Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В рамках данного проекта все планируемые работы выполнены полностью, все запланированные научные результаты достигнуты. В частности, проделана следующая работа. И.А. Тайманов исследовал PT-симметричные дифференциальные операторы, т.е. операторы, инвариантные относительно одновременного обращения времени (T) и ориентации пространства (P). Получено описание конечнозонных PT-потенциалов в терминах явных тета-функциональных формул. И.А. Таймановым описаны связи уравнений Эйлера на центральных расширениях алгебр Ли с уравнениями Эйлера на исходных, расширяемых, алгебрах. Рассмотрена специальная бесконечная последовательность центральных расширений нильпотентных алгебр Ли, строящихся по алгебре Ли формальных векторных полей на прямой, и описаны орбиты коприсоединенных представлений для этих алгебр. С помощью компактных нильмногообразий, построенных по этим алгебрам И.К. Бабенко и И.А. Таймановым, показано, что накрывающие группы Ли для симплектических нильмногообразий могут иметь любой ранг как разрешимые группы Ли. А.Е. Мироновым совместно с С.В. Агаповым доказано, что одномерное уравнение Шредингера можно рассматривать как уравнение геодезических некоторой метрики на двумерной поверхности. Доказано также, что в случае конечнозонного потенциала метрика и геодезические находятся в явном виде в терминах функции Бейкера–Ахиезера. С.В. Агапов исследовал интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях. Получено описание симметрий полугамильтоновых систем, эквивалентных наличию дополнительного полиномиального по импульсам первого интеграла. При помощи обобщенного метода годографа построено большое количество локальных римановых метрик и полиномиальных интегралов степеней 3, 4, 5. С.В. Агапов совместно с Д.В. Соловьевым исследовал интегрируемые натуральные механические системы на двумерной плоскости в магнитном поле. Полностью описаны потенциалы и магнитные поля такие, что дополнительный первый интеграл у этой системы является рациональным по импульсам заданного вида. Построены многочисленные примеры таких систем. А. Сеннинджером методами конечнозонного интегрирования построены решетки Дарбу-Егорова, отвечающие пучкам без кручения ранга один над приводимыми сингулярными спектральными кривыми. А.Е. Миронов совместно с П.А. Леончик исследовал двумерные дискретные операторы и их связь с конечнозонными на одном уровне энергии двумерными операторами Шредингера. Найдены спектральные данные для нового класса двумерных интегрируемых дискретных операторов. Эти операторы имеют собственные функции на нулевом уровне энергии, параметризованные точками алгебраических спектральных кривых. В случае спектральных кривых рода один показано, что конечнозонные операторы Шредингера могут быть получены как предел дискретных операторов. М. Ивлев исследовал коммутирующие дифференциальные операторы ранга 2 со спектральной кривой, отличной от гиперэллиптической, а именно, с тригональной спектральной кривой рода 3, которая имеет вид w^3=z^4+c_3z^3+c_2z^2+c_1z+c_0. Построены первые примеры таких операторов. Среди найденных примеров есть пара коммутирующих дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и пара коммутирующих дифференциальных операторов, коэффициенты которых являются рациональными функциями. Г.С. Маулешова совместно с Е.М. Муравьевой исследовала коммутирующие дискретные операторы рангов один и два с тригональной спектральной кривой рода 3 вида w^3 = z^4+c_3z^3+c_2z^2+c_1z+c_0. Так же, как и в случае дифференциальных операторов, такая кривая не изоморфна гиперэллиптической кривой. Построены примеры коммутирующих дискретных операторов рангов один и два с полиномиальными коэффициентами. А.Е. Миронов исследовал вопрос о существовании замкнутых (не плоских) кривых в трехмерном пространстве, для которых проволочный бильярд (wire billiard) имеет полиномиальный интеграл второй степени по компонентам скоростей. Показано, что в этом случае условие существования кривых сводится к переопределенной системе нелинейных дифференциальных уравнений. Рассмотрены различные случаи параметров, входящих в эту систему, и показано, что во всех рассмотренных случаях система либо не имеет решений, либо решения отвечают плоскому бильярду. А.Е. Миронов совместно с А.Ф. Гундаревой исследовал действие автоморфизмов первой алгебры Вейля на множестве коммутирующих дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами над Z. Вопрос о числе орбит сведен к вопросу о числе решений в целых числах системы из двух диофантовых уравнений.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В рамках данного проекта все планируемые работы выполнены полностью, все запланированные научные результаты достигнуты. В частности, проделана следующая работа. И.А. Таймановым (совместно с П.Г. Гриневичем) описана деформация спектра и дивизора нулей блоховской функции PT-симметричного периодического оператора Шредингера при малых возмущениях нулевого потенциала. В частности, доказано, что аналогами лакун блоховского спектра являются эллипсы, а их фокусы совпадают с точками ветвления спектральной кривой. В отчетном году В.А. Бочко развил спектральную методику построения егоровских метрик и фробениусовых структур, основанную на анализе вырожденных (рациональных) спектральных кривых и соответствующих функций Бейкера–Ахиезера. Предложен подход, позволяющий по заданным спектральным данным строить новые примеры квазиоднородных трёхточечных корреляторов, удовлетворяющих уравнению ассоциативности WDVV, и объясняющий егоровость метрик в ряде известных алгебраических примеров, построенных в работах А.Е. Миронова и И.А. Тайманова по теории фробениусовых многообразий и ортогональных систем координат. Полученные результаты встраиваются в общую схему конечнозонного интегрирования и развивают классический подход Захарова–Кричевера к описанию интегрируемых геометрических структур. С.В. Агапов исследовал вопрос о существовании римановых метрик на двумерном торе с интегрируемыми геодезическими потоками, обладающими дополнительным первым интегралом в виде полинома высокой степени по импульсам. Эта задача сводится к поиску решений некоторой полугамильтоновой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для построения решений этой системы был применен обобщенный метод годографа. Это позволило построить большое количество локальных интегрируемых метрик с полиномиальными первыми интегралами степеней 3, 4, 5. С.В. Агаповым совместно с Д.В. Соловьевым исследованы натуральные механические системы на двумерной плоскости в ненулевом магнитном поле, обладающие дополнительным рациональным интегралом специального вида. Построены новые интегрируемые примеры таких систем, а также исследован вопрос о существовании рациональных интегралов более общего вида в отсутствии магнитного поля. На двумерном торе известны примеры римановых метрик и магнитных полей таких, что магнитный геодезический поток на фиксированном уровне энергии обладает дополнительным квадратичным по импульсам первым интегралом. В рамках данного проекта С.В. Агапов совместно с Д.В. Соловьевым применили обобщенный метод годографа для построения решений полугамильтоновой системы, эквивалентной существованию такого интеграла. Описаны симметрии данной системы и построены семейства ее точных локальных решений. М. Ивлев исследовал коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы ранга два, отвечающие тригональным спектральным кривым рода три. Построены примеры таких операторов, которые имеют полиномиальные и рациональные коэффициенты. Г.С. Маулешова исследовала одноточечные коммутирующие разностные операторы от одной переменной в случае тригональных спектральных кривых. Получены определенные промежуточные результаты, в частности, построены операторы с полиномиальными коэффициентами в случае тригональной спектральной кривой рода 3 и 4. Среди конечнозонных операторов Шредингера выделяются операторы с эллиптическими (двояко периодическими) потенциалами. Примерами таких операторов служат оператор Ламе и оператор Трейбича-Вердье. Ранее А.Е. Мироновым и Г.С. Маулешовой (ДАН, 2018) было показано, что одномерный конечнозонный оператор Шредингера может быть расширен до разностного оператора второго порядка, зависящего от малого параметра и коммутирующего с некоторым разностным оператором порядка 2g+1. Если при этом устремить малый параметр к нулю, то разностный оператор второго порядка перейдет в оператор Шредингера. В рамках данного проекта А.Е. Миронов совместно с Г.С. Маулешовой построили такое же расширение для конечнозонного оператора Трейбича–Вердье. А.Е. Мироновым совместно с А.Ф. Гундаревой и Г.С. Маулешовой исследованы коммутирующие дискретные операторы с матричными коэффициентами, найдены спектральные данные для таких операторов. Совместные собственные функции операторов являются рациональными функциями на спектральной кривой с некоторыми специальными дивизорами нулей и полюсов. В случае эллиптической спектральной кривой найдены явные примеры. А.Е. Мироновым совместно с П.А. Леончик и Г.С. Маулешовой исследованы двумерные дискретные операторы, собственные функции которых на нулевом уровне энергии задаются рациональными функциями на спектральных кривых. Исследуемые дискретные операторы расширены до разностных; более того, показано, что двумерные конечнозонные на одном уровне энергии операторы Шредингера могут быть получены из разностных операторов предельным переходом.