6, pp. 2509–2526 (год публикации - 2024)
10.1134/S199508022460314X

3. Гришин С.В. Estimation of Capacity for Channels Connected with Elementary Quantum Random Walks Lobachevskii Journal of Mathematics (год публикации - 2024)

4. Широков М.Е. Compactness Criterion for Families of Quantum Operations in the Strong Convergence Topology and Its Applications Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 45, No. 6, pp. 2585–2606 (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224603151

5. Уткин А.В. Approximation of Bi-Continuous Contraction Semigroups Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 46, No. 6, pp. 2665–2686 (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225607854

6. Холево А.С. Точные нижние границы для энтропии Шеннона из “квантовых пирамид” Успехи математических наук, том 80, выпуск 4, с.484-485 (год публикации - 2025)
10.4213/rm10257

7. Холево А.С. Estimating Distances between Quantum Gaussian States Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 46, No. 6, pp. 2548–2559. (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225608124

8. Амосов Г.Г., Рыскин Л.А. On condition of majorization for mixed unitary channels Lobachevskii Journal of Mathematics, № 6, V. 46, P. 2479-2483 (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225607945

9. Лубенец Е.Р., Ханотел Л. High-spin measurements in an arbitrary two-qudit state Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2025. Vol. 58. No. 26. Article 265304 (17pp) (год публикации - 2025)
10.1088/1751-8121/ade4e8

10. Ханотел Л., Лубенец Е.Р. Nonviolation of the CHSH inequality under local spin-1 measurements on two spin qutrits Physica Scripta, Vol. 100. No. 5. Article 055115 (год публикации - 2025)
10.1088/1402-4896/adcc66

11. Широков М.Е. Approximation of composite quantum states: general results and applications Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2026)

12. Гришин С.В. Different Types of Capacity for Channels Connected with Elementary Quantum Random Walks Lobachevskii Journal of Mathematics , Vol. 46, PP. 2532–2538 (год публикации - 2025)
10.1134/S1995080225607829

13. Д. А. Кронберг Обобщение атаки разделением по числу фотонов и ее эффективность при применении к протоколу квантовой криптографии на боковых частотах Письма в ЖЭТФ, Т.121, N 12 , C. 976–986 (год публикации - 2025)
10.31857/S0370274X25060193

14. Амосов Г.Г. О мажоризации квантовых каналов распределениями вероятностей ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. МАТЕМАТИКА, № 1 , 2025, С. 93-98 (год публикации - 2025)
10.26907/0021-3446-2025-1-93-98

15. Кронберг Д.А., Холево А.С. Новые подходы к оценкам информации перехватчика в проблемах квантовой криптографии Вопросы кибербезопасности, № 3 (67), с.110-117 (год публикации - 2025)
10.21681/2311-3456-2025-3-110-117

16. Яшин В.И., Еловенкова М.А. Characterization of non-adaptive Clifford channels Quantum Information Processing, v. 24:99, 22p. (год публикации - 2025)
10.1007/s11128-025-04682-0

17. А.В.Уткин Bi–непрерывные полугруппы стохастической квантовой динамики Уфимский математический журнал., Т. 17. – №. 1. – С. 105-134. (год публикации - 2025)