Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Получены теоремы, играющие важную роль для доказательства выполнения условия $cc$-деформируемого гибкого конуса и квазивыпуклости для шаров Карно--- Каратеодори 2-ступенчатых групп Карно. Каноническая 2-ступенчатая группа Карно $\Bbb D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1$ определяется в стандартном евклидовом пространстве $\Bbb R^{n+1}$ с системой координат $(x_1,\ldots,x_n,t)$ и координатным репером $(O,e_1,\ldots,e_n,e_{n+1})$ при помощи следующей таблицы коммутаторов \begin{equation}\label{tab2StepGeneral1} [e_i,e_j]=\alpha_{ij} e_{n+1},\quad\sum\limits_{i,j=1}^n\alpha^2_{ij}\neq0, \end{equation} все остальные возможные коммутаторы $e_1,\ldots,e_{n+1}$ равны $0$. Если в~(\ref{tab2StepGeneral1}) положить $n=2m$, $m\in\Bbb N$, $\sum\limits_{i=1}^{m-1}\alpha^2_{2i,2i+1}=0$, $\alpha_{2j-1,2j}=\alpha\neq0$, $j=1,\ldots,m$, то получим таблицу коммутаторов, определяющую каноническую группу Гейзенберга $\Bbb H^m_{\alpha}$. Доказано, что для канонической 2-ступенчатой группы Карно $\Bbb D_n$ с горизонтальным распределением коранга $1$, $\dim\Bbb D_n=n+1$, минимальное число $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}$ такое, что любые две точки $u,v\in\Bbb D_n$ можно соединить базисной горизонтальной $k$-ломаной (ломаной, состоящей из $k$ звеньев) $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v)$, $k\leq N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}$, не превосходит $n+2$. Построены примеры групп $\Bbb D_n$, для которых $N_{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}=n+i$, $i=1,2$. Здесь $\mathcal{X}_{\Bbb D_n}=\{X_1,\ldots,X_n\}$~--- набор базисных левоинвариантных горизонтальных векторных полей алгебры Ли группы $\Bbb D_n$, а звено ломаной $L^{\mathcal{X}_{\Bbb D_n}}_k(u,v)$ имеет вид $\exp(asX_i)(w)$, $s\in[0,s_0]$, $a=const$. Полученые здесь при доказательствах распределения горизонтальных ломаных используются при построениях областей, удовлетворяющих условию деформируемого $cc$-однородного конуса и квазивыпуклости, на группах $\Bbb D_n$. Результаты опубликованы в работе А. В. Грешнов, Р. И. Жуков, “Оптимальные оценки количества звеньев базисных горизонтальных ломаных для 2-ступенчатых групп Карно с горизонтальным распределением коранга 1”, Вестник российских университетов. Математика, 2024, том 29, выпуск 147, С.~244--254. DOI: https://doi.org/10.20310/2686-9667-2024-29-147-244-254 Разработана схема доказательства квазивыпуклости шаров в (квази)метрике Карно--- Каратеодори на группе Энгеля. Здесь под квазиметрикой понимается некоторая функция расстояния, однородная относительно действия соотвествующей однородной подгруппы растяжений группы Энгеля, билипшицево эквивалентная метрике Карно--- Каратеодори $d_{cc}^{\Bbb E}$. Каноническая группа Энгеля $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ определяется в стандартном евклидовом пространстве $\Bbb R^{4}$ с системой координат $(x,y,t,z)$, индуцированной координатным репером $(O,e_1,e_2,e_3,e_4)$, при помощи таблицы коммутаторов \begin{equation}\label{tabE} \begin{cases} [e_1,e_2]=\alpha e_3,&\quad\alpha>0,\\ [e_1,e_3]=\beta e_4\,&\quad\beta>0, \end{cases} \end{equation} все остальные возможные коммутаторы $e_1,e_2,e_3,e_4$ равны $0$. Группа Энгеля $(\Bbb E,d_{cc}^{\Bbb E})$ является 3-ступенчатой группой Карно. Здесь область $\mathcal{D}\subset \Bbb E_{\alpha,\beta}$ называется $сс$-квазивыпуклой, если существует константа $C_{\mathcal{D}}$ такая, что для любых двух точек $x,y\in\mathcal{D}$ найдется горизонтальная кривая $\gamma_{x,y}\subset \mathcal{D}$ конечной длины $l(\gamma_{x,y})$, соединяющая точки $x,y$, такая, что $l(\gamma_{x,y})\leq C_{\mathcal{D}}d_{cc}^{\Bbb E}(x,y)$. Полученные результаты докладывались на конференции по геометрическому анализу, посвящённой 95-летию со дня рождения академика РАН Ю.Г.~Решетняка (22.09.2024--28.09.2024), Грешнов А.В., Квазивыпуклые области на группах Карно, \noindent https://youtu.be/5Sbrza5bL0w см. также Грешнов А., Квазивыпуклые области на группах Карно, Конференция по геометрическому анализу, посвящённая 95-летию со дня рождения академика Ю.Г. Решетняка, 22–28 сентября 2024 г. : Тез. докл. C.~35. \noindent URL: https://sites.google.com/view/conf-ga-2024. Дата публикации: 23.09.2024. \noindent DOI: 10.5281/zenodo.13830148 Для канонической группы Энгеля $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ получено описание области допустимых параметров для ее Box-квазиметрики, рассматриваемой как $(q_1,q_2)$-квазиметрика. Box-квазиметрка определяется здесь следующим образом. Пусть $u,v\in\Bbb E_{\alpha,\beta}$, тогда $v=u\cdot(u^{-1}v)=uc$, где $c=(c_1,c_2,c_3,c_4)$. Тогда Box-квазирасстояние на канонической группе $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ определяется как $$ \rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(u,v)=\max\{|c_1|,|c_2|,|c_3|^{\frac12},|c_4|^{\frac13}\}. $$ Функция расстояния $\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}$ удовлетворяет условию симметричности и $(q_1,q_2)$-обобщенному неравенству треугольника, т.~е. $$ \rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(u,v)\leq q_1\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(u,w)+q_2\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(w,v)\quad \forall u,v,w\in\Bbb E_{\alpha,\beta}. $$ Под областью допустимых параметров $Q(\Bbb E_{\alpha,\beta},\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}})$ мы подразумеваем такую совокупность точек из $\Pi_{q_1,q_2}$, где $\Pi_{q_1,q_2}$~--- евклидова плоскость с координатами $(q_1,q_2)$, что для любой точки $M=(q'_1,q'_2)\in Q(\Bbb E_{\alpha,\beta},\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}})$ выполняется $$ \rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(u,v)\leq q'_1\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(u,w)+q'_2\rho_{\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}}(w,v)\quad \forall u,v,w\in\Bbb E_{\alpha,\beta}. $$ На первой группе Гейзенберга $\mathbb{H}^1_{\alpha}$, где $\alpha=-\frac14$, доказан аналог теоремы о факторизации Стоилова. Доказательство основано на использовании формулы для коэффициента Бельтрами композиции квазиконформных отображений. Полученные результаты докладывались на конференции по геометрическому анализу, посвящённой 95-летию со дня рождения академика РАН Ю.Г.~Решетняка (22.09.2024--28.09.2024), Дорохин Д.К., Факторизация Стоилова на группе Гейзенберга, \noindent https://youtu.be/2Ofn5vuRWCo см. также Дорохин К., Факторизация Стоилова на группе Гейзенберга, Конференция по геометрическому анализу, посвящённая 95-летию со дня рождения академика Ю.Г. Решетняка, 22–28 сентября 2024 г. : Тез. докл. C.~47--48. \noindent URL: https://sites.google.com/view/conf-ga-2024. Дата публикации: 23.09.2024. \noindent DOI: 10.5281/zenodo.13830148

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
На канонической группе Энгеля $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ существуют ограниченная область $\mathcal{D}$, удовлетворяющая условию деформируемости $cc$-однородных конусов. Каноническая группа Энгеля $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ определяется в стандартном евклидовом пространстве $\Bbb R^{4}$ с системой координат $(x,y,t,z)$, индуцированной координатным репером $(O,e_1,e_2,e_3,e_4)$, при помощи таблицы коммутаторов \begin{equation}\label{tabE} \begin{cases} [e_1,e_2]=\alpha e_3,&\quad\alpha>0,\\ [e_1,e_3]=\beta e_4\,&\quad\beta>0, \end{cases} \end{equation} все остальные возможные коммутаторы $e_1,e_2,e_3,e_4$ равны $0$. Результаты докладывались на V Конференции математических центров России (Красноярск, 11-16 августа 2025 г.), cекционный доклад Грешнов А.В. <<К вопросу о соединимости горизонтальными ломаными на группах Карно>>. http://kmc.sfu-kras.ru/conf2025/files/05_du.pdf На первой группе Гейзенберга $\mathbb{H}^1_{\alpha}$, где $\alpha=-\frac14$, доказан аналог теоремы о факторизации Стоилова. Доказательство основано на использовании формулы для коэффициента Бельтрами композиции квазиконформных отображений. Используя методы доказательства этой теоремы, были изучены свойства броуновских движений, индуцированных квазиконформными отображениями. Нами получена следующая теорема. Пусть $X_t$, $Y_t$~--- квазиброуновские движения группы Гейзенберга $\mathbb{H}^1_{-\frac14}$, с соответствующими квазиконформными отображениями $f,g$, коэффициенты Бельтами которых равны почти всюду друг другу. Тогда, если отображение $g\circ f^{-1}$ является композицией растяжений, поворотов и сдвигов на $\mathbb{H}^1_{\alpha}$, $\alpha=-\frac14$, то существует замена времени $a(t)$ такая, что почти наверное $X_t=Y_{a(t)}$. Результаты опубликованы в работе D. K. Dorokhin, Stoilow factorization of the Heisenberg group, Владикавк. матем. журн., \textbf{27}:3 (2025), 50--59. На симметрическом $(1,q_2)$-квазиметрическом пространстве $(\Bbb H^1_{\alpha},\mathrm{Box}_{\Bbb H^1_{\alpha}})$, $\alpha>0$, нами исследована константа $\mathrm{L}_{\Phi}$ в оценке устойчивости $\mathrm{Box}_{\Bbb H^1_{\alpha}}(u,\xi)\leq\frac{\mathrm{L}_{\Phi}\mathrm{Box}_{\Bbb H^1_{\alpha}}\big(u,\Phi(u)\big)}{1-\varepsilon}$ $\varepsilon$-сжимающих отображений $\Phi$ по отношению к тождественному отображению; здесь $\xi$~--- неподвижная точка отображения $\Phi$, $u$~--- произвольная точка группы $\Bbb H^1_{\alpha}$. Установлено, что $\mathrm{L}_{\Phi}=1$ в случае, когда отображение $\Phi$ представляет собой композицию левого сдвига и однородной подгруппы растяжений. Построены примеры сжимающих отображений $\Phi$ группы $\Bbb H^1_{\alpha}$ таких, что $\mathrm{L}_{\Phi}\geq C\sqrt{q_2}$, где положительная константа $C$ не зависит от выбора точки $u\in\Bbb H^1_{\alpha}$. Полученные результаты имеют важное значение как для теории о точках совпадения отображений, так и для теории квазиконформных отображений на группах Карно. Результаты опубликованы в работе А. В. Грешнов, Об оценках устойчивости сжимающих отображений первой группы Гейзенберга в теореме о неподвижной точке, Вестник российских университетов. Математика, \textbf{30}:149 (2025), 15--27. Для канонической группы Энгеля $\Bbb E_{\alpha,\beta}$ получено описание области допустимых параметров для ее Box-квазиметрики, рассматриваемой как $(q_1,q_2)$-квазиметрика. \begin{theorem}\label{Ee} $1)$ $Q(\Bbb E_{\alpha,\beta},\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}})= K\cap Q(\Bbb H^1_{\alpha},\mathrm{Box}_{\Bbb H^1_{\alpha}})\cap Q_{\alpha,\beta}$, где множество $Q_{\alpha,\beta}$ определяется как точки евклидовой плоскости с координатами $(q_1,q_2)$, $K=\{(q_1,q_2)\mid q_1,q_2\geq1\}$, такие, что \begin{equation*}\label{neq1} 1+(\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha\beta}{6})\varepsilon+(\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha\beta}{6})\varepsilon^2+\varepsilon^3\leq(q_1+\varepsilon q_2)^3,\quad\varepsilon\geq0, \end{equation*} $2)$ граница области $Q_{\alpha,\beta}$ представляет собой объединение дуги некоторой кривой $\sigma$ с концами в точках $M'_{q_1}$, $M'_{q_2}$, симметричной относительно биссектриссы правого верхнего координатного угла евклидовой плоскости с координатами $(q_1,q_2)$, и лучей, принадлежащих $\partial K$, начинающихся в точках $M'_{q_1}$, $M'_{q_2}$, где $M'_{q_1}=(1,\frac{a}3)$, $M'_{q_2}=(\frac{a}3,1)$, $a=\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha\beta}{6}$, $3)$ координаты $(q_1,q_2)$ точек кривой $\sigma$ связаны соотношением $\big(4(a-3q_1q_2^2)^3-3D(a-3q_1q_2^2)+108(q_1^3-1)(q_2^3-1)^2\big)^2=D^3$, где $D=4(3q_1q_2^2-a)^2-12(q_2^3-1)(3q_1^2q_2-a)$. \end{theorem} В качестве применения Теоремы~\ref{Ee}, найдено минимальное значение константы $q$ для $(q,q)$-обобщенного неравенства треугольника для Box-квазиметрики $\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}$. \begin{theorem}\label{best} Минимальная константа $q$ для $(q,q)$-обобщенного неравенства треугольника для $\mathrm{Box}_{\Bbb E_{\alpha,\beta}}$ определяется как $$ q=\begin{cases} \max\{\frac{\sqrt{2+\alpha}}2,b\},\quad&\max\{\frac{\alpha}2,\frac{\beta}{6}+\frac{\alpha\beta}{18}>1\},\\ 1,\quad&\max\{\frac{\alpha}2,\frac{\beta}{6}+\frac{\alpha\beta}{18}\leq1\}, \end{cases} $$ где $b$~--- корень уравнения $q^3+3q^2=1+\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha\beta}{6}$ на интервале $(1,\infty)$. \end{theorem} Результаты опубликованы в работе А. В. Грешнов, С. А. Грешнова, Область допустимых параметров Box-квазиметрики канонической группы Энгеля, Матем. тр., \textbf{28}:2 (2025), 50--61. Результаты докладывались на конференции Грешнова С.А., Область допустимых параметров Box-квазиметрики канонической группы Энгеля// Международная научная студенческая конференция-25. Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 16--22 апреля 2025 г. Секционный доклад 21.04.2025. https://www.nsu.ru/n/issc/sections/tochnye-nauki/matematika/geometriya-i-analiz На группе $\Bbb H^1_{\alpha}$ при различных показателях $\alpha>0$ изучены геометрические свойства <<горизонтальных>> тетраэдров. Здесь <<горизонтальный>> тетраэдр --- геометрическая фигура, имеющая четыре стороны, представляющие собой замкнутую горизонтальную ломаную, составленную из единичных горизонтальных отрезков; отметим, что оставшиеся стороны горизонтальными отрезками не являются. При помощи полученных свойств построены аналоги триангуляции групп $\Bbb H^1_{\alpha}$ <<горизонтальными>> тетраэдрами, на основе которых доказано, что отображение $f$, переводящее любые две точки $u,v=\exp(aX+bY)(u)\in\Bbb H^1_{\alpha}$, $a^2+b^2=1$, в точки $u'=f(u)$, $v'=\exp(pX+qY)(u')=f(v)\in\Bbb H^1_{\alpha}$, $p^2+q^2=1$, является изометрией в метрике Карно---Каратеодори.