КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 24-21-00119
НазваниеМетоды высших категорий в теории деформаций
Руководитель Шойхет Борис Бамович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук , г Санкт-Петербург
Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра
Ключевые слова Теория деформаций алгебраических структур, гомотопическая алгебра, высшие структуры на деформационных комплексах, некоммутативная геометрия
Код ГРНТИ27.17.31
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Теория деформаций занимает одно из центральных мест в таких разделах современной математике как алгебраическая геометрия, дифференциальная геометрия, алгебра, некоммутативная геометрия. С каждым объектом можно ассоциировать объекты того же типа, параметризованные схемой--спектром коммутативной алгебры. Таким образом, возникает функтор на коммутативных алгебрах со значениями во множествах, и теория деформаций занимается вопросом представимости (в различных смыслах) этого функтора. Спектр представляющего объекта (если таковой существует) имеет геометрический смысл пространства модулей.
Обычно такой функтор оказывается не (про-)представим, даже в контексте формальной теории деформаций. Современное развитие предмета началось с идеи Делиня, Дринфельда, и Фейгина рассматривать функторы на дифференциальных градуированных (дг) артиновых (ко)алгебрах. В этом подходе, с каждой дг алгеброй Ли ассоциирована некоторая задача деформации, то есть функтор на дг артиновых алгебрах. Обратно, в некотором смысле в характеристике 0 любая задача деформации возникает из подходящей дг алгебры Ли.
В своей знаменитой работе 1998 года Концевич сформулировал и доказал гипотезу формальности. Грубо говоря, эта теорема утверждает что две теории деформаций гладкой конечно-порожденной коммутативной алгебры над полем комплексных чисел, как ассоциативной алгебры, и как Пуассоновой алгебры, эквивалентны. Математически это выражается в том что дг алгебра Ли, связанная с деформациями этой ассоциативной алгебры, формальна, то есть может быть соединена со своими когомологиями зикзагом отображений, каждое из которых--квазиизоморфизм дг алгебр Ли. Идеи доказательства связаны с моделью AKSZ топологической теории поля на двумерном диске с границей.
Вскоре появилось второе доказательство теоремы формальности, принадлежащее Тамаркину. Это доказательство явилось концептуальным прорывом, вызвавшим к жизни много последующих работ и обобщений. На когомологическом комплексе Хохшильда имеется "высшая" структура гомотопической 2-алгебры, и идея была в том, чтобы доказывать ее формальность (дг алгебра Ли является лишь частью этой большей структуры). Техническая трудность при этом подходе сводится к доказательству так называемой гипотезы Делиня (для классического случая n=1 ныне теоремы, доказанной независимо Концевичем-Сойбельманом, МакКлюри-Смитом, Тамаркиным).
С тех пор методы теории операд и высших категорий прочно вошли в инструменты теории деформаций. Неформальная идея заключается в том что, если деформационная дг алгебра Ли расширяется до некоторой высшей структуры, например дг n-алгебры, то надо рассматривать всю эту структуру, делающую деформационный комплекс более жестким. Это дает возможность доказать соответствующую формальность простым применением теории препятствий. Возникает вопрос: как наделить деформационный комплекс соответствующей высшей структурой. Этот вопрос приводит к обобщению гипотезы Делиня для абелевых n-категорий.
В 2013 Шойхет сформулировал общую гипотезу Делиня для n-моноидальных абелевых категорий, и предложил метод ее доказательства, использующий введенное им же обобщение дг фактора Дринфельда. В общем случае, обобщенная гипотеза Делиня утверждает что производные эндоморфизмы единичного объекта n-моноидальной абелевой категории (удовлетворяющей некоторым условиям) является гомотопической (n+1)-алгебры.
Одна из наших целей в этом проекте--это найти доказательство общей обобщенной гипотезы Делиня приспособленное к приложениям в конкретных задачах.
Мы развиваем и применяем различные подходы в теории деформаций, так или иначе связанные с n-алгебрами и n-категориями. Это уже упомянутое обобщение гипотезы Делиня, деформации с некоммутативной базой, изначально введенные Тамаркиным и развитые Лури, и высшие операды Батанина.
Общей целью проекта является развитие методов высших операд и высших категорий и их применение к построению высших структур на деформационных дг алгебрах Ли, и к доказательству их формальности.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Проект посвящен развитию идей и методов теории высших категорий в их применении к теории деформаций. Эта область находится на стыке таких областей чистой математики как алгебра, топология, теория категорий, теория гомотопий, и обогащается современными методами этих областей. Конкретное направление исследований, которому посвящен проект, это различные методы снабжения деформационных комплексов "высшими структурами". Такие структуры, изначально возникшие в топологии для описания и распознавания итерированных пространств петель, были перенесены в алгебру. Наличие высших структур на деформационных комплексах имеет практическое применение--такое наличие делает деформационные комплексы более жесткими, что приводит к явлениям формальности этих комплексов. В этой ситуации вся информация о деформациях может быть закодирована деформационными когомологиями и структурой алгебры Ли на них. Примером такого применения является доказательство Д. Тамаркиным
усиленной версии формальности Концевича для коцепей Хохшильда. Это в свою очередь имеет важные следствия в деформационном квантовании, понятии мотивированном развитием квантовой механики.
Эти высшие структуры задаются, на математическом языке, действием на комплексе определенных операд, называемых операдами маленьких дисков в размерности n и обозначаемых E_n. Операды E_n тесно связаны с так называемыми стягиваемыми n-операдами Батанина, а последние одновременно описывают, в различных проекциях, и топологические и алгебраические структуры, и высшие категории.
Одним из наиболее ярких результатов в этом направлении, полученных нами за 2024 год, является (совместное с М. Батаниным) доказательство более строгой версии так называемой гипотезы Свисс Чиз М.Концевича, сформулированной в 1998 году и с тех пор лишь частично доказанной и только в топологическом случае. Сама гипотеза задает деформационные комплексы некоторым универсальным свойством, что имеет много преимуществ перед явными и конструктивными определениями. Мы доказали более строгую версию в случае комплексов, в котором она была изначально сформулирована. Эта гипотеза была сформулирована Концевичем как математическое выражение существования некоторой универсальной модели топологической квантовой теории поля на диске, задающей "универсальное деформационное квантование".
Наше доказательство основано на методах теории высших категорий, а именно на понятии скрученного тензорного произведения дг категорий, введенного и изученного Шойхетом в последнее время. Именно наличие сопряженности в определении скрученного тензорного произведения, и его свойства слабой ассоциативности, приводят к версии гипотезы Свисс Чиз, верном и без локализации в гомотопическую категорию (что предполагалось в изначальной формулировке). Наше доказательство было опубликовано в самое последнее время, пока в виде архивного препринта
https://arxiv.org/abs/2412.03239
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Глубокие взаимосвязи между развитием теоретической физики и фундаментальной математики на протяжении десятилетий являлись стимулом развития для обеих наук и приводили с новым точкам зрения и прорывным открытиям. Достаточно вспомнить развитие квантовой механики и квантовой теории поля, и их взаимосвязи с современной геометрией, функциональным анализом, теорией суперструн, алгебраической и некоммутативной геометрией. Одним из относительно недавних открытий на пересечении обеих наук явилась теорема формальности Максима Концевича, давшая явные формулы для задачи деформационного квантования пуассоновой структуры, задачи мотивированной квантовой механикой. Доказательство данное Концевичем использовало модель топологической теории поля на диске, и использовало пертурбативное разложение корреляционных функций в этой модели. Ассоциативность полученного таким образом умножения была связана с топологической инвариантностью исходной модели.
Вскоре Д. Тамаркин нашел новое доказательство теоремы формальности, основанное на совершенно других идеях--идеях теории операд и высших структур, гипотезе Делиня для коцепей Хохшильда, и лемме жесткости Тамаркина. Таким образом, это доказательство лежит в области операд и высших категорий. Вся трансцендентность явных формул квантования Концевича в этом подходе содержится в явном решении гипотезы Делиня для коцепей Хохшильда.
С другой стороны, существуют фундаментальные задачи в высших размерностях, в которых явления типа формальности имеют место, и связанные с другими активно изучаемыми проблемами. Например, в размерности 3 это квантование биалгебр Ли Этингофа-Каждана. Чрезвычайно интересно найти подходы к этой и другим многомерным задачам основанные на идеях операд и высших структур--в частности, на многомерных обобщениях гипотезы Делиня. Это направление исследований лежит пересечении высшей теории категорий и многомерной топологической теории поля, и обогащают обе области.
Этим задачам и посвящен нынешний проект. Полученные нами результаты позволяют, в частности, явно доказать трехмерную гипотезу Делиня для двумерных коцепей, связанных с деформациями линейной моноидальной категории.