Современные проблемы теории функциональных пространств и геометрического анализа

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-11-00170

НазваниеСовременные проблемы теории функциональных пространств и геометрического анализа

Руководитель Бесов Олег Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова интегральный оператор, ассоциированные функциональные пространства, весовые пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля, обобщенные идеальные пространства, конусы функций, вложения и накрывания, спектральные разложения, общие пространства типа Морри, интерполяционные теоремы, теоремы о компактности потенциалов Рисса, пространства функций положительной гладкости, пространства Соболева, операторы продолжения, нелокальные функционалы на областях, метрические пространства с мерой.

Код ГРНТИ27.25.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Исследования в области функциональных пространств и теории операторов наиболее активно ведутся с середины прошлого века, влияя на общее состояние и возможность применения результатов фундаментальных математических исследований к решению задач из смежных и прикладных областей. За последние годы интенсивность этих исследований резко возросла, и стало ясно, что наряду с классическими функциональными классами при решении ряда современных проблем появляются новые, естественно возникающие в нелинейной теории упругости, механике жидкости, математическом моделировании различных физических явлений, проблемах разрешимости нелинейных уравнений в частных производных. В данном проекте, в частности, мы будем иметь дело с весовыми классами Лебега, пространствами функций Соболева, Лизоркина-Трибеля пространствами Бесова на нерегулярных областях, Г-конусами Лоренца, пространствами Морри и Герца, пространствами Чезаро и Копсона, пространствами с переменным показателем гладкости. Анализ указанных функциональных пространств и действующих в них операторов весьма актуален и далек от завершения. В рамках проекта будет продолжено их исследование, получены новые результаты, разработаны новые методы и подходы и усовершенствованы уже имеющиеся. Будут исследованы вопросы вложений и накрываний (поточечных и интегральных) для конусов функций со свойствами монотонности и их вложений в обобщенные идеальные пространства. Будут изучены условия равномерной сходимости спектральных разложений для обобщенных потенциалов Бесселя-Рисса. Эти задачи являются новыми и актуальными, их решение даст развитие и обобщение ряда конкретных задач теории функциональных пространств, конусов монотонных функций и спектральной теории. Будет исследован ряд свойств операторов в общих пространствах типа Морри (интерполяционные теоремы, теоремы о компактности потенциалов Рисса, неравенства Бернштейна и Никольского для тригонометрических многочленов). Будут изучаться числовые характеристики компактности вложений пространств функций положительной гладкости, определённых на областях (различных классов) евклидова пространства. Эти вопросы изучены для сужений на области таких пространств функций, определённых на всём евклидовом пространстве. Актуальным является нахождение числовых характеристик компактности таких вложений для областей с внутренним описанием функциональных пространств на этих областях. Постановка вопроса является новой. Будут изучаться анизотропные пространства Соболева на нерегулярных областях. Будут изучены проблемы существования линейных и нелинейных операторов продолжения для весовых пространств Соболева в случае так называемого предельного показателя интегрируемости. Будут изучены асимптотического поведения нелокальных функционалов на областях в метрических пространствах с мерой. Актуальным является рассмотрение данных вопросов в контексте отображений со значениями в произвольных метрических пространствах.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Установлена справедливость неравенств типа Харди-Литтлвуда и Пэли для произвольных значений параметра суммирования $p>1$ с заменой функции на ее средние значения с различными интегральными операторами в левой части неравенств. Найдены критерии выполнения и необходимые и достаточные условия для отдельных случаев усреднений в виде суперпозиции с интегральными операторами Вольтерра с ядрами Ойнарова. Дискретные весовые неравенства типа Харди охарактеризованы для всех значений параметров суммирования. Для преобразований типа Римана-Лиувилля в весовых пространствах последовательностей найдены критерии выполнения при некоторых ограничениях на параметры. Установлены критерии выполнения двухстороннего неравенства, связывающего нормы в весовых пространствах Бесова образов и прообразов операторов Римана-Лиувилля $I^\alpha_{c^\pm}$ с натуральными показателями интегрирования $\alpha$. Установлены точные по порядку оценки сверток для некоторых классов радиально симметричных функций. Получены двусторонние оценки убывающих и симметричных перестановок сверток. Эти оценки дают обращения известных неравенств О-Нейла для сверток. Установлены точные описания для конусов убывающих перестановок обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. В частности, для этих конусов получены точные по порядку оценки поточечных и интегральных мажорант. Для конусов неотрицательных измеримых функций, снабженных невырожденными положительно однородными функционалами, исследована связь поточечных и интегральных накрываний с оценками поточечных и интегральных мажорант на конусах, а также с вложениями конусов в идеальные функциональные пространства. Изучена взаимосвязь между конусами убывающих перестановок обобщенных потенциалов Рисса и Бесселя и их поточечных и интегральных весовых мажорант. Получены условия, при которых вложение в идеальное пространство накрывающего конуса влечет такое вложение для накрываемого конуса. Вопрос рассмотрен как в поточечном, так и в интегральном варианте накрывания. При изучении интегрального варианта на идеальное пространство наложено условие согласования его квазинормы с интегральной оценкой. Описан алгоритм построения нового идеального пространства, квазинорма в котором согласована с интегральной оценкой. Доказаны неравенство Бернштейна, неравенства типа Никольского разных метрик и разных размерностей для тригонометрических многочленов для пространств Морри. Доказана теорема вложения для периодических пространств Никольского-Бесова-Морри. Доказана теорема от ограниченности обобщенного интегрального оператора Римана-Лиувилля, действующего из одного локального пространства типа Морри со смешанной нормой на параллелепипеде в другое. Получены точные оценки нормы этого оператора в зависимости от длин ребер параллелепипеда. Доказаны новые интерполяционные теоремы типа Марцинкевича, Кальдерона и Стейна-Вейса для широкого класса нелинейных операторов. Найдены достаточные условия предкомпактности множества в общем глобальном пространстве типа Морри. Получены достаточные условия компактности коммутатора потенциала Рисса и функции из пространства VMO как оператора, действующего из одного общего глобального пространства типа Морри в другое. Изучены компактные вложения функциональных пространств Соболева в пространство Лебега на ограниченной нерегулярной области $n$-мерного евклидова пространства . Рассматривались области, граница которых локально удовлетворяет условию Гёльдера.Установлены верхние оценки энтропийных чисел операторов таких вложений: $e_k\leCk^a$, где $a=-s/[d(n-1)+1]$ , $ d$--- показатель степени в условии Гёльдера. Полученный результат распространён на случай областей, удовлетворяющих более общему ("анизотропному") условию Гёльдера. Ранее были известны оценки энтропийных чисел для случая области , являющейся кубом с рёбрами, параллельными координатным осям (М.Ш.Бирман-М.З.Соломяк, 1967 г.), и для области с условием Джона (А.А.Васильева, 2017 г.). Приведенные оценки в случае липшицевой области совпадают с известными ранее оценками. Установленные оценки обобщены на случай областей с "анизотропным" условием Гёльдера. Для получения оценок сверху энтропийных чисел для гёльдеровоё области был использован новый подход, основанный на интегральном представлении дифференцируемых функций. Были получены аддитивные оценки лебеговских норм функций и норм частных производных через сумму нормы функции и норм других частных для функций из анизотропных пространств типа Соболева на нерегулярных областях. Получен критерий на вес для существования линейного оператора продолжения из пространства следов весового пространства Соболева с предельным показателем. Установлены асимптотические соотношения типа Бургейна-Брезиса-Миронеску для отображений между метрическими пространствами с мерой и метрическими пространствами.

Публикации

1. Степанов В.Д. Strong and weak associated reflexivity of certain function classes Second Analysis Mathematica Conference, Conference Booklet, Rényi Institute, Budapest, Hungary 29 July - 02 August 2024, стр. 29 (год публикации - 2024)

2. Ушакова Е.П. Приложения неравенств для операторов Римана–Лиувилля КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, посвящённая 95-летию со дня рождения академика Ю. Г. Решетняка. 22–28 сентября 2024 г. Тезисы докладов, стр. 135 (год публикации - 2024)
10.5281/zenodo.13830148

3. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М. Л. Order - sharp estimates for decreasing rearrangments of convolution Eurasian mathematical journal, Volume 15, Number 3 (2024) (год публикации - 2024)

4. Буренков В.И., Джосеф Д.Д. INEQUALITIES FOR TRIGONOMETRIC POLYNOMIALS IN PERIODIC MORREY SPACES Eurasian mathematical journal, 15 (2024), no. 2, 92-99 (год публикации - 2024)
10.32523/2077-9879-2024-15-2-92-100

5. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М. Л. Pointwise and integral coverings and majorants for cones Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2024, Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2024, стр. 15-17 (год публикации - 2024)

6. Степанов В.Д. Ассоциированная рефлексивность некоторых функциональных классов IV Конференция математических центров России. Сборник тезисов, Санкт-Петербург 2024. , стр. 71 (год публикации - 2024)

7. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. О весовых дискретных неравенствах Харди и Римана–Лиувилля Математические заметки, 2025, том 117, выпуск 1, страницы 128–145 (год публикации - 2025)

8. Бокаев Н.А., Буренков В.И., Матин Д., Адилханов А. Pre-Compactness of Sets and Compactness of Commutators for Riesz Potential in Global Morrey-Type Spaces Mathematics, volume 12 (2024) , issue 22, number 3533 (год публикации - 2024)
10.3390/math12223533

9. Ушакова Е.П. The Riemann-Liouville operators in weighted Besov spaces Second Analysis Mathematica Conference, Conference Booklet, Rényi Institute, Budapest, Hungary 29 July - 02 August 2024, стр. 32 (год публикации - 2024)

10. Ушакова Е.П. Операторы Римана–Лиувилля в пространствах Бесова IV Конференция математических центров России. Сборник тезисов, Санкт-Петербург 2024., стр. 72 (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получено обобщение классического неравенства Харди-Литтлвуда для суперпозиций преобразования Фурье и интегральных операторов мультипликативной свертки Вольтерра. Найдены необходимые и достаточные условия ограниченности в весовых пространствах Лебега одномерных операторов типа Харди, включающих супремум. В частности, решается задача из статьи Frank, R.L., Laptev, A., Weidl, T.: An improved one-dimensional Hardy inequality. J. Math. Sci. 263, 323–342 (2022). Найдена характеризация квазилинейных интегральных операторов итерационного типа на конусах неубывающих функций пространств Лебега на вещественной полуоси. Установлены критерии выполнения двойного неравенства, связывающего нормы в весовых пространствах Бесова образов и прообразов операторов Римана-Лиувилля I^\alpha_{c^\pm} с дробными показателями интегрирования \alpha. Введено понятие (q_0, q_1)-идеальных пространств, изучена связь (q_0, q_1)-идеальных и идеальных пространств. Для (q_0, q_1)-идеальных пространств рассмотрены (q_0, q_1)-свойство Рисса-Фишера, свойство Фату. Получены результаты о связи весовых пространств Лебега, классических ИП и обобщенных ИП. Изучен вопрос о связи свойств Фату и Рисса-Фишера для (q_0, q_1)- ИП. В теории (q_0, q_1)-ИП важную роль играют пространства, в которых квазинорма согласована с оценкой заданного оператора в пространстве измеримых функций. Реализован алгоритм построения на базе общего (q_0, q_1)-ИП F_0 нового (q_0, q_1)-ИП F, в котором квазинорма согласована с оценкой такого оператора. При этом, если F_0 обладает свойством Фату, то им обладает и (q_0, q_1)-ИП F, если F_0 обладает (q_0, q_1)-свойством Рисса - Фишера, то F также обладает (q_0, q_1)-свойством Рисса - Фишера с той же константой накрывания. Получены интерполяционные теоремы для обобщенных пространств типа Морри для существенно более широкого класса нелинейных операторов, чем было известно ранее, а именно для операторов типа Урысона. Доказана теорема о следах для периодических пространств Никольского-Бесова-Морри. Доказаны неравенства для оператора Харди с точной постоянной для пространств Морри для всех функций с конечной правой частью и на конусе монотонных функций. Доказана теорема от ограниченности обобщенного интегрального оператора Римана-Лиувилля, действующего из одного локального пространства типа Морри со смешанной нормой на параллелепипеде в другое. Получены точные оценки нормы этого оператора в зависимости от длин ребер параллелепипеда. Доказана теорема о компактности общих потенциалов типа Рисса для общих локальных пространств типа Морри. Получены верхние оценки энтропийных чисел операторов компактного вложения анизотропных пространств Соболева а пространства Лебега на ограниченных областях евклидова пространства с границей, локально являющейся графиком функции, удовлетворяющей условию Гёльдера. Получены мультипликативные оценки лебеговских норм функций и частных производных через сумму нормы функции и норм других частных для функций из анизотропных пространств типа Соболева на нерегулярных областях. Для пространств типа Лааксо получен отрицательный ответ по проблеме характеризации отображений ограниченной вариации в терминах их композиций с липшицевыми функциями. Для непрерывных отображений отрезка в произвольное метрическое пространство показано, что ограниченность вариации отображения равносильна ограниченности вариации его композиций со всеми липшицевыми на пространстве функциями. Установлены определённые асимптотические соотношения типа Бургейна-Брезиса-Миронеску для отображений между метрическими пространствами с мерой и метрическими пространствами для более широкого класса интегральных ядер.

Публикации

1. Степанов В.Д, Ушакова Е.П. Strong and weak associated reflexivity of certain function classes The Fourth International Conference on Mathematics and Statistics ICMS’25 February 20 – 22, 2025 Book of Abstracts, The Fourth International Conference on Mathematics and Statistics ICMS’25 February 20 – 22, 2025 Book of Abstracts, p. 108 (год публикации - 2025)

2. Степанов В.Д. Weighted norm inequalities with one-dimensional Hardy-type operators involving suprema Analysis and Mathematical Physics, Volume 15, article number 45 (год публикации - 2025)
10.1007/s13324-025-01041-1

3. Степанов В.Д. Weighted norm inequalities with one-dimensional Hardy-type operators involving suprema International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC) 15th International ISAAC Congress, July 21–25, 2025 Abstract Book Astana: Nazarbayev University, 2025. – 230 pp. – English., Abstract Book,15th ISAAC Congress (July 21 – July 25, 2025), p.210 (год публикации - 2025)

4. Ушакова Е.П. Riemann–Liouville integrals in Besov type spaces International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC) 15th International ISAAC Congress, July 21–25, 2025 Abstract Book Astana: Nazarbayev University, 2025. – 230 pp. – English., Abstract Book,15th ISAAC Congress (July 21 – July 25, 2025), p.211 (год публикации - 2025)

5. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. On the iterated integral operators on the cone of monotone functions Siberian Mathematical Journal, 2025, Vol. 66, No. 2, pp. 266–286 (год публикации - 2025)
10.1134/S0037446625020119

6. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М. Л. Pointwise and (q, r) – integral coverings and majorants for cones of functions Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2024, Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2025, стр. 29-31 (год публикации - 2025)

7. Прохоров Д.В., Степанов В.Д. On weighted discrete Hardy and Riemann–Liouville inequalities Mathematical Notes (Q2 в Scopus, по базе данных http://www.scimagojr.com/), 2025, Vol. 117, No. 1, pp. 138–153. (год публикации - 2025)
10.1134/S0001434625010134

8. Бесов О.В. Estimates of entropy numbers of the Sobolev embedding operator on a Ho¨ lder domain Mathematical Notes, (Q2 в Scopus, по базе данных http://www.scimagojr.com/), 2025, Vol. 118, No. 3, pp. 459–471. (год публикации - 2025)
10.1134/S0001434625604988

9. Ушакова Е.П. Дробные интегралы Римана–Лиувилля в пространствах типа Бесова Труды математического института имена В.А. Стеклова, 2025, том 331 (год публикации - 2025)
10.4213/tm4505

10. Степанов В.Д On the boundedness of the Hilbert transform from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC) 15th International ISAAC Congress, July 21–25, 2025 Abstract Book Astana: Nazarbayev University, 2025. – 230 pp. – English., Abstract Book,15th ISAAC Congress (July 21 – July 25, 2025), p.56 (год публикации - 2025)

11. Дьяченко М., Степанов В.Д., Тихонов С. Fourier inequalities for averaged integral transforms Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2025, Volume 543, Issue 2, Part 2, 15 March 2025, 128940 До принятия статьи к печати она подверглась переработке в соответствии с задачами и сроком выполнения проекта (год публикации - 2025)
10.1016/j.jmaa.2024.128940

12. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М. Л. On the relationship between embeddings and coverings of cones of functions Sbornik: Mathematics, Volume 216, Number 3, pp. 292–313 (2025) (год публикации - 2025)
10.4213/sm10199e

13. Бокаев Н., Буренков В.И., Матин Д., Адилханов А. Pre-Compactness of Sets and Compactness of Commutators for Riesz Potential in Global Morrey-Type Spaces Mathematics Multidisciplinary Digital Publishing Institute (MDPI) (Publisher of Open Access Lournals), Том 12, выпуск 22, номер статьи 3533. (год публикации - 2024)
10.3390/math12223533

14. Степанов В.Д. Weighted norm inequalities with one-dimensional Hardy-type operators involvings suprema Сборник тезисов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И.Г.Петровскому, Сборник тезисов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И.Г.Петровскому, стр. 79 (год публикации - 2025)

15. Ушакова Е.П. Интегралы Римана–Лиувилля в пространствах типа Бесова Сборник тезисов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И.Г.Петровскому, Сборник тезисов Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И.Г.Петровскому, стр. 284-286 (год публикации - 2025)

16. Степанов В.Д. Весовые неравенства с одномерными операторами типа Харди, включающими супремумы XVII Международная Казанская школа-конференция ”Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”. Сборник трудов, XVII Международная Казанская школа-конференция ”Теория функций, ее приложения и смежные вопросы”. Сборник трудов., стр 187 (год публикации - 2025)