Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Предметом исследования являются теоретико-модельные и производные объекты, их классификация в классе алгебраических, геометрнических и упорядоченных объектов. Цель проекта – исследование структурных свойств значимых связей алгебраических, геометрических и упорядоченных базовых и производных объектов в теории моделей и смежных областях, их классификация. Методами исследований являются классические методы теории моделей и топологии, а также авторские методы исследования семейств теорий, их аппроксимаций, алгебр бинарных формул, предгеометрий и геометрий. В процессе работы исследовались теоретико-модельные, алгебраические и геометрические свойства как заданных, так и производных синтаксических и семантических объектов. Все полученные результаты являются новыми, носят фундаментальный, теоретический характер и заключаются в следующем: 1) введено понятие аппроксимирующей формулы; изучены связи аппроксимирующих формул и их спектры для псевдоконечности; найдены полурешетки, решетки и булевы алгебры, связанные с аппроксимирующими формулами; изучены ранговые значения аппроксимирующих формул, рассмотрены связи аппроксимирующих формул с позитивными и негативными формулами, а также формулами, имеющими не более одной перемены кванторов; рассмотрены семейства непротиворечивых формул и охарактеризована их аппроксимируемость; введено понятие тотально аппроксимирующего предложения и охарактеризованы семейства этих предложений в терминах мощностей моделей и мощностей сигнатур; рассмотрены их применения к теориям полугрупп и упорядоченным теориям; http://semr.math.nsc.ru/v21/n1/p0463-0480.pdf 2) описаны алгебры бинарных изолирующих формул для теорий гомоморфных произведений графов, включая симплексы, а также для декартовых произведений графов; 3) дана классификация предгеометрий для композиций кубических, циклических и ациклических теорий с оператором алгебраического замыкания; введены новые вариации понятий размерности, предгеометрии, тривиальности, модулярности, проективности и локально конечности; доказана теорема о наследуемости типов предгеометрий при взятии композиции.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Изучение и описание возможностей обогащений и обеднений структур и их теорий используется для получения структурной информации как в целом, так и для различных естественных алгебраических, геометрических, упорядочен ных теорий и моделей. Истоки такого описания основаны на известных теоретико модельных операциях морлизации, или атомизации, и сколемизации, позволяющих сохранять или естественным образом расширять систему формульно определимых множеств данной структуры и получать уровень элиминации кванторов, при котором формульно определимые множества представлены как булевы комбинации определимых множеств, заданных формулами без кванторов. Операции шелахизации, или неймизации, производят как обогащения, так и расширения структуры, при которых задаются имена или метки для определимых множеств. Вводятся и изучаются некоторые общие принципы и иерархические свойства обогащений и обеднений структур и их теорий. Эти принципы основаны на верхних и нижних конусах, решетках и перестановках. Общий подход применяется для описания этих свойств для классов ω-категоричных теорий и структур, эренфойхтовых теорий и их моделей, сильно минимальных, ω1-категоричных и стабильных теорий и структур. При этом все эти классы замкнуты относительно перестановок. Доказано, что любые слияния сильно минимальных структур также являются сильно минимальными, тогда как свойства ω-категоричности, эренфойхтовости, ω1-категоричности и стабильности могут нарушаться при слияниях. Также показано, что классы категоричных, сильно минимальных и стабильных регулярных структур замкнуты относительно нижних конусов всех их элементов, тогда как классы эренфойхтовых и ω1-категоричных структур этим свойством не обладают, причем некоторые бесконечные цепочки расширений чередуют эренфойхтовость и неэренфойхтовость, а другие бесконечные цепочки чередуют ω1-категоричность и не ω1-категоричность. Алгебры распределений бинарных изолирующих и полуизолирующих формул - это объекты, которые являются производными для данной теории, и они указывают отношения между бинарными формулами теории. Эти алгебры полезны для классификации теорий и определения того, какие алгебры соответствуют каким теориям. В работе рассмотрены алгебры бинарных формул для гомоморфных произведений, а также декартовых произведений, и приведены таблицы Кэли для этих алгебр. На основе построенных таблиц доказаны теоремы, описывающие все алгебры распределений бинарных формул для теорий произведений Кронекера и модулярных произведений правильных многоугольников на ребро и симплекса на правильные многоугольники. Эта концепция является полезным инструментом для понимания отношений между бинарными формулами данной теории. Изучено поведение типов предгеометрии (вырожденный, локально конечный, модулярный) в булевой алгебре B(M) регулярных обогащений и обеднений предикатной структуры M. Установлены критерии наследования свойств предгеометрии при булевых операциях, доказано, что вырожденность и локальная конечность сохраняются при пересечениях. В противоположность этому, мы показываем с помощью контрпримеров, что модулярность, как правило, не сохраняется, как и локальная конечность при объединениях. Найдено достаточное условие линейного роста оператора замыкания, при котором объединение локально конечных структур остаётся локально конечным. Эти результаты раскрывают фундаментальную асимметрию между операциями пересечения и объединения, внося вклад в геометрическую теорию стабильности, описывая границы сохранения прегемометрий в булевых семействах структур.