Ряды Фурье и субгармонические функции

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-21-00006

НазваниеРяды Фурье и субгармонические функции

Руководитель Малютин Константин Геннадьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Курский государственный университет" , Курская обл

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова Субгармоническая функция, ряды Фурье, коэффициенты Фурье, функция роста, функция Грина, граница Мартина, мера Рисса, полная мера, порядок функции, тип функции.

Код ГРНТИ27.27.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В 60-х годах в работах Рубела, Тейлора, Майлза, Шиа начал широко применяться метод рядов Фурье для изучения свойств целых и мероморфных функций. Этот метод является эффективным при решении ряда общих задач теории мероморфных функций и устанавливает ее связь с теорией рядов Фурье. Он позволяет исследовать функции с довольно нерегулярным ростом на бесконечности и функции бесконечного порядка. Важные результаты в этом направлении были получены Кондратюком, обобщившем теорию Левина - Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста на мероморфные функции. Руководителем проекта результаты, отмеченных выше авторов, были распространены на дельта-субгармонические функции в полуплоскости. Интерес к данной тематике не утихает до настоящего времени, о чем свидетельствуют многочисленные публикации в ведущих отечественных и зарубежных математических журналах. Отметим имена Хабибуллина, Рубела,Тейлора, Майлза, Шиа, Куяла, Бергвейлера и др. Актуальность данной тематики обусловлена многочисленными приложениями рядов Фурье как в самой математике так и для решения практических задач. В проекте предполагается продолжить исследование методом рядов Фурье свойств субгармонических функций на комплексной плоскости и в полуплоскости. Будут изучены пространства функций, рост которых определяется модельной функцией роста. Понятие модельной функции роста охватывает большой класс функций. Функции конечного порядка относительно модельной функции роста, могут иметь порядок роста, в классическом его понимании, равный бесконечности или нулю. К модельным функциям роста относятся функции от r > 0 вида exp(n)(r), где exp(n)(r) - n-кратная суперпозиция с n=1,2,..., показательной функции exp, степени логарифмической функции ln^p(e+r) при любом p≥ 1, и вообще любая дифференцируемая функция M(r) > 0 при всех r > 0 с возрастающей функцией rM'(r) > 0 при всех r > 0 . Планируется получить следующие результаты. 1) Будет получено представление субгармонической функции в открытом полукольце $D_+(R_1,R_2)=\{z:0<R_1<|z|<R_2<+\infty,\operatorname{Im}\,z>0\}$ на верхней полуплоскости, которое обобщает известные формулы Карлемана, Левина, Гришина, Ито. 2) Будет найдены критерии для того, чтобы мера на комплексной плоскости (в полуплоскости) была риссовской мерой субгармонической функции нормального типа относительно модельной функции роста. Эти результаты обобщают классический результат Линделефа о связи типа целой функции конечного порядка с распределением ее нулей. 3) Будут найдены критерии принадлежности субгармонической функции в открытом полукольце к данному классу функций, рост которых определяется данной модельной функцией роста. Эти критерии будут сформулированы в терминах коэффициентов Фурье функции. 4) Будет доказано, что для любой функции, определенной на положительной полуоси, рост которой определяется модельной функцией роста $M$, существует собственная уточненная функция роста относительно модельной функции роста $M$. Таким образом, будет решена проблема Адамара для достаточно широкого класса целых и субгармонических функций. 5) Будет получен аналог теоремы Карлемана для открытого полукольца. Будут также намечены пути для дальнейших исследований и приложений к теории интерполяции, базисности и полноты систем функций, других разделов теории функций.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1) Получено представление субгармонической функции $v(z)$ в открытом полукольце $D_+(R_1,R_2)=\{z:0<R_1<|z|<R_2<+\infty,\operatorname{Im}\,z>0\}$ на верхней полуплоскости, которое обобщает известные формулы Карлемана, Левина, Гришина, Ито, Говорова. Представление функции $v(z)$ учитывает как внутреннюю (риссовскую) меру функции, так и ее граничное поведение, которое мы называем полной мерой функции. 2) Доказано, что для любой функции $A(r)$, определенной на положительной полуоси, рост которой определяется модельной функцией роста $M(r)$, существуют собственные уточненные функции роста относительно модельной функции роста $M(r)$, которые оценивают функцию $A(r)$ сверху и снизу. 3) В статье "K. G. Malyutin, M. V. Kabanko, On the Proximate Order with Respect to the Model Function, Journal of Mathematical Sciences, 2024"\, https://doi.org/10.1007/s10958-024-06957-w, исследовано обобщение уточненного порядка в смысле Валирона. Понятие уточненного порядка широко используется в теориях целых, мероморфных, субгармонических и плюрисубгармонических функций. Мы даем общую интерпретацию оценки роста функции относительно модельной функции. Рассматриваем обобщенный уточненный порядок, соответствующий произвольной модельной функции роста. Мы также рассматриваем некоторые свойства обобщенного уточненного порядка в случае, когда модельная функция роста является мультипликативной. В частности, мы доказываем, что условия гладкости на уточненный порядок не имеют значения. 4) В статье "Малютин К.Г., Кабанко М.В., Интерполяционные множества в пространствах функций конечного порядка в полуплоскости, Уфимск. матем. журн., 16:3 (2024), С. 44-57"\,, рассматриваются задачи, относящиеся к задачам свободной интерполяции, которые впервые начал рассматривать А.Ф. Леонтьев. Получены новые критерии интерполяционности множеств в пространстве аналитических в верхней полуплоскости функций конечного порядка. Приведены примеры интерполяционных множеств в пространстве аналитических в верхней полуплоскости функций конечного порядка. Эти примеры аналогичны интерполяционным множествам в пространстве аналитических, ограниченных в верхней полуплоскости функций. В частности, приведены аналоги множеств, удовлетворяющих условию Ньюмена и равномерному условию Фростмана. 5) В статье "Малютин К.Г., Об одном приложении интерполирующей функции Леонтьева в теории тригонометрически выпуклых функций" (принята к печати в Уфимский математический журнал), исследуется связь $\rho$-тригонометрически выпуклых функций с классом субгармонических функций. Установленная связь используется для доказательства новых неравенств, характеризующих $\rho$-три\-го\-но\-мет\-ри\-чес\-ки выпуклые функции и нахождения интегральных уравнений первого рода, которым удовлетворяют $\rho$-три\-го\-но\-мет\-ри\-чес\-кие функции. При более детальной разработке этой темы появляется свёрточное интегральное уравнение $$ h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}h(\theta-u)d\sigma(u), $$ где $\sigma$~--- конечная финитная мера. Результаты по теории этого уравнения излагаются следуя А.Ф.~Леонтьеву, который изучал его в связи с теорией рядов Дирихле. Используя интерполирующую функцию Леонтьева, предлагаются дополнительные условия, гарантирующее, что непрерывное решение уравнения \begin{equation*} h(\theta)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}a_R(u)h(\theta-u)du \end{equation*} при фиксированном $R$ будет $\rho$-три\-го\-но\-мет\-ри\-чес\-кой функцией. 6) В статье "Малютин К.Г., О типе Полиа целой функции" (принята к печати в Владикавказский математический журнал), рассматриваются функции плотности максимума модуля функции, которые дают большую информацию о поведении функции, чем ее тип и нижний тип в классическом смысле. Это определение является распространением понятий максимальной и минимальной плотности последовательности положительных чисел, введенных Полиа, который доказал их существование, если рост считающей функции последовательности чисел имеет нормальный тип относительно $r$.

Публикации

1. Малютин К.Г. Введение в теорию тригонометрически выпуклых функций ФИЗМАТЛИТ, Москва (год публикации - 2024)

2. Кабанко М.В. Малютин К.Г. Об обобщении теоремы Вейерштрасса Материалы Международной конференции "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации" (г. Уфа, 08-12 июня 2024 г.), С. 26-27 (год публикации - 2024)

3. Наумова А.А. Представление в виде частного дельта-субгармонической функции в полукольце Материалы Международной конференции "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации" (г. Уфа, 08-12 июня 2024 г.), С. 36-37 (год публикации - 2024)

4. Кабанко М.В., Малютин К.Г. Некоторые условия интерполяционности в пространстве функций конечного порядка в полуплоскости Материалы Международной конференции "Комплексный анализ, математическая физика, и нелинейные уравнения" (г. Уфа, 11 – 15 марта 2024 г.), С. 41-42 (год публикации - 2024)

5. Наумова А.А. Рост субгармонических функций в бесконечном полукольце Материалы Международной конференции "Комплексный анализ, математическая физика, и нелинейные уравнения" (г. Уфа, 11 – 15 марта 2024 г.), С. 56-57 (год публикации - 2024)

6. И.В. Костенко Об обобщенном уточненном порядке в смысле Валирона Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2024. - 242 с., 2 октября – 5 октября 2024 г.). В 2 томах. Том 1), С. 95 (год публикации - 2024)

7. Малютин К.Г. Новые неравенства для rho-тиригонометрически выпуклых функций Материалы 11-го международного научного семинара "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", 16 – 20 сентября 2024 года, Минск, Беларусь, С.41-42 (год публикации - 2024)

8. Малютин К.Г. Некоторые проблемы теории функций Наука и образование как основа развития России. Кадры для инновационной экономики. Сборник статей по итогам Шестого Профессорского форума 14–16 ноября 2023 г. Том 2., Т. 2, С. 289-312 (год публикации - 2024)

9. Малютин К., Кабанко М. On the Proximate Order with Respect to the Model Function Journal of Mathematical Sciences, 280(5), pp. 692–709, oпубликовано онлайн 28.03.2024, https://doi.org/10.1007/s10958-024-06957-w (год публикации - 2024)
10.1007/s10958-024-06957-w

10. М.В. Кабанко, К.Г. Малютин Интерполяционные множества в пространствах функций конечного порядка в полуплоскости Уфимский математический журнал , Том 16, выпуск 3, с. 44-57 (год публикации - 2024)
10.13108/2024-16-3-40

11. Малютин К.Г. Об одном приложении интерполирующей функции Леонтьева Материалы Международной конференции "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации" (г. Уфа, 08-12 июня 2024 г.), С. 33. (год публикации - 2024)

12. Малютин К.Г., Кабанко М.В. О функциях плотности Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2024. - 242 с., 2 октября – 5 октября 2024 г.). В 2 томах. Том 1), С. 113-115 (год публикации - 2024)