КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 24-21-00128
НазваниеСпектральная теория дифференциальных операторов и различные представления значений дзета-функции Римана и бета-функции Дирихле в натуральных точках
Руководитель Сафонова Татьяна Анатольевна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова" , Архангельская обл
Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
Ключевые слова Функция Грина, дзета-функция Римана, бета-функция Дирихле, постоянные Каталана и Апери
Код ГРНТИ27.39.21, 27.23.25
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на применение метода спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов к таким вопросам анализа, как получение новых представлений для значений дзета-функции Римана, бета-функции Дирихле, родственных с ними функций и их некоторых линейных комбинаций в натуральных точках в виде пределов некоторых числовых последовательностей, в т.ч. интегралов, быстро сходящихся числовых рядов и в виде линейных комбинации обобщённых гипергеометрических рядов. При этом особое внимание будет уделено постоянным Каталана и Апери.
Предложенный метод, позволяет единообразно доказать как формулы, ставшие уже классическими, так и формулы, полученные сравнительно недавно современными математиками. Но главное, что метод позволяет получить многочисленные новые, неизвестные ранее формулы. Возможно, что некоторые из них для значений дзета-функции Римана в нечётных точках и бета-функции Дирихле в чётных точках, окажутся полезными для исследования алгебраических свойств этих чисел.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В отчётном периоде участниками проекта подготовлено 2 статьи и сдано в печать в один из центральных математических журналов - «Математические заметки» (индексируется Web of Science и Scopus) и 4 тезиса докладов международных научных конференций. Участники проекта приняли участие в работе 3 международных конференциях и 1 научном семинаре, на которых сделали 5 докладов.
Исполнитель по проекту Бармак Б.Д. защитила выпускную квалификационную работу, успешно окончила механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова и поступила в аспирантуру механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова по специальности 1.1.1. – Вещественный, комплексный и функциональный анализ.
В отчётном периоде продолжены исследования по применению метода спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов к некоторым вопросам математического анализа. В частности, были получены следующие результаты:
• Для некоторых определённых линейных комбинаций значений бета-функции Дирихле в чётных точках и родственных с ними чисел найдены новые представления в виде рядов, общий член которых содержит логарифмы. В частности, из них найдены новые такие представления для постоянных Каталана и Апери.
• Установлены новые взаимосвязи между постоянными Каталана и Апери.
• Как частный случай получено новое доказательство одного тождества Рамануджана для представления постоянной Каталана в виде числового ряда, общий член которого содержит логарифм.
• Получены новые представления чисел $\exp(2G/{\pi})$, $\exp(-7\zeta(3)/(2\pi^2))$ и подобных им в виде бесконечных произведений.
• Для постоянных Каталана, Апери и их некоторых линейных комбинаций найдены представления в виде достаточно быстро сходящихся рядов, общий член которых содержит $\zeta(2n)$.
• Для некоторых определённых линейных комбинаций значений бета-функции Дирихле в чётных точках и, в частности, для постоянной Каталана, найдены новые представления в виде пределов некоторых числовых последовательностей, содержащих тригонометрические функции.
Кроме того, для суммы условно сходящегося ряда, полученного из гармонического ряда изменением в нём знаков так, чтобы за p положительными членами следует p отрицательных членов (для некоторого натурального р), найдена явная формула в терминах элементарных функций. Приведены некоторые обобщения полученных результатов.
Публикации
1. Сафонова Т.А. About one Representations of the Values of the Dirichlet Beta Function at Even Points Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2024, Сборник материалов международной конференции “XXXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум Н.Д. Копачевского по спектральным и эволюционным задачам”. – Симферополь : ИТ «АРИАЛ», 2024. C. 19-21. (год публикации - 2024)
2. Сафонова Т.А. О новых представлениях значений дзета-функции Римана в нечетных точках Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа»-2024. Том 1., Материалы международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа» (г. Уфа, 2 октября – 5 октября 2024 г.). В 2 томах. Том 1 / отв. редактор З.Ю. Фазуллин. - Уфа: Аэтерна, 2024. C.46-48. (год публикации - 2024)
3. Сафонова Т.А., Бармак Б.Д. О новых представлениях бета-функции Дирихле в натуральных точках Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В. П. Маслова, Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна – 2024: материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В. П. Маслова (26–30 января 2024 г.) / Воронежский государственный университет; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2024. С. 233-235. (год публикации - 2024)
4.
Сафонова Т.А.
О новых представлениях значений бета-функции Дирихле в чётных точках
Математические заметки, Том 115, выпуск 5, страницы 800–804 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14264
5. Сафонова Т.А. О старых и новых формулах для постоянных Каталана и Апери Математические заметки, Том 117, вып. 3, 2025 г. (год публикации - 2025)