Графы делителей нуля конечных колец

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-21-00155

НазваниеГрафы делителей нуля конечных колец

Руководитель Монастырева Анна Сергеевна, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Алтайский государственный университет" , Алтайский край

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра

Ключевые слова ассоциативное кольцо, конечное кольцо, делитель нуля, граф делителей нуля

Код ГРНТИ27.17.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Графом делителей нуля ассоциативного кольца R называется граф, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца (односторонние и двусторонние), причем две различные вершины x,y соединяются ребром тогда и только тогда, когда xy=0 или yx=0. Пусть R - кольцо и для любых x, y ∈ R: x ∼ y ⇔ Ann(x) = Ann(y). Сжатый граф делителей нуля кольца R это граф с петлями, вершинами которого являются классы [x] и две вершины [x] и [y] соединяются ребром тогда и только тогда, когда xy=0 или yx=0. Понятие графа делителей нуля кольца устанавливает связь между теорией колец и теорией графов. Идея построения графа делителей нуля впервые была использована И. Беком в 1986 году для коммутативного кольца. В качестве вершин графа делителей нуля коммутативного кольца И. Бек рассматривал все элементы кольца, причем две различные вершины x и y соединял ребром тогда и только тогда, когда xy=0. Работы И. Бека посвящены раскраски графов делителей нуля коммутативных колец. В 1999 году Д. Андерсон и Ф. Ливингстон несколько изменили способ построения графа делителей нуля. Вершинами графа делителей нуля коммутативного кольца они стали считать все ненулевые делители нуля. Кроме того, это понятие в скором времени было распространено и на некоммутативный случай. А несколько лет назад понятие графа делителей нуля было распространено и на неассоциативный случай. Геометрическое изображение графа делителей нуля представляется довольно сложным даже для колец небольших порядков. Возникла необходимость разбить множество вершин графа делителей на классы эквивалентности, причем так, чтобы не нарушалось представление о строении графа делителей нуля в целом. В 2010 Н. Блумфилд и С. Викхам предложили способ решения этой проблемы для коммутативных колец. Позже в работе 2020 этот подход был распространен и для некоммутативного случая (Е.В. Журавлев, А.С. Монастырева). Свойства графов делителе нуля кольца интенсивно изучаются, каждый год публикуется большой список работ, посвященных этой тематике. Но в этой области еще много открытых вопросов.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Для любого ассоциативного кольца R и произвольного элемента a из R, обозначим l(a)={x in R;xa =0}, r(a)={x in R;ax =0}. D(R) обозначает множество всех (односторонних и двусторонних) делителей нуля кольца R. Также D(R)*=D(R)-{0}. Для x,y из D(R), мы говорим, что x~y тогда и только тогда, когда объединение r(x) и l(x) is совпадает с объединением r(y) и l(y). Ясно, что ~ является отношением эквивалентности. Обозначим через [x] класс эквивалентности, порожденный элементом x из D(R). Будем полагать, что Г~(R) — граф, вершинами которого являются элементы множества {[x]; x in D(R)*} и две вершины [x] и [y] (не обязательно различные) соединены ребром (петлей) тогда и только тогда, когда xy =0 или yx = 0. Будем называть Г~(R) сжатым графом делителей нуля кольца R. Предложение. Пусть R — ассоциативное кольцо (может быть, R бесконечно) и x из D(R)*. Если x^2=0, то yz=0 или zy=0 для всех y,z in [x]. Если элемент x^2 ненулевой, то yz не равен нулю и zy не равен нулю для всех y,z из [x]. Таким образом, все вершины графа Г~(R) делятся на два типа. Если x^2 = 0, [x] является вершиной с петлей; если x^2 не равен нулю, то вершина [x] не имеет петли. Вершина [a] графа Г~(R) называется сильной, если любая другая вершина графа Г~(R) смежна с [a]. Были получены следующие результаты: 1. Получено описание конечных ассоциативных колец, сжатые графы делителей нуля которых являются ациклическими. 2. Доказано, что если в сжатом графе делителей нуля конечного ассоциативного кольца существует единственная сильная вершина, то эта вершина имеет петлю. 3. Описаны свойства конечных ассоциативных колец, у которых в сжатом графе делителей нуля ровно две вершины без петель и порядок графа больше двух, причем любая вершина с петлей смежна хотя бы с одной из вершин без петли. 4. Построен пример неассоциативного кольца, граф делителей нуля которого имеет сколь угодно много компонент связности. 5. Описаны свойства конечных ассоциативных колец, сжатые графы делителей нуля имеют хотя бы одну сильную вершину без петли. 6. Описаны сжатые графы делителей нуля некоторых матричных колец. 7. Получена классификация конечных локальных колец R с условиями R/J=F- Z(R), dim_F J/J^2=2, dim_F J^2=3, J^3=0, где J - радикал Джекобсона кольца R, F=GF(p^r) - конечное поле, p - произвольное простое число 8. Описаны конечные локальные кольца характеристики p^2.

Публикации

1. Монастырева А.С. Конечные кольца с ациклическими сжатыми графами делителей нуля Сибирские электронные математические известия, 21(1), С. 405-416. Эл № 77 - 8705 от 24.03.2004 (год публикации - 2024)
10.33048/semi.2024.21.030

2. Монастырева А.С. Граф делителей нуля конечного кольца Model theory and algebra, Novosibirsk: NSTU Publisher, 2024. – С. 55-61 (год публикации - 2024)

3. Монастырева А.С. On properties of compressed zero-divisor graphs Материалы международной конференции “Алгебра и математическая логика: теория и приложения”, Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2024. - С. 127. (год публикации - 2024)

4. Монастырева А.С. Strong vertices of a compressed zero-divisor graph Тезисы докладов международной конференции "Мальцевские чтения", Новосибирск, Математический центр в Академгородке, 2024. С. 148. (год публикации - 2024)

5. Журавлев Е.В., Филина О.А. О классификации конечных колец характеристики p^2 Тезисы докладов международной конференции "Мальцевские чтения", Новосибирск, Математический центр в Академгородке, 2024. - С. 205-206. (год публикации - 2024)

6. Е.В. Журавлев, О.А. Филина О классификации конечных колец Материалы конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения", Казань, Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2024. - С. 109-110. (год публикации - 2024)

7. Журавлев Е.В., Филина О.А. О классификации конечных локальных колец МАК: «Математики – Алтайскому краю», Сборник трудов всероссийской конференции по математике с международным участием. – Барнаул, 2024. - С. 20-23. (год публикации - 2024)