Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В 2024 году выполнены следующие работы: 1. о предельных множествах простейших непрерывных косых произведений (то есть косых произведений с ограниченным множеством (наименьших) периодов периодических точек) на многомерных клетках (url-адрес: https://andjournal.sgu.ru/ru/articles/o-predelnyh-mnozhestvah-prosteyshih-kosyh-proizvedeniy-na-mnogomernyh-kletkah); 2. о цепно-рекуррентном C0- Омега-взрыве в C1-гладких простейших косых произведениях на многомерных клетках; 3. о C1-гладких Омега-устойчивых косых произведениях на 3D-торах (относительно гомеоморфизмов класса косых произведений) (url-адрес:https://link.springer.com/article/10.1134/S1560354724520010); 4. о взаимосвязях между топологической энтропией, существованием бесконечных минимальных множеств с различными динамическими свойствами отображений на одномерных разветвленных континуумах и топологической структурой самих континуумов. В рамках работы 1 доказано, что неблуждающее множество простейшего косого произведения на многомерной клетке совпадает с множеством периодических точек. Здесь предложен новый метод описания неблуждающего множества, основанный на использовании понятия C0- Омега-взрыва в непрерывных отображениях отрезка и в семействе отображений в слоях рассматриваемого косого произведения. Результаты, полученные при описании неблуждающего множества, применены к изучению омега-предельных множеств траекторий точек относительно непрерывных простейших косых произведений. С их использованием дано полное описание топологической структуры омега-предельных множеств простейших косых произведений на многомерных клетках. Найдены достаточные условия, при выполнении которых омега-предельным множеством траектории является периодическая орбита, а также необходимые условия существования одномерных омега-предельных множеств. Построен пример непрерывного косого произведения на клетке произвольной конечной размерности n > 2, имеющего только лишь неподвижные точки (не содержащего периодических точек периодов, больших 1), все траектории которого имеют одномерное омега-предельное множество, представляющее собой единичный отрезок, лежащий на n-ной координатной оси. В рамках работы 2 доказано свойство проекции цепно-рекуррентного множества произвольного непрерывного косого произведения на многомерной клетке. Это свойство множества цепно-рекуррентных точек играет ключевую роль в доказательстве критерия C0- омега взрыва в C1-гладких простейших косых произведениях на компактных клетках произвольной конечной размерности. Такого рода отображение допускает C0- Омега-взрыв в том и только том случае, если множество его цепно-рекуррентных точек не совпадает с множеством периодических точек. Указанный критерий C0- Омега-взрыва позволил установить механизм этого динамического эффекта. Оказалось, что C0- Омега-взрыв в C1-гладких косых произведениях с замкнутым множеством периодических точек связан с "превращением" некоторой цепно рекуррентной траектории рассматриваемого отображения F, удаленной от множества периодических точек F на некоторое положительное расстояние d, в периодическую орбиту сколь угодно близкого (в C0-норме) к F гладкого (класса C1) косого произведения G, причем эта периодическая орбита G лежит в дополнении замыкания d-окрестности множества периодических точек F. Построены примеры простейших C1-гладких косых произведений на клетках произвольной конечной размерности, допускающих C0- Омега-взрыв. Доказаны достаточные условия изучаемого Омега-взрыва в терминах топологических свойств множества периодических точек. В рамках выполнения работы 3 созданы новые методы, ориентированные на изучение C1-гладких косых произведений одномерных отображений на простейших многомерных многообразиях (в частности, на 3D-торе) и обобщающие методы, примененные для изучения косых произведений на простейших двумерных многообразиях. Важная роль в проводимых исследованиях принадлежит маршрутной Омега-функции, маршрутным вспомогательным, подходящим и аппроксимирующим функциям. Ключевую роль в доказательстве критерия Омега-устойчивости в C1-норме C1-гладкого косого произведения отображений интервала играет и понятие устойчивого в в целом в C1-норме семейства отображений в слоях C1-гладкого косого произведения на 3D-торе с Омега-устойчивым в C1-норме факторотображением на 2D-торе. С использованием этого понятия доказано, что C1-гладкое косое произведение на 3D-торе Омега-устойчиво в C1-норме в том и только том случае, если его факторотображение Омега-устойчиво в пространстве C1-гладких косых произведений на 2D-торе, а семейство отображений в слоях устойчиво в целом в пространстве C1-гладких косых произведений на 3D-торе. С использованием сформулированного критерия дано описание динамики Омега-устойчивых в C1-норме косых произведений на 3D-торе. Доказано, что рассматриваемые здесь косые произведения не образуют всюду плотного подмножества в пространстве C1-гладких косых произведений на 3D-торе с Омега-устойчивым факторотображением. В рамках работы 4 доказано, что положительность топологической энтропии отображения f на дендрите X со счетным множеством концевых точек эквивалентна существованию такого бесконечного минимального множества M в X, что сужение отображения f на M имеет положительную топологическую энтропию. Это утверждение играет ключевую роль при доказательстве необходимых условий положительности топологической энтропии непрерывных отображений на дендритах со счетным числом концевых точек. Установлено, что если дендрит X имеет счетное множество концевых точек, то из положительности топологической энтропии заданного на нем отображения f следует существование подковы у некоторой итерации f^n и существование гомоклинических точек. При получении необходимых условий существования гомоклинических точек у непрерывных отображений одномерных разветвленных континуумов эффективным оказался метод описания локальной структуры данного континуума. В результате получены условия на локальную структуру дендроидов и дендритов, при которых из существования гомоклинической точки отображения f следует существование подковы у некоторой итерации f^n и, следовательно, положительность топологической энтропии. Кроме этого, установлены свойства неустойчивого многообразия периодической точки и свойства гомоклинических точек, которые также зависят от локальной структуры дендроида и дендрита.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2025 году выполнены следующие работы: 1. об асимптотическом поведении траекторий косых произведений с замкнутым множеством периодических точек (url-адрес: https://mathtcs.ru/index#!/tab/1166036191-3); 2. о цепно-рекуррентном C0- Омега-взрыве в C1-гладких простейших косых произведениях на многомерных клетках (url-адрес: https://link.springer.com/article/10.1134/S156035472501006X); 3. разложение некоторого содержательного подмножества в пространстве С1-гладких косых произведений на многомерном торе в конечное объединение попарно не пересекающихся подмножеств отображений (url-адрес: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-031-82003-8_7); 4. о выделении подмножества в пространстве C1-гладких косых произведений на 3-мерном торе, в котором всюду плотны Омега-устойчивые косые произведения отображений окружности (url-адрес: http://www.shilnikov.unn.ru ); 5. о топологической сопряженности квадратичных отображений в неограниченных областях (url-адрес:https://mathtcs.ru/index#!/tab/1166036191-4 ) 6. о взаимосвязи топологической энтропии со свойствами бесконечных минимальных множеств непрерывных отображений на одномерных разветвленных континуумах (url-адрес://https://matatecs.elpub.ru/jour/article/view/89). В рамках работы 1 доказано, что неблуждающее множество непрерывного косого произведения на многомерной клетке, имеющего замкнутое множество периодических точек, независимо от арифметических свойств множества периодов периодических точек, совпадает с множеством периодических точек. Получила развитие новая техника изучения неблуждающего множества, основанная не только на использовании понятия C0- Омега-взрыва в семействе отображений в слоях рассматриваемого косого произведения, но и на доказательстве сходимости некоторой специальной последовательности подмножеств множества периодических точек косого произведения и использовании топологического предела такой последовательности множеств. В процессе построения примеров косых произведений с различными дифференциальными свойствами, имеющих замкнутое множество периодических точек и омега-предельные множества произвольной допустимой размерности, изучено влияние размерности расслоения фазового пространства на дифференциальные свойства рассматриваемых отображений. Установлено, что максимальные дифференциальные свойства отображения достигаются при использовании одномерных расслоений. Построены новые примеры косых произведений с замкнутым множеством периодических точек и одномерными омега-предельными множествами на клетках произвольной конечной размерности. В настоящее время ведется работа над примером косого произведения такого рода с омега-предельным множеством произвольной допустимой размерности, большей единицы. Указаны расходящиеся ряды, позволяющие изучать косые произведения с замкнутым множеством периодических точек, имеющие простейшие нехаотические аттракторы произвольной допустимой размерности, большей единицы. В рамках работы 2 изучалась взаимосвязь множества слабо неблуждающих точек с множеством цепно-рекуррентных точек простейших гладких косых произведений. Установлено, что в рассматриваемом классе гладких косых произведений на многомерных клетках эти два множества совпадают, и, тем самым доказано, что несовпадение множеств слабо неблуждающих и периодических точек дает еще один критерий (необходимое и достаточное условие) C0- Омега-взрыва. Доказано также, что C1-гладкие косые произведения отображений интервала на многомерных клетках с замкнутым множеством периодических точек имеют нулевую топологическую энтропию, а отображения такого рода, допускающие цепно-рекуррентный C0- Омега-взрыв, можно аппроксимировать с произвольной степенью точности в C0-норме энтропийно хаотическими отображениями. При изучении C0- Омега-взрыва в C1-гладких косых произведениях использовалась C0-норма в пространстве C1-гладких косых произведений. В то же время в рамках работы 2 доказано , что C1- Омега-взрыв в пространстве C1-гладких простейших косых произведений на многомерных клетках (снабженном C1-нормой) невозможен, дано объяснение этого свойства. Полученный результат демонстрирует невозможность глобальной перестройки неблуждающего множества отображений такого рода в C1-норме и составляет основу для дальнейшего изучения локальных перестроек в гладких простейших косых произведениях на многомерных клетках. В рамках исследования 3 доказана теорема о разложении некоторого множества из пространства C1-гладких косых произведений на многомерном торе в конечное объединение подмножеств, с использованием свойств непрерывности или разрывности маршрутных вспомогательных и подходящих функций. В рамках работы 4 продолжено изучение аппроксимационных свойств C1-гладких Омега-устойчивых косых косых произведений на 3-мерном торе. Доказано достаточное условие, выделяющее множество C1-гладких косых произведений с Омега-устойчивым факторотображением на 3-мерном торе, в котором всюду плотны C1-гладкие Омега-устойчивые косые произведения. Полученные здесь результаты позволили перейти к изучению границы области Омега-устойчивости в пространстве C1-гладких косых произведений на 3-мерном торе. Исследования по направлению 5 имеют непосредственное прикладное значение. С использованием установленной здесь топологической сопряженности известных в математической литературе, но трудно поддающихся исследованию отображений следа (с использованием совместных результатов Л.С. Ефремовой и С.С. Бельмесовой о блуждающих точках одного из известных отображений следа) получено решение давней задачи о поведении коэффициентов прохождения и отражения плоской волны с заданным импульсом в поле одномерной квазикристаллической решетки. В рамках выполнения работы 6 показано, что для непрерывного отображения f конечного дерева с нулевой топологической энтропией и бесконечным минимальным множеством M сужение f на M топологически сопряжено счётчику τ(α), где α = (j(1), …, j(n), 2, 2, …) (*), натуральные числа j(i) ≥ 2 для 1 ≤ i ≤ n. Исследована структура конечных деревьев, допускающих такие отображения для любой последовательности α указанного вида. Доказано, что для любой последовательности α= (j(1), j(2), …), где j(i) ≥ 2 для произвольного натурального числа i, существует дендрит с несчётным множеством концевых точек и непрерывное отображение на нем с нулевой топологической энтропией, имеющее минимальное множество M, на котором f топологически сопряжённо с τ(α). Кроме этого, установлено, что для отображения на дендрите со счётным множеством концевых точек, имеющего нулевую топологическую энтропию и бесконечное минимальное множество M, существует последовательность α = (j(1), j(2), …), где j(i) ≥ 2, такая, что f на M полусопряжено счётчику τ(α).