Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В соответствии с планом на 2024 год проведено исследование мультипликативно идемпотентных полуколец и полумодулей над ними. Полукольцом называется алгебра S с коммутативно-ассоциативной операцией сложения + и ассоциативной операцией умножениях, дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон. Полукольцо с тождеством xx=x (с тождествами xx=x и x+x=x) называется мультипликативно идемпотентным (идемпотентным). Полурешеткой называется идемпотентная коммутативная полугруппа (A, +). Полумодулем (левым) над полукольцом S или просто S-полумодулем называется коммутативная полугруппа (A, +) вместе с отображением SпA ==> A, (s, a)==>sa, обладающим следующими свойствами (для любых s, t из S и a, b из A): (s+t)a=sa+ta; s(a+b)=sa+sb; (st)a=s(ta). Отображение (биекция) f: A==>B S-полумодуля A в S-полумодуль B называется S-гомоморфизмом (S-изомофизмом), если f(x+y)=f(x)+f(y) и f(sx)=sf(x) для любых x, y из A и s из S. Пусть e – центральный мультипликативный идемпотент полукольца S. На любом S-полумодуле A элемент e действует как идемпотентный S-гомоморфизм e: AA по правилу: e(x)=ex для всех x из A. Такой S-гомоморфизм e назовем ретракцией S-полумодуля A; его образ e(A) будет подполумодулем S-полумодуля A, состоящим в точности из неподвижных элементов отображения e. По проекту в 2024 году получены следующие основные результаты. 1. Изучено понятие допустимой полурешетки. Полурешетку (S, +) назовем допустимой, если она допускает структуру идемпотентного полукольца с единицей, в противном случае – недопустимой. Прямое произведение любого непустого семейства полурешеток является допустимой полурешеткой тогда и только тогда, когда все сомножители будут допустимыми полурешетками. Найдены счетные «универсальные» полурешетки с нулем: допустимая полурешетка S и недопустимая полурешетка T, такие, что в S и в T изоморфно вкладываются все конечные полурешетки. 2. Обозначим через K класс всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец. Получены новые результаты о полукольцах из K, удовлетворяющих тождеству x+2xy=x. Доказано, что полукольцо S из K удовлетворяет тождеству x+2xy=x тогда и только тогда, когда соответствующая алгебраическая структура L(S)=(S, v, х), где xvy=x+xy+y, будет дистрибутивной решеткой. Алгебры (S, +, х) и (S, v, х) имеют одни и те же идеалы и одинаковые конгруэнции. Даны аннуляторные характеризации полуколец S из K с тождеством x+2xy=x, для которых дистрибутивная решетка L(S) стоунова, булева, обобщенная стоунова, обобщенная булева, конечная булева. В частности: для любого такого полукольца S равносильны следующие условия: все идеалы в S выделяются прямыми слагаемыми; все идеалы в S аннуляторные; аннуляторы различных идеалов в S различны; L(S) – обобщенная булева решетка с конечными интервалами; решетка L(S) изоморфна решетке всех конечных подмножеств некоторого множества; простой спектр полукольца S является дискретным пространством. 3. Доказано, что любая неодноэлементная дистрибутивная точечная решетка изоморфна некоторой точечной решетке множеств. Напомним, что решеткой множеств называется произвольное непустое множество L множеств, замкнутое относительно конечных теоретико-множественных объединений и пересечений и содержащее пустое множество. Неодноэлементную решетку множеств L назовем точечной, если все одноэлементные подмножества объединения множеств из L принадлежат L. Решетка называется точечной, если каждый ее ненулевой элемент является точной верхней гранью некоторого непустого множества ее атомов. Очевидно, что все точечные решетки множеств будут точечными решетками. 4. В этом пункте рассматриваются полумодули над полукольцами S с нулем 0 и единицей 1. S-полумодули A предполагаются с нулем и удовлетворяющими условиям 1a=a, 0a=0 и s0=0 для всех a из A и s из S. Любой полумодуль над мультипликативно идемпотентным полукольцом S является расширением S-модуля с тождеством x+x=0 посредством идемпотентного S-полумодуля. Конгруэнц-простые полумодули над коммутативным мультипликативно идемпотентным полукольцом двухэлементны. Охарактеризованы конечные полумодули над трехэлементными мультипликативно идемпотентными полукольцами. Существует четыре указанных полукольца: S1={0, e, 1} при e+1=1, S2={0, e, 1} при e+1=e, S3={0, 1, 2} при 3=1, S4={0, 1, 2} при 3=2. Подполурешетку B полурешетки A назовем Si-подходящей, если A допускает структуру Si-полумодуля (i=1, 2) и B=e(A). Все подполурешетки с нулем конечной полурешетки A с нулем являются S1-подходящими тогда и только тогда, когда A – цепь. Как следствие получаем: для любого натурального числа n>2 n-элементная цепь допускает ровно 2n–1 структур S1-полумодуля. Стало быть, существует, с точностью до изоморфизма, 2n–1 S1-полумодулей на n-элементной цепи. Подполурешетка e(A) произвольного S2-полумодуля A однозначно определяет действие элемента e на A, при этом для любого элемента a из A элемент ea является наименьшим элементом среди элементов x из e(A), больших или равных a. Пусть A – конечная решетка с нулем 0 и наибольшим элементом m. Тогда подполурешетка B решетки A будет S2-подходящей в том и только в том случае, когда B является подрешеткой решетки A и содержит элементы 0 и m. Установлено, что с точностью до изоморфизма существует 127 S1-полумодулей, имеющих не более 6 элементов. Показано, что с точностью до изоморфизма существует 158 S2-полумодулей, имеющих не более 6 элементов. Созданная компьютерная программа подтвердила правильность подсчета числа S1-полумодулей и S2-полумодулей небольших порядков. В случае нахождения конечных S2-полумодулей требуется перебор конечных решеток, их подрешеток и автоморфизмов. 5. Начато изучение полумодулей над полукольцом S с единственным элементом e. Полумодули над S назовем e-полумодулями. Заметим, что полумодули A над трехэлементными идемпотентными полукольцами S1 и S2 являются e-полумодулями – полурешетками с условием ex меньше или равно x или, соответственно с условием ex больше или равно (для всех x из A). Очевидно, что на любой цепи (линейно упорядоченном множестве) A структура e-полумодуля однозначно определяется ретракцией e: AA, то есть соответствующим идемпотентным изотонным преобразованием A. Ретракции e любой цепи A имеют следующее строение. Берем произвольное разбиение цепи A на промежутки (выпуклые подмножества) Ai, в каждом промежутке Ai выбираем элемент ai (что возможно в силу аксиомы выбора) и полагаем ex=ai для любого элемента x из своего промежутка Ai. Любое непустое подмножество B произвольной цепи A служит множеством всех неподвижных точек некоторой ретракции e на A, то есть B=e(A), тогда и только тогда, когда цепь A дискретная. Для любого натурального числа n число всех ретракций n-элементной цепи равно числу Фибоначчи F2n с номером 2n. Следовательно, и число всех (попарно неизоморфных) e-полумодулей на n-элементной цепи равно F2n.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В соответствии с планом 2025 года продолжено исследование мультипликативно идемпотентных полуколец, включая дистрибутивные решетки и полурешетки, и полумодулей над ними. Полукольцом называется алгебра (S, +, •)с коммутативно-ассоциативной операцией сложения + и ассоциативной операцией умножения•, дистрибутивной относительно сложения с обеих сторон. Полукольцо с тождеством x•x=x (с тождествами x•x=x и x+x=x) мультипликативно идемпотентным (идемпотентным). Полурешеткой называется идемпотентная коммутативная полугруппа (A, +) или, эквивалентно, верхняя полурешетка (A, ); при этом sup{a, b}=a+b и ab равносильно a+b=b. Полумодулем над тривиальным полукольцом {e} или просто e-полумодулем называется полурешетка (A, +) вместе с отображением a=>ea, обладающим следующими свойствами e(a+b)=ea+eb и (st)a=e()=ea для любых a, b из A. Образ e(A) будет подполумодулем и ретрактом e-полумодуля A/ Полурешетки можно мыслить как идемпотентные моно-полукольца. Поэтому к ним применимы все результаты о коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах. Под идеалом полурешетки A понимается идеал полугруппы (A, +), равносильно, идеал полукольца (A, +, +). Пусть K – класс всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец. Ранее нами было доказано, что полукольцо (S, +, •) из K удовлетворяет тождеству x+2xy=x тогда и только тогда, когда ассоциированная с ним алгебраическая структура L(S)=(S, v, •), где xvy=x+xy+y, является дистрибутивной решеткой. При этом полукольцо S и дистрибутивная решетка L(S) имеют много общих алгебраических свойств. Класс K полуколец с тождеством x+2xy=x является многообразием полуколец, подпрямо неразложимыми полукольцами которого служат в точности конгруэнц-простые полукольца: двухэлементную цепь и двухэлементное поле. По проекту в 2025 году получены следующие основные результаты. 1. Анализируются уравнительные свойства полуколец из класса K. Пусть S – полукольцо с нулем 0 из класса K и a, c – его элементы. Обозначим через Ann a аннулятор элемента a в S и через Eq(a, c) уравнитель элементов a и c, т. е. множество всех таких элементов x из S, что xa=xc. Скажем, что полукольцо S удовлетворяет аннуляторному (уравнительному) условию, если равенство Ann a=Ann b (Eq(a, c)=Eq(b, c) соответственно) влечет a=b для любых элементов a, b, c из S. Двойственным образом определяются коаннуляторное и коуравнительное условия. Для полуколец с нулем (с единицей) из класса K доказана равносильность аннуляторного и уравнительного (коаннуляторного и коуравнительного) условий. 2. Доказано, что для любого неодноэлементного полукольца S с нулем из класса K эквивалентны следующие утверждения: S изоморфно прямому произведению булева кольца и обобщенной булевой решетки; S удовлетворяет аннуляторному условию и является полукольцом с относительными псевдодополнениями; для любого элемента a из S выполняется равенство Ann a+aS=S; простой спектр Spec S является является булевым пространством; L(S) – обобщенная булева решетка; все конгруэнции на полукольце S идеальные, т. е. являются отношениями Берна по идеалам в S. 3. Для произвольного неодноэлементного полукольца S с нулем из класса K установлена эквивалентность следующих условий: аннуляторы различных идеалов полукольца S различны; всякий идеал полукольца S аннуляторный; каждый идеал полукольца S выделяется в S прямым слагаемым; Spec S – дискретное пространство; алгебраическая структура L(S) изоморфна обобщенной булевой решетке всех конечных подмножеств множества Spec S. Пусть далее S – произвольное полукольцо из класса K. Тогда: 4. Равносильны следующие условия: S удовлетворяет тождеству x+2xy=x; S удовлетворяет тождеству 3x=x и его подполукольцо 2S является дистрибутивной решеткой; все идеалы J полукольца S полустрогие, т. е. для любых элементов a, b из S из принадлежности элементов a и a+b идеалу J следует принадлежность элемента b идеалу J. 5. Получены новые полукольцевые характеризации дистрибутивных решеток и булевых колец в классе K. 6. Для полукольца S с тождеством x+2xy=x эквивалентны следующие условия: полукольцо S изоморфно прямой сумме двухэлементных цепей и двухэлементных полей; L(S) – обобщенная булева решетка, все интервалы которой суть конечные множества; решетка L(S) изоморфна прямой сумме двухэлементных цепей; решетка Id S всех идеалов полукольца S булева; решетка Id S изоморфна булеану некоторого множества. 7. Обобщена классическая теорема о полноте булевой решетки: для неодноэлементной обобщенной булевой решетки A доказана эквивалентность следующих условий: A – условно полная сверху решетка; максимальный спектр Max A – экстремально несвязное пространство; все аннуляторные идеалы решетки A являются ее прямыми слагаемыми. 8. Описано строение всех ретракций на произвольной цепи. 9. Даны два новых доказательства известного результата Джона Хоуи о том, что для любого натурального числа n число всех ретракций n-элементной цепи равно числу Фибоначчи F2n с номером 2n. Следовательно, число всех (попарно неизоморфных) e-полумодулей на n-элементной цепи равно F2n. 10. Исследованы некоторые виды ретракций е: убывающие и возрастающие на полурешетках, мультипликативные и линейные на решетках. Имеем: e-множество всякой возрастающей ретракции e на любой решетке является подрешеткой данной решетки; линейные ретракции дистрибутивных решеток мультипликативны. 11. Заложены основы теории идеалов полурешеток. Множество Id A всех идеалов полурешетки A является дистрибутивной решеткой относительно операций объединения и пересечения, определяющей саму полурешетку A (однозначно с точностью до изоморфизма). Каждая полурешетка определяется своим простым спектром. 12. Получено описание ретрактных полурешеток, в которых, по определению, все конгруэнции порождаются ретракциями. 13. Доказано, что абсолютные ретракты в классе полурешеток совпадают с полными решетками. Полурешетка называется абсолютным ретрактом, если она является ретрактом в любой своей надполурешетке. 14. Установлено, что полурешетки с ретрактами суть в точности древесные полурешетки с дискретными цепями. При этом полурешетку называем полурешеткой с ретрактами, если все ее подполурешетки будут ретрактами, и древесной, если верхние конусы любых ее элементов являются цепями. 15. Показано, что граф будет деревом тогда и только тогда, когда он является графом Хассе некоторой конечной полурешетки с ретрактами. Под графом Хассе конечного упорядоченного множества понимается его диаграмма Хассе, рассматриваемая как неориентированный граф. Основные результаты исследований, полученные в 2025 году, опубликованы в пяти статьях и доложены на трех международных математических конференциях (Екатеринбург, Тула, Нальчик). Во всех статьях и тезисах докладов указана поддержка РНФ.