Современные методы нелинейной динамики и их приложения в задачах исследования космического пространства и разработке математических моделей перспективной техники

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-11-00162

НазваниеСовременные методы нелинейной динамики и их приложения в задачах исследования космического пространства и разработке математических моделей перспективной техники

Руководитель Маркеев Анатолий Павлович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)" , г Москва

Конкурс №92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-314 - Теоретическая механика

Ключевые слова гамильтоновы системы, устойчивость, нелинейные колебания, резонанс, нормальные формы, периодические движения, задача трех тел, динамика спутников, динамика твердого тела, вибрации, мобильные роботы

Код ГРНТИ30.15.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Задачи исследования космического пространства и разработка перспективной техники требуют создания новых математических моделей и методов их анализа. Так как уравнения небесной механики часто имеют гамильтонову форму, то задачи об устойчивости и нелинейных колебаниях в гамильтоновых системах представляют как теоретический, так и прикладной интерес. Весьма актуальным является изучение поведения гамильтоновой системы при кратных резонансах, здесь многие вопросы остаются открытыми. Одной из целей проекта является разработка новых методов и алгоритмов нелинейной динамики, позволяющих: • исследовать устойчивость по Ляпунову неавтономных гамильтоновых систем в трансцендентных случаях и в случаях вырождения областей параметрического резонанса, когда существующие методы не являются эффективными; • исследовать резонансные колебания близких к автономным, периодических по времени гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, когда в невозмущенной автономной системе есть нулевая частота; • вычислять нормальную форму Пуанкаре вблизи периодического движения автономной гамильтоновой системы, не прибегая к построению нормализующего преобразования; • получать явные выражения частот нелинейных колебаний консервативной системы через ее параметры. На основе методов, развитых ранее участниками проекта, и планируемых в заявляемом проекте новых методов будут решены следующие задачи небесной механики и динамики спутников: • Разработка нелинейной теории движения в окрестности треугольных точек либрации пространственной эллиптической ограниченной задачи трёх тел, описывающей взаимодействие резонансов плоской задачи с тождественным пространственным резонансом. • Анализ устойчивости по Ляпунову центральных конфигураций в плоской круговой и эллиптической ограниченной задачах четырех тел. • Построение и исследование устойчивости новых классов периодических движений динамически симметричного спутника в окрестности его регулярных прецессий на круговой и слабоэллиптической орбитах. • Анализ устойчивости по Ляпунову относительных равновесий спутника с изменяемой геометрией масс или с подвижной внутренней материальной точкой. Высокочастотные вибрации могут приводить как к дестабилизации технических устройств, так и к появлению новых устойчивых стационарных режимов их движения. В проекте предполагается решить следующие задачи вибрационной динамики твердого тела и системы тел. • Получение условий существования и орбитальной устойчивости маятниковых движений тела при наличии высокочастотных вибраций его точки подвеса для различных вариантов геометрии масс тела и характера вибраций. • Анализ устойчивости перманентных вращений твердого тела с вибрирующим подвесом и геометрией масс, соответствующей случаю Гесса. • Исследование резонансных периодических движений двойного маятника с переменной конфигурацией и с вибрирующей точкой подвеса. Последние десятилетия характеризуются бурным развитием робототехнических систем. Одним из актуальных направлений является разработка мобильных роботов, которые могут использоваться в агрессивных средах, в космическом пространстве, для изучения и освоения подводного мира. Здесь возникают новые задачи, требующие комплексных решений, такие как: построение адекватных математических моделей роботов, их численное и аналитическое исследование, поиск оптимального управления, верификация математических моделей и др. В теории движения мобильных робототехнических систем планируется решить следующие задачи. • Изучение характера нелинейных колебаний в общей задаче о движении материальной точки по неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести. • Изучение динамики и способов управления движением капсульного робота посредством перемещения двух внутренних масс. • Создание физической модели капсульного робота и выполнение экспериментов. Сравнение их результатов с результатами анализа разработанной в рамках проекта математической модели. Верификация и уточнение математической модели.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Развитие методов теории устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем с приложениями в задачах классической механики и динамики спутников. 1. Разработан аналитический алгоритм нахождения частот нелинейных колебаний консервативной системы вблизи её устойчивого положения равновесия при отсутствии резонансов до четвертого порядка включительно. Рассмотрен также конкретный пример (двойной маятник в однородном поле тяжести), когда нет резонансов любого порядка. 2. Дано качественное описание нерезонансных колебаний точки на внутренней части абсолютно гладкой поверхности неподвижного трёхосного эллипсоида. При наличии резонанса возможна хаотизация движения; для этого случая исследованы периодические движения точки с начальными условиями из области хаотичности. 3. Рассмотрены нелинейные колебания близкой к автономной, 2pi-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности тривиального равновесия. Предполагалось, что в автономном случае реализуется один из случаев кратного параметрического резонанса, когда 1) одна из частот малых линейных колебаний равна 1, а другая равна 0, при этом ранг матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений равен 2, и 2) частоты малых линейных колебаний равны 2 и 1. В указанных резонансных случаях проведен анализ условий устойчивости тривиального равновесия, построены области параметрического резонанса, решен вопрос о существовании и бифуркациях резонансных периодических движений системы, сделан ряд выводов об их устойчивости в линейном приближении. В случае 1) изучены нелинейные колебания (периодические и условно-периодические движения) динамически симметричного спутника (твердого тела) относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения (цилиндрической прецессии). В случае 2) исследовано движение в поле тяжести плоского двойного маятника, длины стержней которого (близкие к постоянным) — заданные периодические функции времени. Построены периодические движения маятника в окрестности его нижнего равновесия на вертикали, проведен линейный анализ их устойчивости. Исследование в области динамики космических аппаратов и небесной механики 1. Выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости периодических движений динамически симметричного спутника, рождающихся из его гиперболоидальной прецессии на круговой орбите. Разработаны вычислительные алгоритмы и программное обеспечение (ПО), позволяющее выполнять нелинейный анализ орбитальной устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. На основе данных алгоритмов и разработанного ПО получены строгие выводы об орбитальной устойчивости рассматриваемых периодических движений. В пространстве параметров задачи построены диаграммы орбитальной устойчивости и неустойчивости. 2. Проведено исследование устойчивости положения относительного равновесия в плоской ограниченной задаче четырех тел в случае равных масс двух массивных тел. В задаче имеются два параметра: отношение масс и эксцентриситет орбиты. В случае круговой орбиты получены строгие выводы об устойчивости положения равновесия для неисследованных ранее (резонансных) значений параметров. В случае эллиптической орбиты сделаны выводы о неустойчивости и устойчивости в линейном приближении, а также выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. Исследование динамики тяжелого твердого тела при быстрых вибрациях точки подвеса Рассмотрена задача о существовании движений маятникового типа для твёрдого тела с вибрирующей точкой подвеса. Исследуемые маятниковые движения представляют собой колебания или вращения тела с переменной угловой скоростью вокруг фиксированной в абсолютном пространстве главной оси инерции тела. Вопрос о существовании маятниковых движений исследован для различных случаев совместного влияния вибраций и поля тяжести. В частности, найдены маятниковые движения тела при вибрациях точки подвеса вдоль горизонтальной и наклонной прямых, а также при ее движении вдоль эллипса, одна из осей которого занимает горизонтальное положение. Исследование динамики твердого тела, движущегося посредством перемещения внутренних масс. 1. Исследованы периодические режимы одномерного движения капсульного робота по горизонтальной шероховатой поверхности. Робот моделируется твердым телом (корпусом), несущим две подвижные массы (материальные точки), которые перемещаются внутри корпуса по окружностям, расположенным в одной вертикальной плоскости. Найдены все возможные периодические режимы движения корпуса, установлены условия их существования и дано качественное описание. В пространстве параметров задачи построены области, соответствующие найденным режимам движения. Доказано, что все режимы являются предельными и асимптотически устойчивыми. Установлено также, что наличие двух подвижных масс позволяет реализовывать движения, которые в системе с одной подвижной массой, перемещающейся по окружности внутри тела с постоянной по модулю скоростью, возможны лишь при наличии анизотропного трения, либо при движении корпуса по наклонной поверхности. 2. Исследовано двумерное движение капсульного робота по горизонтальной шероховатой плоскости посредством относительного кругового движения внутренних масс. В трёх точках контакта робота с поверхностью действуют силы трения, которые являются разрывными функциями от скорости точки контакта. Для численного интегрирования уравнений движения такой системы была разработана приближенная непрерывная модель силы трения. Численный эксперимент показал, что, в зависимости от скоростей движения внутренних масс и радиусов круговых траекторий их относительного движения, корпус робота может покоиться, двигаться без отрыва от опорной плоскости или двигаться с отрывом отдельных точек контакта. Был исследован режим безотрывного движения. Найдено оптимальное расположение точек контакта робота с опорной горизонтальной плоскостью, при котором область безотрывного движения корпуса максимальна, а средняя скорость движения его центра масс наибольшая.

Публикации

1. Рачков А.А. О режимах движения тела, несущего две внутренние подвижные массы 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 252-253 (год публикации - 2024)

2. Маркеев А.П. О движении материальной точки по неподвижно эллипсоидальной поверхности Прикладная математика и механика, том 88, № 4, с. 511–524 (год публикации - 2024)
10.31857/S0032823524040017

3. Холостова О.В. On Periodic Motions of a Nonautonomous Hamiltonian System at Resonance 2:1:1 Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Vol. 20, No. 4 (год публикации - 2024)
10.20537/nd241104

4. Максимов Б.А. Об орбитальной устойчивости периодического движения гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в некоторых вырожденных случаях 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 246-247 (год публикации - 2024)

5. Беличенко М.В., Холостова О.В. Маятниковые движения твёрдого тела с вибрирующей точкой подвеса 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 226-227 (год публикации - 2024)

6. Бардин Б.С. On transcendental cases in the problem of orbital stability of periodic motions of a heavy rigid body INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS (ISND-2024): Abstracts, Yaroslavl: Filigran, 2024. P.22-23 (год публикации - 2024)

7. Маркеев А.П. К задаче о нелинейных колебаниях консервативной системы при отсутствии резонанса Прикладная математика и механика, том 88, № 3, с. 347–358 (год публикации - 2024)
10.31857/S0032823524030017 ZBCTUY

8. Волков Е.В., Бардин Б.С. Исследование орбитальной устойчивости периодических движений с малыми амплитудами в плоской круговой ограниченной задаче четырёх тел 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 229-230 (год публикации - 2024)

9. Чекина Е.А., Бардин Б.С. Линейный анализ устойчивости положения относительного равновесия в плоской ограниченной эллиптической задаче четырех тел в случае равных масс двух основных тел 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 261-262 (год публикации - 2024)

10. Сухов Е.А. Численный нелинейный анализ орбитальной устойчивости периодических движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника 23-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 18-22 ноября 2024 года. Москва. Тезисы., М.: Издательство «Перо», 2024. С. 258-259 (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Развитие методов теории устойчивости и нелинейных колебаний гамильтоновых систем с приложениями в задачах классической механики и динамики спутников. 1. Выполнено исследование движения близкой к автономной, периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности равновесия. Решен вопрос о существовании, числе и устойчивости (в линейном приближении) периодических движений системы для значений параметров вблизи границы области устойчивости положения равновесия, соответствующей случаю нулевой частоты в предельном автономном случае. В качестве приложения решен вопрос о существовании, числе и устойчивости резонансных периодических движений симметричного спутника на слабоэллиптической орбите в окрестности его стационарного вращения вокруг нормали к плоскости орбиты. 2. Выполнено исследование устойчивости положения равновесия периодической гамильтоновой системы с одной степенью свободы в трансцендентном случае, когда вопрос об устойчивости не решается членами конечного порядка в разложении гамильтониана задачи в ряд. Показано, что существование семейства периодических решений, рождающихся из положения равновесия, приводит к трансцендентной ситуации и, как следствие, к неустойчивости равновесия. Исследование в области динамики космических аппаратов и небесной механики 1. Получено аналитическое представление для нормальной формы уравнений движения вблизи треугольных точек либрации пространственной эллиптической ограниченной задаче трёх тел с точностью до второй степени включительно относительно эксцентриситета орбит основных притягивающих тел и с точностью до членов четвёртой степени относительно отклонений тела пренебрежимо малой массы от точки либрации. Нормальная форма положена в основу приближенной теории движения в окрестности треугольных точек либрации. 2. Исследовано влияние тождественного резонанса на устойчивость треугольных точек либрации в пространственной эллиптической задаче трёх тел. Получено уточнение влияния пространственности задачи на устойчивость точек либрации в случае малого отношения масс основных притягивающих тел. 3. Построено линейное периодическое по истинной аномалии каноническое преобразование, приводящее гамильтониан линеаризованных уравнений движения вблизи треугольных точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трёх тел к нормальным координатам. Нормализующее преобразование и частоты линейных колебаний получены с точностью до четвёртой степени эксцентриситета. 4. Решена задача об устойчивости по Ляпунову центральных конфигураций плоской круговой ограниченной задачи четырех тел в случае вырождения, когда требуется нелинейный анализ с учетом членов выше четвертой степени в разложении гамильтониана уравнений возмущенного движения. Исследование было проведено для параметров задачи, отвечающих резонансам пятого и шестого порядков. Установлено, что в этих случаях центральные конфигурации неустойчивы. 5. Выполнен линейный анализ устойчивости положения относительного равновесия тела малой массы в плоской эллиптической ограниченной задаче четырех тел в случае равных масс основных притягивающих тел, расположенных в треугольных точках либрации. 6. Выполнено нелинейное исследование орбитальной устойчивости короткопериодических движений спутника, рождающихся из его гиперболоидальной прецессии на круговой орбите. Рассмотрен как нерезонансный случай, так и случаи резонансов третьего и четвёртого порядков. Исследование динамики тяжелого твердого тела 1. Исследована орбитальная устойчивость маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Главные моменты инерции тела находятся в соотношении 4:1:4. В случаях вырождения, когда требуется учитывать члены до шестого порядка включительно в разложении гамильтониана уравнений возмущенного движения, получены строгие выводы об орбитальной устойчивости. 2. Решена задача о существовании двух частных видов движения тяжелого твердого тела с вибрирующей точкой подвеса: перманентных вращений и маятниковых движений. Выделены два базовых варианта вибраций точки повеса: прямолинейные вибрации и вибрации по эллипсу, к которым сводится широкий класс плоских и пространственных вибраций. Показано, что перманентные вращения возможны при наличии вибрационной симметрии относительно вертикально расположенной оси. В рамках вибрационной задачи (без учета гравитации) выписано уравнение, являющееся аналогом уравнения конуса Штауде для допустимых осей перманентных вращений тела. Показано, что в вибрационной задаче в случаях прямолинейных вибраций и вибраций по эллипсу существует два типа маятниковых движений, происходящих вокруг главной оси. Для движения первого типа центр масс тела находится в главной плоскости инерции, перпендикулярной этой главной оси (аналог маятниковых движений Млодзеевского тяжелого твердого тела с неподвижной точкой). Для движения второго типа центр масс тела лежит на главной оси инерции, являющейся осью маятниковых движений. Такие движения невозможны в задаче о движении тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой и обусловлены свойствами вибрационного поля. Маятниковые движения первого и второго типов строились в виде наложения двух маятниковых движений или маятникового движения и перманентного вращения. Найдены и описаны маятниковые движения первого и второго типов при наличии гравитационного поля и вибраций вдоль вертикальной, горизонтальной и наклонной прямых, а также вибраций по эллипсу. 3. В задаче о движении твёрдого тела с горизонтально вибрирующей точкой подвеса исследованы маятниковые движения (колебания и вращения) тела вокруг содержащей центр масс главной оси инерции, занимающей вертикальное положение. Проведён линейный анализ устойчивости этих движений. Исследование динамики твердого тела, движущегося посредством перемещения внутренних масс 1. Исследована динамика капсульного робота, несущего внутренние подвижные массы. Дан анализ влияния массовых и геометрических параметров робота на его максимальную среднюю скорость. Результаты исследования подтверждены численным моделированием и могут быть использованы при проектировании роботов. 2. Для вибрационного робота с двумя подвижными массами построен маршрут перехода из стартового положения в требуемое, а также найдено управление, стабилизирующее движение робота по построенному пути. 3. Проведён анализ возможных компоновок натурных моделей для верификации результатов аналитического и численного исследования динамики мобильного робота с подвижной внутренней массой. В результате выбрана трёхопорная компоновка, позволяющая верифицировать как исходную модель плоскопараллельного движения, так и пространственные модели. Разработана конструкторская документация для изготовления указанной натурной модели.

Публикации

1. Беличенко М.В., Холостова О.В. On Pendulum-Type Motions and Permanent Rotations in an Approximate Problem of the Dynamics of a Rigid Body with a Vibrating Suspension Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 30, No. 5, pp. 847–865. (год публикации - 2025)
10.1134/S1560354725050065

2. Бардин Б.С., Максимов Б.А. On Orbital Stability of Periodic Solutions of Hamiltonian System with Two Degrees of Freedom in Resonant Cases of Degeneration ANS Conference Series: Regular and Chaotic Dynamics. On the 30th Anniversary of the Journal “Regular and Chaotic Dynamics” : Book of Abstracts., ANS Conference Series: Regular and Chaotic Dynamics. On the 30th Anniversary of the Journal “Regular and Chaotic Dynamics” : Book of Abstracts. Izhevsk : Institute of Computer Science, 2025. Pp. 20-21 (год публикации - 2025)

3. Холостова О.В. On the Motions of a Nearly Autonomous Hamiltonian System at Parameter Values Close to the Boundary of Stability Regions of the Limiting Autonomous Problem Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Vol.21, No.4 (год публикации - 2025)
10.20537/nd251001

4. Холостова О.В. On the resonant periodic motions of a nearly autonomous hamiltonian system in zero frequency cases of the limiting autonomous problem INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS (ISND-2025): Abstracts., INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS (ISND-2025) : Abstracts. – Yaroslavl: Filigran, 2025. Pp. 58-59 (год публикации - 2025)

5. Беличенко М.В., Чибисов М.Р. Моделирование периодических движений человека с помощью плоской многотельной шарнирно-стержневой системы LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. , LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. — Москва : РУДН, 2024. С. 185-190 (год публикации - 2024)

6. Чекина Е.А., Чекин А.М. Нелинейный анализ устойчивости в ограниченной эллиптической задаче четырех тел 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 234. (год публикации - 2025)

7. Филиппова А.С., Беличенко М.В. Исследование устойчивости маятниковых движений волчка Ковалевской с вибрирующим подвесом 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 229–230. (год публикации - 2025)

8. Рачков А.А. О движении капсульного робота по горизонтальной шероховатой поверхности с максимальной средней скоростью 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 221. (год публикации - 2025)

9. Бардин Б.С., Рачков А.А. On a periodic modes of motion of a body carrying a moving mass on an inclined rough plane Journal of Mathematical Sciences, Vol. 295, No. 2 (год публикации - 2025)

10. Маркеев А.П. On Oscillations in a Neighborhood of Lagrangian Libration Points in One Resonance Case Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 30, No. 4, pp. 666–676. (год публикации - 2025)
10.1134/S1560354725040136

11. Маркеев А.П. Analysis of oscillations near triangular libration points at third-order resonance INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS (ISND-2025): Abstracts., INTEGRABLE SYSTEMS & NONLINEAR DYNAMICS(ISND-2025) : Abstracts. – Yaroslavl: Filigran, 2025. P. 76 (год публикации - 2025)

12. Беличенко М.В. Стабилизация движения квадрокоптера в трёхмерном пространстве LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. , LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. — Москва : РУДН, 2024. С. 169-173 (год публикации - 2024)

13. Маркеев А.П. Normal Form of the Equations of Perturbed Motion near Triangular Libration Points at Third-Order Resonances Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 30, No. 5, pp. 837–846. (год публикации - 2025)
10.1134/S1560354725050053

14. Беличенко М.В., Офицерова Т.И. Исследование двумерного движения вибрационного робота по плоскости и оптимизация его формы LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. , LX Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники = LX All-Russia Conference on problems in dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics : материалы конференции. Москва, РУДН, 27–31 мая 2024 г. — Москва : РУДН, 2024. С. 153-157 (год публикации - 2024)

15. Бардин Б.С., Максимов Б.А. On resonant cases of degeneracy in the problem of orbital stability of periodic solutions of Hamiltonian system with two degrees of freedom Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Vol. 21, No.4 (год публикации - 2025)

16. Волков Е.В., Бардин Б.С. Исследование устойчивости положений относительного равновесия тела малой массы в плоской круговой ограниченной задаче четырёх тел в случае вырождения 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 201–202. (год публикации - 2025)

17. Максимов Б.А. Об орбитальной устойчивости периодического движения гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в вырожденных случаях при наличии резонансов 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 212–213. (год публикации - 2025)

18. Сухов Е.А. О натурном и математическом моделировании мобильного робота-платформы с подвижной внутренней массой 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы., 24-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 17–21 ноября 2025 года. Москва. Тезисы. – М.: Изд-во «Перо». – 2025. – С. 226. (год публикации - 2025)