Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В отчетном году свойство аппроксимируемости относительно равенства изучалось в отношении конструкций древесного произведения конечного числа групп с нормальными реберными подгруппами и HNN-расширения с нормальными связанными подгруппами. Основным инструментом исследования послужило обобщение фильтрационного метода Г.Баумслага на случай произвольного корневого аппроксимирующего класса групп и фундаментальной группы произвольного графа групп, выполненное руководителем проекта в 2021 году. Применение данного метода стало возможным благодаря тому, что исполнителям проекта удалось адаптировать подход, использовавшийся ранее для изучения аппроксимируемости обобщенного свободного произведения с нормальной объединенной подгруппой, к ситуации, когда реберная подгруппа нормальна не во всей свободной конструкции, а только лишь в содержащих эту подгруппу вершинных группах. При некоторых дополнительных предположениях о пересечении реберных подгрупп для каждой из рассмотренных конструкций и для произвольного гомоморфно замкнутого корневого класса групп C за отчетный год были найдены критерий существования гомоморфизма этой конструкции на группу из класса C, инъективного на всех вершинных группах, а также достаточные условия аппроксимируемости классом C, в которых уже не предполагается, что вершинные группы принадлежат указанному классу. Следует отметить, что в данном направлении план работы по проекту был перевыполнен: изначально описанные результаты предполагалось получить лишь для древесного произведения групп. Свойство аппроксимируемости относительно сопряженности рассматривалось применительно к обобщенным группам Баумслага — Солитэра (или, более коротко, GBS-группам), т.е. фундаментальным группам конечных связных графов групп, в которых все вершинные и реберные группы являются бесконечными циклическими. В предположении, что корневой класс групп C состоит из периодических групп, для произвольной GBS-группы был полностью решен вопрос о ее аппроксимируемости относительно сопряженности этим классом. Оказалось, что данное свойство почти всегда равносильно аппроксимируемости классом C относительно равенства. Единственным исключением служит (обычная) разрешимая группа Баумслага — Солитэра BS(1,n) при |n|>1, для которой аппроксимируемость классом C относительно сопряженности имеет место тогда и только тогда, когда множество всех простых делителей порядков элементов групп из этого класса содержит все простые числа. Из полученных результатов вытекает неизвестное ранее утверждение о том, что GBS-группа финитно аппроксимируема относительно сопряженности тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема относительно равенства. Свойство аппроксимируемости относительно вхождения или, иначе говоря, отделимости подгрупп исследовалось для свободного произведения двух групп с нормальной объединенной подгруппой. При ограничениях, позволивших ранее получить критерий аппроксимируемости данной конструкции произвольным гомоморфно замкнутым корневым классом групп, в ходе выполнения проекта было найдено описание отделимых тем же классом конечно порожденных абелевых подгрупп. Кроме того, был указан ряд случаев, в которых такое описание становится в некотором смысле «идеальным», т.е. зависит лишь от свойств сомножителей, но не от того, как они объединяются при построении обобщенного свободного произведения. Эта часть проекта служит иллюстрацией успешного применения метода исследования отделимости корневыми классами конечно порожденных абелевых подгрупп, разработанного в рамках гранта РНФ №22-21-00166.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Во второй год реализации проекта работа осуществлялась в четырех направлениях. Первое из них состояло в изучении свойства отделимости корневым классом групп C применительно к подгруппам, удовлетворяющим нетривиальному тождеству. Для (обычного) свободного произведения произвольного семейства C-аппроксимируемых групп было найдено в некотором смысле «идеальное» описание C-отделимых подгрупп с тождеством, позволяющее свести вопрос о C-отделимости подгруппы такого вида к изучению аналогичного вопроса для свободных множителей. Похожее описание было получено также для обобщенной группы Баумслага — Солитэра, соответствующей графу-дереву. Второе направление заключалось в исследовании аппроксимируемости гомоморфно замкнутым корневым классом групп C древесного произведения P с нормальными реберными подгруппами. Изучение данной конструкции было начато в первый год реализации проекта, однако все доказанные тогда утверждения в отчетном периоде были обобщены за счет ослабления ограничений, накладываемых на пересечения реберных подгрупп. При этих, более слабых, ограничениях и в предположении конечности дерева был найден так называемый результат первого уровня, т.е.критерий существования гомоморфизма группы P на группу из класса C, действующего инъективно на всех вершинных группах. С помощью данного критерия был доказан ряд достаточных условий C-аппроксимируемости группы P, уже не требующих ни конечности числа вершинных групп, ни их принадлежности классу C. Третье направление работы также продолжало исследования, начатые в первый год реализации проекта, и состояло в изучении аппроксимируемости гомоморфно замкнутым корневым классом C HNN-расширения E с нормальными связанными подгруппами. Здесь полученные ранее результаты были дополнены двумя критериями C-аппроксимируемости группы E, отличающимися от уже найденных дополнительными условиями, накладываемыми на связанные подгруппы и их группы автоморфизмов. Также для рассматриваемого HNN-расширения были указаны критерии аппроксимируемости произвольными нильпотентными группами, конечными нильпотентными P-группами и конечными метанильпотентными P-группами (где P — наперед заданное непустое множество простых чисел), справедливые в предположении, что базовая группа и группы автоморфизмов связанных подгрупп удовлетворяют ряду дополнительных требований. Доказательство этих критериев стало возможным благодаря четвертому направлению исследований, которое заключалось в выработке универсального подхода к изучению аппроксимируемости HNN-расширений нильпотентными и метанильпотентными группами. В ходе выполнения данной работы были найдены общие условия аппроксимируемости HNN-расширений указанными классами групп, не накладывающие на базовую группу и связанные подгруппы никаких специальных ограничений.