Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В 2024 году Дудкин Ф.А. подготовил обзор статей о вычислении BNS инвариантов конечно порожденных групп и выделил те из них, которые могут быть полезны для изучения BNS инвариантов GBS групп. Оказалось, что результаты К. Кейшена и Ж. Левитта о BNS инвариантах фундаментальных групп конечных редуцированных графов групп, Ю.-Ч. Чанга и Л. Руффони о BNS инвариантах групп Бествины-Брэди и В. Сгобби и П. Вонга о BNS инвариантах обобщенных разрешимых групп Баумслага—Солитера содержат идеи и результаты, которые могут быть использован для описания BNS инвариантов GBS групп. Н.С. Романовский занимается исследованием теоретико-модельных аспектов жёстких разрешимых групп. Ранее им совместно с А.Г.Мясниковым была развита алгебраическая геометрия над такими группами. Затем для класса делимых жёстких групп фиксированной ступени разрешимости была найдена аксиоматика, доказана полнота и разрешимость соответствующей теории, омега-стабильность, описаны насыщенные модели, определимые подгруппы. Установлено, что элементарные подмодели делимой m-жёсткой группы – это в точности независимые делимые подгруппы ступени разрешимости m, откуда выводится, что пересечение любого множества элементарных подмоделей само является элементарной подмоделью, если его ступень разрешимости равна m. Был также вычислен ранг Морли делимой жёсткой группы. В настоящем проекте изучается гипотеза, сформулированная Н.С.Романовским, о том, как вычислять ранг Морли произвольного неприводимого по Морли определимого множества над делимой жёсткой группой исходя из общей точки. Эту гипотезу в 2-ступенно разрешимом случае мы планируем доказать в следующем году. А в 2024 году исследовался другой вопрос, хотя и связанный с рассматриваемой гипотезой, но также имеющий самостоятельное значение: как устроено алгебраическое замыкание (в теоретико-модельном смысле) подмножества в делимой жёсткой группе? Напомним, что элемент g группы G называется алгебраическим над подмножеством A, если найдётся формула с параметрами из A от одной несвязанной переменной, множество решений которой конечно и содержит g. Множество всех алгебраических над A элементов называется алгебраическим замыканием A. В рамках проекта доказано, что алгебраическое замыкание подмножества A делимой m-жёсткой группы G в случае, когда ступень разрешимости подгруппы, порождённой A, равна m, совпадает с элементарным замыканием A в G. В 2021 году исполнителями получено описание группы внешних автоморфизмов группы Герстена. В рамках проекта Шапорина Е.А. в 2024 году изучает возможность распространения методов этой работы на бесконечный класс циклических расширений свободной группы ранга три G_k = \langle a, b, c, t | a^t = a, b^t = ba^k,c^t = c \rangle. Исполнителем проекта найдены порождающие группы $Out(G_k)$ и получено описание структуры этой группы. В 2024 году Усиков A. В. подготовил обзор имеющихся результатов, которые впоследствии должны помочь в изучении централизаторной размерности цилиндрических групп. Техника доказательств основных утверждений в работе Dudkin F. A. The centralizer dimension of generalized Baumslag-Solitar groups //Algebra and Logic. 2016. Т. 55. С. 403-407. будет полезна при решении поставленной задачи.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2025 году Дудкин Ф.А. нашел критерий наличия нетривиального центра GBS_n групп, на основе наличия такого критерия было предложено удобное копредставление для GBS_n групп с нетривиальным центром и доказано, что всякая GBS_n группа G_n содержит естественную GBS подгруппу G. Основной результат работы Дудкина Ф.А. в 2025 году заключается в доказательстве того, что если две GBS_n группы G_n и H_n с нетривиальным центром изоморфны и n > 2, то и их соответствующие GBS группы G и H тоже изоморфны. В 2025 году Романовский Н.С. доказал следующую теорему. Пусть в аффинном пространстве относительно данной системы специальных переменных X над счётной насыщенной делимой m-жёсткой группой G рассматривается неприводимое по Морли определимое подмножество L. Предполагаем, что группа G элементарно вложена в монстр-модель H теории делимых m-жёстких групп. Для множества L возьмём общую точку, она является некоторым набором значений переменных X=C в H. Обозначим через F – элементарное замыкание в группе H множества G \cup C. В этой ситуации можно говорить о коразмерности F над G и в данном случае эта коразмерность представляет из себя набор (d_1, … ,d_m) неотрицательных целых чисел. Тогда ранг Морли множества L равен линейной комбинации степеней омега, от m-1 до 0 с коэффициентами d_m, … ,d_1 соответственно. В 2025 году Шапорина Е.А. подготовила обзор статей, которые охватывают широкий спектр результатов, касающихся циклических расширений и групп их автоморфизмов. В 2025 году Усиков А.В. подготовил план работы по изучению централизаторной размерности трубчатых групп. Этот план включает: изучение длин приведённых слов гиперболических элементов трубчатых групп, получение критерия перестановочности элементов в терминах действия трубчатой группы на дереве Басса–Серра, описание централизаторов трубчатых групп с точностью до сопряжения, построение алгоритма, вычисляющего централизаторную размерность трубчатых групп.