Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Классические результаты теории оптимального управления конечномерными системами включают характеризацию функции цены как обобщенного (вязкостного) решения уравнения Беллмана и вопросы построения оптимальных стратегий по заданному решению уравнения Беллмана. Получение аналогов этих результатов для случая управляемого нелокального уравнения неразрывности было целью работ в 2024 году. Отметим, что для нелокального уравнения неразрывности фазовым пространством является пространство вероятностных мер. Последнее снабжается метрикой Канторовича, которая появляется как цена задачи оптимальной транспортировки. Поскольку определение вязкостного решения и конструкции почти оптимальных стратегий используют понятия негладкого анализа, в ходе работ над проектом исследовались различные формы производных по направлению и суб-/супердифферениалов: в смысле Фреше, Адамара и проксимальные. Отметим, что направление в пространстве вероятностных мер может пониматься либо как функция, интерпретируемая как поле скоростей, либо как распределение скоростей. Это приводит к двум параллельным вариантам определений понятий негладкого анализа – барицентрическим и распределенным. Эти две теории связаны. В частности, барицентрические суб-/супердифференциалы вкладываются (при действии операции вычисления поточечного барицентра) в барицентрические. Мы дали определениетрешения уравнение Беллмана для задачи оптимального управления нелокальным уравнением неразрывности используя понятия барицентрических суб-/супердифференциалов в смысле Адамара и показали, что функция цены задачи оптимального управления нелокальным уравнением неразрывности с критерием типа Майера является решением этого уравнения Беллмана. Далее мы исследовали вопрос о построении почти оптимальных позиционных стратегий по заданному вязкостному решению уравнения Беллмана. Для этого мы построили аналог преобразования Иосиды-Моро функции, определенной на произведении промежутка времени и пространства вероятностных мер, и показали, что направление, разрешающее это преобразование, лежит в распределенном проксимальном субдифференциале. Предложенная нами конструкция почти оптимальной стратегии реализует метод экстремального сдвига вдоль этого направления. На основе полученных вложений распределеных проксимальных субдифференциалов и определения вязкостного решения, мы вывели оценки погрешности этого метода управления. Наконец отметим работы в области переноса полученных результатов на случай наличия источников/стоков абсолютно непрерывных относительно текущей меры. В этом случае фазовым пространством является пространство неотрицательных мер. Мы исследовали конструкции негладкого анализа для этого пространства. Прежде всего мы определили понятие сдвига в пространстве неотрицательных мер и, доказав теоремы о выживаемости, проверили корректность этого определения. На этой основе были введены понятия производных по направлению и суб-/супердифференциалов по Фреше и Адамару.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В этом году мы рассматривали управляемое уравнение баланса, которое описывает систему многих частиц, в которой частицы могут появляться и/или исчезать. Рассматривался случай, когда на все частицы действует одно внешнее управление. Целью управления является минимизация интегро-дифференциального показателя качества на конечном промежутке времени. Первая часть работ по проекту в этом году была связана с качественными свойствами исследуемой управляемой системы и со свойствами функции гарантированного результата – функции цены. Оказалось, что ранее рассматривавшаяся метрика на пространстве неотрицательных мер, основанная на выравнивании двух мер и поиске плана между «срезками», не позволяет доказать качественные свойства управляемых систем. Была предложена метрика, основанная на представлении неотрицательной меры в виде проекции вероятностной меры на пространстве с дополнительной переменной, играющей роль веса частицы. С использованием этой метрики были исследованы вопросы непрерывной зависимости траекторий, порождаемых нелокальным уравнением баланса. Это привело нас к доказательству теоремы о непрерывной зависимости функции цены от начального момента времени и начального распределения. Второй блок исследуемых вопросов связан с уравнением Беллмана как необходимым условием оптимальности. Уравнение Беллмана – это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее функцию цены. Формально оно получается из принципа динамического программирования дифференцированием. Отличительной его чертой является недифференцируемость функции цены, что приводит к необходимости определить понятие вязкостного решения, сводящегося к выполнению двух неравенств на элементах суб- и супердифференциалов функции цены. Мы определили понятия суб- и супердифференциала функции, зависящей от момента времени и неотрицательной меры. Это определение основано на понятии сдвига в пространстве неотрицательных мер, согласованного с введенной нами индуцированной метрикой. Кроме того, мы получили и более сильное условие – функция цены удовлетворяет вязкостным неравенствам для элементов эпсилон-суб- и супердифференциалов. Рассматривалась и обратная задача. А именно построение приближенно оптимальной стратегии по заданной функции, являющейся вязкостным решением уравнения Беллмана. Для этого мы изучали специальное преобразование этой функции и строили элемент, который задает в некотором смысле наилучшее направление. Такой метод построения стратегий следует принципу экстремального сдвига. Он существенно основан на результатах исследования обобщенных производных и суб-/супердифференциалов. Наконец, мы рассматривали вопрос об использовании стратегий, оптимальных для предельных систем, в случае систем, состоящих из конечного числа частиц, на которых действует некоторое общее внешнее управление. Оказалось, что в случае, когда число частиц сохраняется, стратегия, оптимальная в предельной системе, будет оптимальной и в системе с конечным числом частиц. Если частицы могут исчезать/появляться, то стратегия является лишь приближенно оптимальной.