Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Естественная для теории групп задача поиска подгрупп данной группы, принадлежащих выделенному классу X, восходит к одной из центральных задач знаменитого тракта Камиля Жордана - поиску разрешимых подгрупп симметрической группы, которая, в свою очередь, восходит к классическому результату Эвариста Галуа о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. В столь широкой постановке, не накладывая никаких ограничений на класс X, указать метод перечисления всех X-подгрупп произвольной группы, т.е. подгрупп, принадлежащих X, вряд ли возможно. В качестве первоначального ограничения, следуя Хельмуту Виланду, будем рассматривать классы с сильными свойствами замкнутости. Далее всюду предполагается, что X - фиксированный полный в смысле Виланда, т.е. непустой и, подобно классу разрешимых групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и расширений, класс конечных групп. Для таких классов задача поиска X-подгрупп группы G может быть заменена более обозримой задачей поиска максимальных (по включению) X-подгрупп, которые естественно искать с точностью до сопряженности. Для краткости мы будем называть ее X-проблемой для группы G: указать ровно по одному представителю в каждом классе сопряженности максимальных X-подгрупп. В ходе реализации первого этапа проекта «Редукция в задаче поиска относительно максимальных подгрупп» было модифицировано введенное Виландом понятие субмаксимальной X-подгруппы. Оно обобщает понятие максимальной X-подгруппы и является ключевым в рамках выдвинутой в 1979 г. на известной конференции по конечным группам в г. Санта-Круз (Калифорния, США) программы. Цель программы - построить для X-подгрупп в неразрешимых группах аналог теории Ф.Холла для п-подгрупп в разрешимых группах. Необходимость модификации диктуется обнаруженными в ряде совместных работ Заварницина и Ревина довольно курьезными случаями иррегулярного поведения субмаксимальных X-подгрупп. Что касается возможности упомянутой модификации, то она обусловлена успешной реализацией «малой программы Виланда» 1963-64 гг. по классификации всех случаев, когда X-проблема для группы полностью сводится к аналогичной проблеме для ее собственной факторгруппы. Эта «малая программа» выполнена в цикле работ руководителя проекта Д.О.Ревина совместных с В.Го и Е.П.Вдовиным 2018-2022 годов. Реализация «малой программы», показывает, как именно можно модифицировать понятие субмаксимальной X-подгруппы, чтобы исключить возможность иррегулярного поведения. Отметим, что на возможность дальнейших модификаций понятия субмаксимальной X-подгруппы указывал в своем докладе и сам Виланд. Предложенная в рамках проекта модификация получила название виландовых X-подгрупп. Подготовлена и принята к печати в журнал «Алгебра и логика» научная статья «Виландовы X-подгруппы», в которой мотивирована необходимость модификации, введено понятие виландовой X-подгруппы, и установлены свойства виландовых X-подгрупп, отсутствующие у субмаксимальных X-подгрупп и гарантирующие «регулярность поведения». Доказано, что всякая субмаксимальная X-подгруппа ялвяется виландовой и приведен пример виландовой X-подгруппы, не являющейся субмаксимальной. На основе проделанной работы и с использованием понятия виландовой X-подгруппы начата разработка модификации программы Виланда. По мнению исполнителей проекта эта программа должна включать в себя 1) установление свойств виландовых подгрупп, имеющихся у субмаксимальных X-подгрупп: инъекторное свойство, аналог теоремы Виланда-Хартли, однозначная определимость по проекциям на факторы субнормального ряда и др., 2) изучение поведения виландовых X-пдогрупп по отношению к важным надгруппам, среди которых выделяются: произведения с нормальными подгруппами, нормализаторы пересечений с нормальными подгруппами и др., 3) изучение свойств максимальных X-подгрупп, отсутствующих у субмаксимальных, например обратного проекторного свойства, 4) разработка методов поиска виландовых X-подгрупп. Реализация данной программы позволит существенно продвинуться в решении X-проблемы, поскольку максимальные и субмаксимальные X-подгруппы являются частными случаями виландовых X-погдрупп. По замыслу коллектива исполнителей проекта модифицированная программа должна представлять собой перечень открытых вопросов, касающихся виландовых X-подгрупп, опирающихся на свойства (а в каких-то случаях отрицательные примеры), которые удастся установить (или построить). Именно разработку данной программы участники проекта рассматривают в качестве приоритетной цели и видят ее ее главным итогом проекта. Наряду с задачей модификации программы Виланда рассматрена одна из открытых проблем из оригинальной программы 1979 года: для данного множества простых чисел п найти все простые конечные неабелевы группы, у которых в каждой подгруппе все максимальные п-подгруппы сопряжены. Классификация конечных простых групп разбивает данную задачу на случаи спорадических, знакопеременных групп и групп лиева типа. К настоящему времени проблема решена для первых двух случаев. До настоящего времени не было ни одной серии групп лиева типа, для которой проблема Виланда была бы решена. В 2024 в рамках проекта получено решение проблемы для групп PSL(2,q).