Комплексный анализ и его приложения в математической физике

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-11-00196

НазваниеКомплексный анализ и его приложения в математической физике

Руководитель Сергеев Армен Глебович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №92 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова топологические диэлектрики, блоховский гамильтониан, обращение времени, солитонные уравнения, аналитическое продолжение, голоморфные решения, CR-многообразие, CR-отображение, поверхности Сегре, CR-квадрика, голоморфные автоморфизмы, полиномы Эрмита-Паде, поверхность Наттолла, S-свойство, слабая асимптотика

Код ГРНТИ27.27.00, 27.25.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен исследованию математических проблем, возникающих в одном из интенсивно развивающихся направлений в физике твердого тела – теории топологических диэлектриков. Топологические диэлектрики характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой к малым деформациям. Нашей главной задачей является построение и исследование топологических инвариантов этих твердых тел. Свойства топологических диэлектриков сильно отличаются от свойств обычных диэлектриков. Поэтому их исследование может иметь важные (в том числе, с практической точки зрения) приложения. Идея построения топологических инвариантов состоит в том, чтобы рассмотреть адиабатическую деформацию исходного блоховского гамильтониана, с помощью которой можно свести вопрос об инвариантах к исследованию гомотопических классов непрерывных отображений тора в грассмановы многообразия. Предполагается изучить аналитические свойства решений многокомпонентных солитонных уравнений параболического типа. Планируется определить прямое и обратное преобразование рассеяния многокомпонентных локальных голоморфных потенциалов и использовать эту технику, чтобы установить существование аналитического продолжения локального голоморфного решения до глобально мероморфной функции. Также планируется установить критерий разрешимости локальной голоморфной задачи Коши в терминах данных рассеяния начальных условий, а также свойство тривиальности монодромии всех решений вспомогательной линейной задачи в полюсах потенциала. В число задач проекта входит разработка подхода к исследованию CR-отображений между CR-подмногообразиями комплексных пространств, основанного на семействах комплексных многообразий, ассоциированных с этими CR-многообразиями и инвариантных относительно CR-отображений. Основной пример здесь — семейства поверхностей Сегре, ассоциированные с каждым вещественно-аналитическим CR-подмногообразием. Метод модельной поверхности в CR-геометрии -- это удобная и хорошо разработанная технология изучения вещественных подмногообразий комплексного пространства, которая позволяет сводить вопросы о ростках вещественно-аналитических подмногообразий многомерного комплексного пространства к тем же вопросам для полиномиально заданных многообразий, которые можно сопоставить рассматриваемому ростку. Данный метод отлично приспособлен для изучения невырожденных многообразий, т.е. таких, которые при правильном выборе весов переменных допускают взвешенно однородную модельную поверхность с конечномерной алгеброй Ли голоморфных автоморфизмов. Невырожденные поверхности составляют широкий и естественный класс многообразий, которые можно рассматривать как обобщение Леви-невырожденных многообразий. Однако за рамками метода остаются те многообразия, для которых ни при каком выборе весов переменных нельзя выделить модельную поверхность с конечномерной алгеброй автоморфизмов -- таков, например, стандартный световой конус в трехмерном комплексном пространстве. Поэтому возникает задача об обобщении метода на случай вырожденных многообразий, которую планируется изучить в рамках проекта. Задача конструктивного аналитического продолжения заданного степенного ряда за пределы его круга сходимости является классической проблемой комплексного анализа со времен Вейерштрасса. В рамках проекта предполагается рассматривать данную задачу в классе многозначных аналитических функций на сфере Римана с конечным числом проколов. Как следует из теории Шталя, с помощью аппроксимаций Паде осуществляется асимптотическое конструктивное продолжение степенного ряда в некоторую максимальную область на сфере Римана. В рамках проекта планируется изучать возможность конструктивного продолжения заданного степенного ряда в многолистные области в смысле продолжения по Вейерштрассу с помощью полиномов Эрмита-Паде. Также планируется исследовать прикладные задачи, в которых полиномы Эрмита-Паде более эффективны, чем классические полиномы Паде.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Дано описание топологических инвариантов диэлектриков. Топологические диэлектрики – это твердые тела, обладающие широкой энергетической щелью, устойчивой относительно малых деформаций, что позволяет использовать при их описании топологические методы. Блоховскому гамильтониану, отвечающему такому твердому телу, можно сопоставить с помощью метода адиабатической деформации гамильтониан только с двумя собственными значениями, равными единице и минус единице. Тем самым, задача об описании топологических инвариантов диэлектриков сводится к задаче об описании топологии гомотопических классов непрерывных отображений из тора Бриллюэна в грассмановы многообразия. Эту задачу удается решить в размерностях два и три, наиболее интересных для физических приложений. Рассмотрены основные аспекты математической теории топологических фаз. Дано определение пространства топологических фаз в терминах классов допустимых гамильтонианов. Рассмотрен прямой подход к доказательству когомологической гипотезы для бозонных обратимых топологических фаз с помощью математического аппарата теории бесконечнократных пространств петель и теории гомотопий. Показано, что пространство обратимых топологических фаз и его классифицирующее пространство обладают структурой бесконечнократных пространств петель, а значит, можно ввести Ω-спектр для этих пространств. Установлена связь между теорией гомотопий и К-теорией, возникающей естественным образом в теории топологических фаз. Локальный метод обратной задачи рассеяния перенесен на некоторый класс матричных солитонных уравнений. Дано новое определение данных рассеяния для локальных голоморфных потенциалов и дано независимое доказательство биективности преобразования рассеяния из множества голоморфных блочно-внедиагональных ростков на множество внедиагональных формальных степенных рядов из класса Жевре один. Показано, что данные рассеяния эволюционируют по времени согласно матричному уравнению Риккати. Доказано, что матричные солитонные уравнения, на которые распространяется локальный метод обратной задачи рассеяния, обладают свойством мероморфного продолжения, то есть росток любого голоморфного решения продолжается аналитически по пространственной переменной до глобально мероморфной функции. Рассмотрены CR-отображениям между простейшими вещественными CR-поверхностями коразмерности два в комплексных многообразиях, а именно, эрмитовыми квадриками коразмерности два. Случай невырожденных по Леви квадрик, не являющихся стандартными, не рассматривался ранее в литературе. Для подхода к этому случаю, опирающегося на анализ структуры ассоциированных семейств Сегре, была рассмотрена ситуация, когда в результате пересечений поверхностей Сегре возникает большое множество плоскостей, попарные пересечения которых нульмерны. Установлен аналог локальной версии фундаментальной теоремы проективной геометрии, в котором голоморфное отображение, переводящее k-мерные комплексные плоскости из некоторого семейства снова в k-мерные комплексные плоскости, оказывается бирациональным. Этот результат позволил доказать, что любое локальное CR-отображение между вещественными квадриками указанного вида бирационально и, в частности, определено глобально. Произвольному вещественно-аналитическому CR-многообразию сопоставлены полиномиальные поверхности, которые служат естественным аналогом модельной поверхности для невырожденных многообразий. Также введен в рассмотрение новый класс многообразий - класс голоморфно полуоднородных многообразий (содержащий в качестве подмножества класс голоморфно однородных многообразий). Для всех многообразий с конечномерными алгебрами автоморфизмов фиксированного CR-типа получена оценка на число параметров, но уже только с точностью до формальной эквивалентности. Среди узлов и зацеплений в трехмерной сфере, допускающих проекцию с шестью самопересечениями, найдены все те узлы и зацепления, которые высекаются алгебраическими кривыми на областях в комплексной плоскости, диффеоморфных четырехмерному шару. Рассмотрена задача о приближенном нахождении точек ветвления алгебраической функции f степени m+1 по коэффициентам Тейлора ее ростка, заданного в бесконечно удаленной точке. Рассматриваемая задача естественным образом возникает в молекулярной спектроскопии, в частности, при нахождении точек Каца малоатомных молекул в различных конечномерных приближениях. В таких прикладных работах для нахождения точек ветвления применяется без какого-либо математического обоснования метод, основанный на использовании нулей дискриминантов полиномов, построенных по полиномам Эрмита-Паде первого типа для заданного ростка. В рамках проекта исследовался случай, когда рассматриваются дискриминанты полиномов, коэффициентами которых являются полиномы Эрмита-Паде первого типа для набора из m степеней заданного ростка. Показано, что все нули таких дискриминантов за исключением конечного числа в пределе ложатся на компакт - проекцию границы последнего листа разбиения Наттолла римановой поверхности исходной функции f на листы. Для алгебраической функции f общего положения показано, что каждая ее точка ветвления, не лежащая на этом компакте и не совпадающая с бесконечно удаленной точкой, притягивает хотя бы один нуль указанного дискриминанта, причем с экспоненциальной скоростью. Тем самым, в этом случае обоснован метод нахождения точек ветвления алгебраической функции, эвристически применяющийся в прикладных работах.

Публикации

1. Суетин С.П. Maximum principle and asymptotic properties of Hermite–Padé polynomials Russian Mathematical Surveys, Volume 79, Issue 3, Pages 547–549 (год публикации - 2024)
10.4213/rm10176e

2. Комлов А.В., Пальвелев Р.В. Нули дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде алгебраической функции, и их связь с точками ветвления Математический сборник, Том 215, номер 12, страницы 56–88 (год публикации - 2024)
10.4213/sm10114