Развитие методов анализа устойчивости и синтеза законов управления для нелинейных динамических систем с запаздыванием

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-21-00091

НазваниеРазвитие методов анализа устойчивости и синтеза законов управления для нелинейных динамических систем с запаздыванием

Руководитель Александров Александр Юрьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова устойчивость, стабилизация, запаздывание, дифференциально-разностные системы, функционалы Ляпунова-Красовского, метод Разумихина, системы с переключениями, позитивные системы, диагональная устойчивость, децентрализованное управление

Код ГРНТИ27.29.25

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Исследование устойчивости систем с запаздыванием представляет собой актуальную проблему современной теории управления. В последние годы интерес к ней значительно возрос в связи с появлением задач управления мультиагентными и киберфизическими системами. Хорошо известно, что запаздывание может существенно влиять на устойчивость и другие динамические характеристики систем. Следует отметить, что во многих прикладных задачах запаздывание не является малым. Кроме того, информация о его величине может быть недоступна. В таких случаях необходимо получить условия, гарантирующие заданное поведение системы при любом запаздывании. Прямой метод Ляпунова является основным инструментом анализа устойчивости нелинейных систем. Для систем с запаздыванием его применение базируется или на подходе Разумихина или на функционалах Ляпунова–Красовского. Эти подходы достаточно хорошо развиты для линейных систем. Ряд важных и интересных результатов получен для определенных классов нелинейных систем с запаздыванием (вчастности, для однородных систем). Однако в целом проблема нахождения функций Ляпунова–Разумихина и функционалов Ляпунова–Красовского для нелинейного случая недостаточно изучена. Данный проект направлен на решение фундаментальной проблемы разработки методов исследования устойчивости и построения стабилизирующих управлений для широкого класса нелинейных систем с запаздыванием. Для этого предполагается развитие подходов, основанных как на методе Разумихина, так и на методе функционалов Ляпунова-Красовского. Принципиальная новизна поставленной задачи заключается в изучении новых типов систем и разработке оригинальных методов и алгоритмов их анализа и синтеза. Будут исследоваться нелинейные неоднородные системы, описывающие взаимодействие подсистем различных типов. Предполагается учет таких факторов как неопределенности в задании рассматриваемых систем, переключения режимов функционирования и воздействие нестационарных возмущений. Планируется изучение случаев постоянного, переменного, распределенного и бесконечного запаздываний. Будут разработаны новые подходы к проблемам качественного и количественного анализа таких систем и построения управлений, обеспечивающих требуемые динамические свойства решений. Целью проекта является получение ряда новых условий устойчивости (в том числе устойчивости относительно части переменных), диссипативности, ограниченности решений изучаемых систем, определение границ робастной устойчивости, вывод оценок скорости сходимости решений к предельным режимам и скорости попадания решений в заданные области, оценок областей притяжения, установление границ допустимых значений запаздываний и классов законов переключения, при которых гарантируются требуемые свойства решений, разработка новых способов и алгоритмов построения управлений с учетом запаздывания в каналах обратной связи и переключений. Предполагается также развитие теории диагональной устойчивости для позитивных нелинейных систем с распределенным запаздыванием и разработка для них конструктивных способов и алгоритмов построения диагональных функционалов Ляпунова-Красовского. Полученные результаты будут применяться для анализа устойчивости и стабилизации нелинейных механических систем, при этом особое внимание будет уделено задачам стабилизации различных режимов вращательного движения твердых тел. Кроме того, предполагается использование разработанных подходов для построения децентрализованных управлений формациями мобильных агентов в условиях коммуникационного запаздывания и переключений сетевой топологии.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Исследовалась устойчивость систем Персидского с распределенным запаздыванием. Предполагалось, что функции секторного типа, входящие в правые части этих систем, существенно нелинейны. Были предложены оригинальные конструкции функционалов Ляпунова-Красовского полного типа, с использованием которых найдены новые условия асимптотической устойчивости нулевого решения. Кроме того, с помощью построенных функционалов получены оценки границ робастной устойчивости, областей притяжения и времени переходных процессов. Также исследовалось воздействие нестационарных возмущений с нулевыми средними значениями на динамику рассматриваемых систем. На основе развития метода усреднения определены условия, при выполнении которых возмущения не нарушают устойчивости. Разработанные подходы были распространены на системы Лурье непрямого управления. Установленные результаты применялись для анализа устойчивости механических систем с распределенным запаздыванием и существенно нелинейными неоднородными позиционными силами на основе декомпозиции исходной системы дифференциальных уравнений второго порядка на две подсистемы первого порядка. 2. Исследовалась устойчивость нелинейных позитивных систем с запаздываниями, переключениями и нелинейностями секторного типа. Рассматривались случаи распределенного, неограниченного и бесконечного запаздывания. Для каждого из этих случаев строилось семейство диагональных функционалов Ляпунова-Красовского специального вида. Получены условия существования предложенных функционалов и разработаны конструктивные алгоритмы нахождения их параметров. Это позволило установить ряд новых условий, гарантирующих асимптотическую устойчивость нулевых решений рассматриваемых систем для любого допустимого закона переключения. 3. Проводилось исследование позитивных дифференциально-алгебраических систем, описывающих взаимодействие линейных разностных подсистем с непрерывным временем и дифференциальных подсистем с нелинейностями секторного типа. С помощью специальных конструкций диагональных функционалов Ляпунова–Красовского получены новые условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений таких систем при любом постоянном неотрицательном запаздывании. В случае нелинейностей степенного вида найдены оценки времени переходных процессов, а для соответствующей гибридной системы определены достаточные условия, при выполнении которых нулевые решения будут асимптотически устойчивы при любом законе переключения. 4. Исследовалась проблема стабилизации механических систем с использованием запаздывающей обратной связи. Применялось нелинейное управление с неограниченным запаздыванием. С помощью прямого метода Ляпунова определены условия на параметры управления, при выполнении которых гарантируется асимптотическая устойчивость положений равновесия рассматриваемых систем. 5. Изучалась проблема синтеза электродинамических систем управления угловой ориентацией спутников относительно их центров масс. Рассматривался спутник, снабженный управляемым электростатическим зарядом, распределенным по некоторому объему, и управляемым магнитным моментом. Предполагалось, что центр масс спутника движется по круговой экваториальной околоземной орбите. Исследовались задачи одноосной и трехосной электродинамической стабилизации спутника в орбитальной системе координат. Ранее для их решения были разработаны способы построения управлений, основанные на одновременном использовании магнитного момента и момента лоренцевых сил, а также управлений с распределенным запаздыванием. В ходе выполнения проекта было предложено вместо слагаемых с распределенным запаздыванием использовать ПИД регуляторы специальной структуры. С помощью прямого метода Ляпунова определены условия на параметры управлений, при выполнении которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость программных режимов. Были предложены оригинальные конструкции функционалов Ляпунова—Красовского. Проведено численное моделирование, результаты которого подтвердили полученные теоретические выводы и продемонстрировали преимущество разработанного подхода по сравнению с использованием построенных ранее регуляторов с распределенным запаздыванием. 6. Разрабатывались новые алгоритмы построения робастных протоколов, обеспечивающих заданные конфигурации мобильных агентов в условиях распределенного коммуникационного запаздывания и переключений сетевой топологии. Рассматривалась группа мобильных агентов на прямой. Предполагалось, что динамика агентов моделируется интеграторами первого порядка, причем каждый агент получает информацию от нескольких своих левых и нескольких правых соседей. Требовалось обеспечить заданное нелинейно-равномерное распределение агентов (равномерное относительно некоторой функции) на отрезке прямой. Рассматривался случай, когда в сигналах, получаемых агентами от своих соседей, присутствует распределенное запаздывание. Кроме того, предполагалось, что связи между агентами могут включаться и выключаться в произвольные моменты времени. Были предложены нелинейные децентрализованные протоколы. Определены условия на параметры управлений, при выполнении которых агенты сходятся к требуемым положениям. Установлена робастность построенных протоколов управления по отношению к переключениям сетевой топологии. Доказательства сформулированных утверждений основаны на применении прямого метода Ляпунова и специальных конструкций функционалов Ляпунова—Красовского. Была также исследована задача равномерного размещения агентов на отрезке за конечное время в условиях переключений сетевой топологии. Предложены сверхфинитные протоколы управления. С использованием составных функций Ляпунова и метода интегральных неравенств определены условия на законы переключения, при выполнении которых обеспечивается сверхфинитная устойчивость равномерного распределения и найдены оценки времени переходных процессов. 7. Проводился анализ перманентности непрерывных и дискретных обобщенных моделей Лотки–Вольтерра с постоянными запаздываниями и переключениями параметров. Для получения условий перманентности применялся прямой метод Ляпунова. Разработаны новые подходы к нахождению функционалов Ляпунова–Красовского для рассматриваемых систем. Установлены условия, гарантирующие, что перманентность имеет место при любом постоянном запаздывании и любом допустимом законе переключения. Кроме того, проводилось распространение разрабатываемых подходов на обобщенные вольтерровские модели с переключениями и бесконечным запаздыванием. Построенные функционалы применялись для получения оценок областей перманентности и времени попадания решений в эти области. 8. По результатам выполнения проекта опубликовано 8 статей и сделано три устных доклада на всероссийских и международных конференциях.

Публикации

1. Александров А.Ю., Андриянова Н.Р. Stability Analysis of Switched Positive Persidskii Systems with Distributed and Unbounded Delays Advances in Systems Science and Applications, № 2, том 24, с. 40-53 (год публикации - 2024)
10.25728/assa.2024.2024.02.1618

2. Андриянова Н.Р. Сверхфинитная устойчивость мультиагентной системы с переключениями ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ, № 1, том 11, с. 35-41 (год публикации - 2024)

3. Александров А.Ю. Построение диагональных функционалов Ляпунова-Красовского для одного класса позитивных дифференциально-алгебраических систем ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, № 5, том 60, с. 579–589. (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124050013

4. Александров А.Ю., Рузин С.Б. Одноосная электродинамическая стабилизация космического аппарата с использованием ПИД регулятора Мехатроника, автоматизация, управление, № 7, том 25, с. 380-387. (год публикации - 2024)
10.17587/mau.25.380-387

5. Александров А.Ю. Permanence analysis for continuous and discrete-time generalized Lotka–Volterra models with delay and switching of parameters Дифференциальные уравнения и процессы управления, № 3, с. 13-27 (год публикации - 2024)
10.21638/11701/spbu35.2024.302

6. Александров А.Ю. Stability Analysis for Some Classes of Nonlinear Systems with Distributed Delay Siberian Mathematical Journal, № 6, том 65, с. 1061–1075 (год публикации - 2024)
10.1134/S0037446624060028

7. Александров А.Ю,, Андриянова Н.Р. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ЛУРЬЕ НЕПРЯМОГО УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ XIV ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ (ВСПУ-2024) : сборник научных трудов, 17-20 июня 2024 г., Москва / Под общ. ред. Д.А. Новикова; Ин-т Проблем упр. им. В.А. Трапезникова Рос. акад. наук. – Электрон. текстовые дан. (824 файла: 433 МБ). – М.: ИПУ РАН, 2024, с. 658-661 (год публикации - 2024)

8. Александров А.Ю. CONSTRUCTING LYAPUNOV–KRASOVSKII FUNCTIONALS FOR SOME CLASSES OF SWITCHED POSITIVE SYSTEMS WITH INFINITE DELAY Cybernetics and Physics, № 1, том 13, с. 5-11 (год публикации - 2024)
10.35470/2226-4116-2024-13-1-5-11

9. Александров А.Ю. ON THE ASYMPTOTIC STABILITY WITH RESPECT TO A PART OF VARIABLES FOR A CLASS OF NONLINEAR SYSTEMS WITH DISTRIBUTED DELAY CYBERNETICS AND PHYSICS, VOL. 14, No. 1, p. 5–12 (год публикации - 2025)
10.35470/2226-4116-2024-14-1-5-12

10. Александров А.Ю., Рузин С.Б. Triaxial electrodynamic stabilization of a satellite via PID controller Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, № 2, том 20, с. 244-254 (год публикации - 2024)
10.21638/spbu10.2024.209

11. Александров А.Ю. Stabilization of nonlinear mechanical systems via homogeneous delayed feedback THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL SPECIAL TOPICS, Published online (год публикации - 2025)
10.1140/epjs/s11734-025-02032-w

12. Александров А.Ю. Constructing Lyapunov–Krasovskii functionals for linear positive continuous time difference systems IMA Journal of Mathematical Control and Information, T. 41, с. 634–646 (год публикации - 2024)
10.1093/imamci/dnae029

13. Александров А.Ю. ТРЁХОСНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ Дифференциальные уравнения, том 61, № 10, с. 1405–1415 (год публикации - 2025)
10.7868/S3034503025100084

14. Александров А.Ю. POLYSTABILITY CONDITIONS FOR SOME CLASSES OF NONLINEAR TIME-DELAY SYSTEMS SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 63, No. 2, p. 1085-1103 (год публикации - 2025)
10.1137/24M1676971

15. Александров А.Ю., Андриянова Н.Р. Анализ устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями и распределенным запаздыванием Мехатроника, автоматизация, управление, Т. 26, № 5, с. 233-240 (год публикации - 2025)
10.17587/mau.26.233-240

16. Александров А.Ю., Рузин С.Б. Децентрализованные алгоритмы управления группой мобильных агентов на прямой при распределенном коммуникационном запаздывании Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, Т. 21. Вып. 1. С. 139–150. (год публикации - 2025)
10.21638/spbu10.2025.110

17. Александров А.Ю., Андриянова Н.Р. Об устойчивости одного класса нелинейных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием Процессы управления и устойчивость, Т. 12, № 2, с. 13-14 (год публикации - 2025)

18. Александров А.Ю., Андриянова Н.Р., Рузин С.Б. Управление группой мобильных агентов на прямой в условиях коммуникационного запаздывания и переключений сетевой топологии ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. Материалы Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова. В 2-х частях. Ижевск, 2025. Издательский дом "Удмуртский университет", Ижевск., Ч. 1, с. 33-36. (год публикации - 2025)
10.35634/978–5–4312–1263-5-2025-1-200

19. Александров А.Ю., Андриянова Н.Р., Рузин С.Б. АЛГОРИТМЫ РАЗМЕЩЕНИЯ МОБИЛЬНЫХ АГЕНТОВ НА ОТРЕЗКЕ В УСЛОВИЯХ КОММУНИКАЦИОННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ И ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ СЕТЕВОЙ ТОПОЛОГИИ Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, Т. 66, с. 3-15 (год публикации - 2025)
0.35634/2226-3594-2025-66-01

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1. Исследовалась устойчивость нелинейных неоднородных сложных систем, описывающих взаимодействие дифференциальных и разностных подсистем с запаздываниями. Сначала рассматривались линейные разностные системы с непрерывным временем, запаздываниями и переключениями, для которых были построены общие функционалы Ляпунова-Красовского полного типа, существование которых гарантировало асимптотическую устойчивость систем при любом законе переключения. Предложены взаимодополняющие конструктивные подходы для нахождения параметров требуемых функционалов, основанные на решении систем линейных алгебраических неравенств. Далее указанные функционалы специальным образом достраивались до функционалов Ляпунова-Красовского, с помощью которых были получены новые условия устойчивости сложной дифференциально-алгебраической системы, оценки времени переходных процессов и областей притяжения. 2. Проведен анализ устойчивости сложных систем с распределенным запаздыванием и переключениями режимов функционирования. Предполагалось, что изучаемые системы описывают взаимодействие линейных и существенно нелинейных дифференциальных подсистем. Рассмотрены случаи как синхронных, так и асинхронных переключений. Анализ устойчивости основывался на применении специальной формы декомпозиции изучаемых систем и прямого метода Ляпунова. Для таких систем были построены общие функции Ляпунова-Разумихина и функционалы Ляпунова-Красовского. Установлены условия асимптотической устойчивости нулевых решений рассматриваемых систем при любых допустимых законах переключения. Для ситуаций, когда такие функции и функционалы подобрать не удается, с использованием составных функционалов определены классы законов переключения, при которых можно гарантировать асимптотическую устойчивость. На основе разработанных подходов получены новые условия устойчивости и стабилизации механических систем с существенно нелинейными позиционными силами и распределенным запаздыванием. 3. Исследовались условия устойчивости по отношению к части переменных для некоторых классов нелинейных систем с постоянным и распределенным запаздыванием. С помощью метода сравнения, теории дифференциальных неравенств и оригинальных конструкций функционалов Ляпунова-Красовского полного типа найдены новые условия асимптотической устойчивости по части переменных и полиустойчивости. Установленные результаты представляют собой распространение классической теоремы Ляпунова-Малкина на случай, когда изучаемая система имеет существенно нелинейное первое приближение и содержит запаздывания. Разработанные подходы позволили получить оценки решений рассматриваемых систем и определить допустимые значения запаздываний, при которых сохраняется устойчивость. Кроме того, с их помощью получены новые условия устойчивости и стабилизации для нелинейных механических систем. 4. Разрабатывались новые подходы к анализу устойчивости положений равновесия нелинейных механических систем с неограниченным запаздыванием. Предложены новые конструкции функционалов Ляпунова-Красовского полного типа для таких систем. Указанные функционалы позволили не только получить новые условия асимптотической устойчивости положений равновесия, но и найти оценки времени переходных процессов и областей притяжения, а также границы робастности для изучаемых систем. На основе разработанных подходов предложены новые способы стабилизации механических систем с использованием запаздывающей обратной связи. Управления строились в виде нелинейных ПИД регуляторов. Определены условия на параметры регуляторов, при выполнении которых гарантируется асимптотическая устойчивость программных режимов. 5. Решались задачи синтеза управлений с запаздывающей обратной связью, обеспечивающих одноосную и трехосную стабилизацию твердого тела. Применялись следующие типы управлений: а) линейный диссипативный момент без запаздывания и линейный восстанавливающий момент с постоянным запаздыванием; б) управление без диссипативного момента и с линейным восстанавливающим моментом с запаздыванием (стабилизация за счет специального введения запаздывания); в) управление типа ПИД регулятора с линейной дифференциальной частью и существенно нелинейными пропорциональной и интегральной частями. Определены условия на параметры управлений и величину запаздывания, при выполнении которых гарантируется асимптотическая устойчивость заданных программных режимов. Для решения указанных задач предлагались специальные конструкции функций Ляпунова-Разумихина и функционалов Ляпунова-Красовского. 6. Для группы мобильных агентов на прямой разработаны новые способы построения децентрализованных протоколов, обеспечивающих заданные конфигурации агентов в условиях распределенного коммуникационного запаздывания и переключений сетевой топологии. Предполагалось, что динамика агентов моделируется интеграторами второго порядка. Предложены алгоритмы синтеза управлений, обеспечивающих как равномерное, так и заданное нелинейно-равномерное распределение агентов (равномерное относительно некоторой функции) на отрезке прямой. Доказана робастность построенных протоколов по отношению к переключениям сетевой топологии. 7. Разработаны новые алгоритмы управления мобильными агентами на прямой в случае, когда агенты получают информацию о положениях своих соседей не напрямую, а через вспомогательных агентов. В качестве моделей агентов рассматривались интеграторы первого и второго порядков. В условиях постоянного коммуникационного запаздывания и переключений сетевой топологии решались задачи равномерного и нелинейно-равномерного размещений агентов на отрезке прямой. Доказана робастность предложенных протоколов по отношению к постоянному коммуникационному запаздыванию и переключениям сетевой топологии. 8. Исследовались условия периодической конвергенции (существования асимптотически устойчивого в целом периодического решения) для нелинейных систем с постоянным запаздыванием. Разработан оригинальный подход, который был применен к анализу динамики систем Персидского с запаздыванием. Изучалось воздействие нестационарных периодических внешних возмущений на такие системы. Построены функционалы Ляпунова-Красовского, с помощью которых установлены достаточные условия конвергентности систем. Кроме того, проведен анализ конвергентности обобщенных моделей Лотки-Вольтерра, описывающих взаимодействие видов в биологическом сообществе. 9. Опубликовано 10 статей. Сделано четыре доклада на всероссийских и международных конференциях.

Публикации

Возможность практического использования результатов
Алгоритмы и программные технологии для автоматизации управления сложными динамическими объектами и системами.