Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В этом году мы работали над всеми направлениями, указанными в проекте. При изучении матричных моделей, геометрии и теории чисел мы сосредоточились на 3 задачах. Во-первых, мы продвинулись в исследовании новых примеров суперинтегрируемости в матричных моделях. Одним из подходов было примение и одновременно развитие техники W-представлений в случае β-деформации матричной модели с мономиальным потенциалом старших степеней. В результате чего были получены явное выражение для W-оператора и новая формула суперинтегрируемости для данной модели, а также среднее значение полиномов Углова в ней же. С другой стороны, мы продолжали исследование WLZZ модели, на примере которой хорошо прослеживается связь между теорией представлений соответствующей алгебры и суперинтегрируемостью. В связи с чем встал вопрос необходимости исследования представлений ДИМ алгебры, а именно собственных функций гамильтонианов ДИМ. Было установлено на большом числе примеров, что это твистованные функции Чалыха-Веселова, а также получен их явный вид в самом первом классе примеров. Кроме того, был исследован вопрос о разложении по характерам для интеграла Ициксона-Зюбера, который тесно связан с WLZZ. Примененный метод регуляризации позволяет строить обобщения данной формулы на β и (q,t)-деформированные случаи. Во-вторых, мы продолжили изучение интегрируемых систем и связанных с ними стат. сумм. Мы продолжили работу над построением производящий функции для значений дзета функций Виттена в теориях Янга-Миллса ранга 2. Таких теорий три: в случае групп SU(3) и SO(5) получились вполне удовлетворительные формулы, а для группы G2 формула оказалась достаточно сложной. В этом году мы также занялись многомерным обобщением модели Курамото. До недавнего времени были известны два ее многомерных обобщения: на многомерные сферы и унитарные группы. Нами был рассмотрен случай размещения осцилляторов на границах Бергмана-Шилова ограниченных симметрических областей, которые обобщают два предыдущих случая. Полученные в результате уравнения движения имеют сходную форму с исходными уравнениями Курамото, в связи с чем можно надеяться, что явление синхронизации осцилляторов имеет место быть для предложенного обобщения. В-третьих, произошел прогресс в описании пространств модулей алгебраических кривых и их свойств. В частности, для квантовой модели Годена, для которой естественное пространство параметров -- это пространство модулей кривых рода ноль, удалось явно вычислить трех диагональные матрицы операторов Годена в ортогональных базисах для формы Шапавалова. Кроме того, с теорией струн связаны орбиобразия пространств модулей алгебраических кривых, которые можно параметризовать при помощи вложенных в поверхность графов. Внутри пространства модулей есть целые локусы особенностей, состоящие из кривых с нетривиальными группами симметрии. В пространстве кривых рода 4 кривая Бринга обладает самой большой группой симметрии. Нами была получена полная диаграмма морфизмов кривой Бринга на кривые меньших родов, согласованных с функцией Белого для икосаэдра рода 4. В работе над квантовыми инвариантами узлов и феноменом универсальности в теории (супер)алгебр Ли мы достигли следующих двух основных групп результатов. Во-первых, мы обобщили скобку Кауфмана для SU(2) на произвольную SU(N), но для выделенного класса двудольных зацеплений, которое однако кажется достаточно богатым. Этот результат позволил нам построить эффективную технику вычисления полиномов ХОМФЛИ (в фундаментальном представлении) -- наблюдаемых в теории Черна--Саймонса, которую мы назвали методом планарного разложения. Кроме того, мы показали, что планарное разложение полиномов ХОМФЛИ позволяет упрощать вычисления даже не полностью двудольных зацеплений (содержащих двудольные тэнглы), а также что оно может быть применено и для старших (анти)симметрических представлений. Во-вторых, мы изучили универсальную алгебру Ли (алгебру Вожеля), которая позволяет обобщить присоединенный сектор всех простых (супер)алгебр Ли. А именно, при помощи диаграммной техники Вожеля мы получили общую формулу для собственных значений операторов Казимира в присоединенном представлении. Также мы предъявили метод нахождения ядра весовых систем простых алгебр Ли и продемонстрировали его на примере sl(N), найдя ядро соответствующей весовой системы на нижних порядках. Образы весовой системы алгебры Ли sl(N) -- групповые факторы пертурбативного разложения полинома ХОМФЛИ, поэтому наш результат имеет значение как для теории узлов, так и для теории Черна--Саймонса. За отчетный период нами была произведена работа по изучению пертурбативных и непертурбативных свойств четырехмерных калибровочных теорий первого порядка: самодуальной теории Янга--Миллса и родственных теорий. Обычно мы добавиляем к физическим полям регуляторные поля так, чтобы они образовали супермультиплет специального вида. Затем придаем массу регуляторам и устремляем ее к бесконечности. Используя регуляризацию Паули-Вилларса, в пределе получаем конечный аномальный вклад. Однако в 2024 году мы обнаружили, что из-за самодействия регуляторов возникают расходящиеся вклады в корреляторы регуляторов. Еще одна проблема состоит в том, что появляются многопетлевые вклады, а исходная теория -- однопетлевая. Нам удалось предложить метод полной регуляризации теории с помощью введения старших производных для регуляторных полей. Также мы разобрали современное состояние вопроса о принципах экстремального производства энтропии к описанию явлений самоорганизации. Рассмотрена возможность применения методов нелинейной алгебры в этом контексте. Был сформулирован подход к теории гомологических инвариантов узлов, по структуре близкий к теории катастроф нелинейных динамических систем. На основе явления Мёсснера разработана комбинаторная модель, иллюстрирующая такие явления как представление статсуммы в виде суммы по путям, ренормгруппа, дуальность.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В этом году мы работали над всеми задачами, указанными в проекте. В рамках первого направления проекта мы продолжили изучение свойств матричных моделей. Практически все они обладают рядом универсальных свойств. Одним из наиболее обширных классов являются так называемые WLZZ модели, построенные в 2022 году. Этот класс, состоящий из двух бесконечных наборов моделей, включает в себя таких ярких и хорошо изученных представителей как эрмитова гауссова модель (в частности, во внешнем поле) и числа Гурвица. Поскольку эрмитова гауссова модель имела естественное обобщение, называемое бета-деформацией, оказалось логичным распространить это свойство на весь класс и построить бета-WLZZ модели. Симметрический многочлен Макдональда в специальной точке сводится к сумме гораздо более простых несимметрических многочленов, которые удовлетворяют простой системе линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, намного более простой, чем те, которые индуцируются обычными гамильтонианами Рудженаарса. Мы привели примеры явных выражений для этих многочленов, называемых функциями Бейкера-Ахиезера (БАФ), и продемонстрировали, что они далее разлагаются на суммы хорошо факторизующихся величин. Уравнения и решения можно легко продолжить до нецелочисленных параметров, которые в случае полинома Макдональда связаны с целочисленными разбиениями. Более того, существует прямое обобщение на “твистованные” БАФ, для которых, однако, разложение коэффициентов на множители исчезает. Тем не менее, эти твистованные БАФ дают собственные функции для гамильтонианов, связанных с коммутативными целочисленными лучами подалгебр алгебры Динга-Иохары-Мики. Общее описание собственных функций интегрируемых гамильтонианов, связанных с целыми лучами алгебры Динга-Иохары-Мики (ДИМ), задается теорией БАФ Чалых, определяемой как решения линейной системы. Решения сами по себе достаточно сложны, но намного проще, чем могли бы быть. Это происходит из-за одновременной частичной факторизации всех детерминантов, которые входят в правило Кремера. Это объясняет относительную простоту многочленов Макдональда и функций Ноуми-Шираиши, и в дальнейшем это объяснение распространяется на все целочисленные лучи ДИМ. Тем не менее, факторизация является лишь частичной, более того, наблюдаются разные ветви и скачки. Мы объяснили эту особенность правила Крамера на примере матрицы, которая определяет БАФ и демонстрирует неаналитическую зависимость от параметров. Кроме того, мы продемонстрировали согласованность разложения по характерам для модели Ициксона–Зюбера (ИЗ) в терминах полиномов Шура со старыми формулами для парных корреляторов с мерой ИЗ. Существенной новой особенностью корреляторов является то, что они не симметричны по собственным значениям, поэтому не могут быть выражены только с помощью полиномов Шура. Вместо этого мы показали, что выражение возможно в терминах производных Шура. Это открывает новый способ изучения разложения по характерам произвольных корреляторов ИЗ любого порядка. В рамках второго направления работы мы изучали петли Вильсона в трехмерной топологической теории Черна–Саймонса с калибровочной группой SU(N) и SO(N), контуром интегрирования в которой является произвольное зацепление – полиномы ХОМФЛИ и Кауффмана соответственно, а также обобщение этой теории на соответствующую когомологическую квантовую теорию поля. В 2025 году мы получили квантовую R-матрицу, соответствующую группе SO(5), в фундаментальном представлении и с помощью нее вычислили полиномы Кауффмана для некоторых узлов. Мы также нашли узлы, которые не различаются входящими в полином ХОМФЛИ инвариантами Васильева 8 порядка и ниже. Мы также исследовали конструкцию Вожеля, указав, по крайней мере, на два интересных следствия из его построения. Во-первых, мы исследовали вопрос, могут ли бесконечномерные алгебры Ли расширить теорию Черна–Саймонса. Во-вторых, конструкция Вожеля подразумевает альтернативную аксиоматизацию простых алгебр Ли, когда мы начинаем с инвариантов узлов и приходим к алгебрам Ли и их классификации, что находится довольно далеко от традиционной логики по построению классификации Картана–Дынкина для простых алгебр Ли. В этом году мы также продолжили наши исследования, связанные с зета-функцией Виттена. А именно, мы перешли к двумерным конформным теориям, в которых определены операторы Книжника–Замолодчикова. Эти операторы образуют плоскую связность, действующую на пространстве конформных блоков. Мы заменили пространство конформных блоков на прямую сумму модулей Верма и рассмотрели действие на них связности Казимира. В этом случае следы монодромий являются полу-бесконечными рядами – так называемыми неполными тета-рядами. Другой важный класс функций, который появляется в этом подходе – это зета-функции Эпштейна и конические зета-функции. Они связаны с неполными тета-рядами с помощью преобразования Меллина. Наша задача – исследование свойств этих зета-функций, в частности, построение функционального уравнения типа уравнения Римана. Мы также продолжили изучение конформной аномалии в теории самодуального Янга–Миллса. Для регуляризации теории мы вложили ее в суперсимметричную теорию со скалярной суперсимметрией, а затем, добавили массивные члены дополнительным полям. В этой регуляризации мы вычислили отклик на конформные бусты, который не свелся к перенормировке полей теории. Нам также удалось предложить регуляризацию, в которой потенциально опасные аномальные корреляторы занулились. Параллельно мы продолжили исследования, связанные с трехточечной моделью Годена и естественно возникающих там разветвлённых накрытий сферы. В частности, мы получили результаты компьютерных экспериментов и данные о динамике точек ветвления при предельном поведении. Мы сформулировали гипотезу, что все точки ветвления стремятся к корням квадратных трехчленов, зависящих только от отношения старших весов неприводимых представлений. Кроме того, нам удалось изучить древовидные склейки симплексов. На поверхности трехмерного диска, склеенного из трехмерных тетраэдров, получаются специальные триангуляции сферы. На взвешенные количества таких симплициальных комплексов были получены рекуррентные соотношения. Производящая функция для таких объектов удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое решается, что позволяет явно выписать производящую функцию. Мы также рассмотрели d-мерные симплексы, их древовидные склейки, рекуррентные соотношения, производящие функции. Количество древовидных склеек может использоваться для оценки количества всех триангуляций. В результате наших исследований был разработан подход, позволяющий получить явную формулу.