Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В отчетном году были получены следующие конкретные научные результаты. Рассмотрено гладкое нелинейное уравнение в окрестности заданного решения. В нем y играет роль параметра, а x играет роль известного. При этом заданная точка может быть не 2-регулярной. Тем не менее в ней выполняется некоторое условие регулярности более высокого, чем второй, порядка. Построен класс гладких отображений, в которых выполняются указанные условия регулярности, а также предположения об укорочении специального вида. Этот класс отображений включает в себя квадратично-кубичные уравнения. Для этого класса отображений доказано, что нелинейное уравнение имеет решение, которое удовлетворяет некоторой априорной оценке, которая, вообще говоря, хуже, чем линейная оценка. Показана устойчивость рассматриваемого укорочения, которое в отличие от рассматриваемого уравнения, которое рассматривается только в окрестности изучаемой точки, уже может носить нелокальный характер. Получена нелокальная обобщенная теоремы о неявной функции для отображений, действующих в различных линейных пространствах. Исследована периодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для нее было введено условие регулярности первых производных отображения, определяющего рассматриваемое уравнение. Было показано, что если выполняется условие регулярности ограничений и некоторое соотношение на длину заданного отрезка и верхнюю границу значений отображения, то при естественных предположениях гладкости и непрерывности рассматриваемая задача имеет периодическое решение. Исследована краевая задача для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая основана на результатах об операторных уравнениях. Рассмотрена краевая задача с условием, определяемым линейным функционалом общего вида на пространстве абсолютно непрерывных функций, а также конкретные частные случаи такой общей краевой задачи с многоточечными и периодическими условиями. Рассмотрена задача условной оптимизации гладкой функции при наличии гладких ограничений. При этом рассмотрены как задачи с равенственными ограничениями, так и задачи с ограничениями типа неравенств. Для них показано, что в известных достаточных условиях оптимальности можно заменить множество множителей Лагранжа некоторым меньшим множеством. Это связано с тем, что вычисляется индекс ограничений, который не превышает их количества. Ответ был сформулирован на языке функции Лагранжа, которая включает в себя как минимизируемую функцию, так и ограничения. Информационный ресурс в сети Интернет: https://emj.enu.kz/index.php/main/article/view/4/2

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Исследованы теоремы об обратной функции для отображений, которые действуют в в различных конечномерных и бесконечномерных пространствах. Метод доказательства основан на укорочении заданного нелинейного отображения. При этом часть координат заданного конечномерного неотрицательного ненулевого вектора λ может уже обращаться в нуль, хотя при заданных условиях регулярности соответствующие оценки выполняются. Кроме того, получены более сильные покоординатные оценки на решения, чем известные ранее. Для заданного неотрицательного вектора получены достаточные условия для единственности построенного укорочения. Из этих теорем при естественных предположениях выведена обобщенная теорема о неявной функции. При этом как частные случаи, получена как глобальная теорема о неявной функции, так и теорема об обратной функции. С помощью полученных оценок получено утверждение о продолжении неявной функции с заданного замкнутого множества на пространство параметров. Эти результаты распространены на гладкие отображения. Это развитие основано на вводимом понятии отображений, которые непрерывно дифференцируемы до любого конечного порядка, но размер соответствующей окрестности заданной точки может стремиться к нулю. Этот класс естественно включает в себя все отображения, которые бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Приведены примеры, которые демонстрируют важность основных предположений получаемых теорем и оценок. В частности, приведены примеры, в которых введенное предположение регулярности в смысле равенства нулю компонент вектора h, соответствующих нулевым компонентам неотрицательного вектора λ нарушается, и за счет этого нарушается соответствующая априорная оценка на решение. Рассмотрен пример, в котором выполнены получаемых теорем, но неприменимы никакие из известных результатов. Исследована управляемая система с неявной дифференциальной связью и геометрическими ограничениями на управление и концевые точки. Изучены точки совпадения в некоторых конкретных линейных пространствах. В качестве приложений получены условия разрешимости конкретных нелинейных уравнений. Для них получены априорные оценки на полученные решения, которые явно выражаются через невязку заданной точки. Продолжено построение классов отображений, которые не являются линейно-квадратичными, но удовлетворяют следующим свойствам. Эти отображения в нуле равны нулю, полиномиальны и являются укорочениями, которые регулярны. Класс таких отображений включает в себя отображения и более высокого, чем третий, порядка (например, четвертый, пятый и т. д.). Для них явно вычислен ненулевой неотрицательный вектор, соответствующий указанному отображению, а также вектор h, который обращает это полиномиальное отображение в нуль, и является для него нормальной точкой. Изучено возмущения как минимизируемой функции, так и ограничений. Для них изучена устойчивость к таким возмущениям и получить результаты, связанные с этими возмущениями. Как в конечномерных, так и в бесконечномерных задачах получены условия, в которых условия минимума мало зависят от изучаемых возмущений. Эти результаты обобщены на задачу о седловых точках.