Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В соответствии с планом работы научного исследования на 2024 г. разработаны математические методы применения полиномиальной аппроксимации Чебышева для решения нелинейных задач математической физики. В рамках теории Кирхгофа предложен подход к моделированию напряженно-деформированного состояния тонких изотропных и ортотропных пластин под действием нормально распределенных нагрузок по их поверхностям на основе разложения решения неоднородного бигармонического уравнения в ряд по многочленам Чебышева первого рода. Коэффициенты в этом разложении найдены методом коллокации с использованием свойств многочленов Чебышева. В качестве точек коллокации при этом выбраны корни многочленов Чебышева. Для соответствующей дискретной задачи в зависимости от типа закрепления сторон пластин составлена система линейных алгебраических уравнений, обеспечивающая выполнение граничных условий. Произведена верификация алгоритмов вычисления и их программная реализация. При этом получены значения отклонений построенных решений от существующих аналитических решений по бесконечной норме и конечной норме в пространстве интегрируемых с квадратом функций. Показано, что полученные результаты с высокой степенью точности совпадают с аналитическими решениями при сравнительно небольших значениях степеней этих многочленов. Выбор в качестве точек коллокации корней многочленов Чебышева позволил с малой чувствительностью по отношению к вычислительной погрешности найти значения коэффициентов в частичной сумме ряда по этим многочленам для различных типов закрепления сторон пластин, а представление искомой функции достаточно быстро приближалось к многочлену наилучшего равномерного приближения. Получены оценки погрешностей построенных решений по бесконечной норме и конечной норме в пространстве интегрируемых с квадратом функций. На основе построенного решения восстановлены выражения для изгибающих моментов и перерезывающих сил, которые позволили с достаточно высокой точностью найти их значения в малых окрестностях угловых точек пластин. Получен репрезентативный набор данных для валидации численных результатов моделирования изгибов тонких пластин в рамках классической теории Кирхгофа. В рамках нелокальной теории градиента деформации второго порядка с применением вариационного подхода построены однопараметрические математические модели изгибов тонких изотропных нанопластин. Показано, что построенные модели обобщают классические модели изгиба тонких пластин. В ходе проведенного исследования предложен новый метод построения решений уравнений равновесия нанопластин с применением полученных моделей и полиномиальной аппроксимации Чебышева, разработаны соответствующие вычислительные алгоритмы. Выполнен ряд тестовых и верификационных расчетов по моделированию изгиба прямоугольных нанопластин в зависимости от значений нелокального наноразмерного параметра. В случае шарнирного опирания прямоугольной нанопластины найдено частное аналитическое решение задачи, сравнение построенного решения с аналитическим решением произведено по бесконечной норме и конечной норме в пространстве интегрируемых с квадратом функций. Предложена практическая оценка погрешности построенного решения. В рамках кинетической теории газов разработаны математические методы, которые позволяют применить полиномиальную аппроксимацию к моделированию процессов переноса разреженного газа в наноканалах. Построены решения неоднородных линейных уравнений интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода на основе разложения подынтегральной функции в ряд по многочленам Чебышева первого рода. Решения нелинейных интегральных уравнений получены с использованием метода последовательных приближений и разложения подынтегральной функции в ряд по многочленам Чебышева первого рода на каждой итерации этого метода. Произведена оценка отклонений построенных решений по бесконечной норме в пространстве измеримых, существенно ограниченных функций. Разработаны параллельные алгоритмы и программы для численного моделирования процесса переноса массы газа в тонком канале с использованием матричных преобразований. Результаты проведенного исследования опубликованы в 5 статьях в ведущих периодических рецензируемых научных изданиях, входящих в базы научного цитирования Scopus, Web of Science Core Collection. 1 статья входит в Q2. Результаты представлены в виде 6 докладов на научных международных конференциях с публикацией тезисов. Представлена для Государственной регистрации программа для ЭВМ "Параллельное численное моделирование процесса переноса массы газа в тонком цилиндрическом канале". Публикации: 1. Гермидер О.В., Попов В.Н. Математическое моделирование изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластины // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления (2024) https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.301 2. Гермидер О.В., Попов В.Н. Об интегральном подходе при использовании метода коллокации // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика (2024) https://doi.org/10.17223/19988621/88/2 3. Гермидер О.В., Попов В.Н. On the Collocation Method in Constructing a Solution to the Volterra Integral Equation of the Second Kind Using Chebyshev and Legendre Polynomials // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics (2024) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.19 4. Гермидер О.В., Попов В.Н. On Calculation of Bending of a Thin Orthotropic Plate Using Legendre and Chebyshev Polynomials of the First Kind // Journal of Siberian Federal University-Mathematics & Physics (2024) http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/153260/Germider_Popov_n.pdf 5. Гермидер О.В., Попов В.Н. Mathematical Modeling of Elastically Deformed States of Thin Isotropic Plates Using Chebyshev Polynomials // Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva (2024) https://doi.org/10.15507/2079-6900.26.202401.20-31

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В соответствии с планом работы на 2025 г. в рамках нелокальной теории градиента деформации второго порядка построены математические модели деформированного состояния тонких изотропных нанопластин. Уравнение равновесия нанопластины получено из условия минимума полной свободной энергии. Показано, что квадратичная форма плотности полной энергии является положительно определенной и вариационная задача имеет единственное решение. Построенные модели обобщены на случай ортотропных нанопластин, что позволяет моделировать поведение материалов с более сложной микроструктурой, например, композитов. Получены выражения для компонент тензора напряжений, изгибающие и крутящие моменты, перерезывающие силы. Доказана сходимость по норме в банаховом пространстве существенно ограниченных функций, являющихся решениями построенных модельных уравнений. Разработаны устойчивые вычислительные алгоритмы с применением метода коллокации и многочленов Чебышева для реализации различных вариантов граничных условий. Получены репрезентативные максимальные значения функции изгиба нанопластины при различных видах нагрузки и условий закрепления в рамках построенных моделей, которые с высокой точностью совпадают с максимальным значением прогиба в случае имеющихся аналитических решений. Для построения решения дифференциального уравнения цилиндрического изгиба длинной изотропной нанопластины в рамках теории микроструктурной деформации предложен подход с использованием обобщенной обратной матрицы для вырожденной матрицы дифференцирования ортогональных многочленов Чебышева первого рода. Предложенный подход посредством полиномиальной аппроксимации функции изгиба позволяет свести решение краевой задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей и обладает более высокой вычислительной устойчивостью. В пространстве непрерывных на отрезке функций для достаточно гладкого решения показана сходимость построенного процесса аппроксимации по норме этого пространства. Полученные численные решения и вычислительные алгоритмы верифицированы с использованием точных аналитических решений. Показано, что с применением обобщенной обратной матрицы решения приближаются к соответствующим полиномиальным интерполяциям функций аналитических решений по бесконечной норме в пространстве функций, непрерывных на рассматриваемом отрезке. Результаты вычислений при этом превышает более, чем на порядок, аналогичные результаты, получаемые без умножения на обобщенную матрицу. Последнее обусловлено тем, что применение в явном виде дискретных преобразований для системы многочленов Чебышева в матричной форме не добавляют погрешности к результату при вычислении коэффициентов в разложении решения краевой задачи. В результате погрешность уменьшается быстрее. Полученные результаты могут быть применены также для описания деформаций цилиндрических оболочек. В рамках кинетической теории газов разработаны итерационные методы решения нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами и со свободным членом, имеющим точку разрыва первого рода. Решения нелинейных уравнений получены с использованием метода последовательных приближений и разложения ядра уравнения по многочленам Чебышева первого рода каждой итерации. Предварительно интегральное уравнение Фредгольма с кусочно-гладким ядром сведено к уравнению типа Вольтерра, в случае со свободным членом, имеющим точку разрыва первого рода, - к системе интегральных уравнений. В качестве начального приближения принимается свободный член рассматриваемого уравнения. На каждой итерации метода последовательных приближений коэффициенты в разложении ядра найдены с использованием ортогональности системы векторов, образованных значениями многочленов Чебышева в нулях многочлена со степенью, равной числу неизвестных коэффициентов. Построенные решения и вычислительные алгоритмы верифицированы с использованием имеющихся аналитических решений. Полученные результаты проведенных вычислительных экспериментов демонстрируют эффективность предложенного подхода. Решена задача о диффузии бинарного газа в микроканале при условии, что концентрация легкой компоненты смеси много меньше концентрации тяжелой. Результаты представлены в пяти докладах на научных международных конференциях и пяти статьях в ведущих периодических рецензируемых научных изданиях, входящих в базы научного цитирования Scopus, Web of Science Core Collection, одна из них имеет Q1. Публикации: 1. Гермидер О.В. Математическое моделирование деформированного состояния тонкой ортотропной нанопластины. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, 21(3), 329–344. https://applmathjournal.spbu.ru/article/view/21200 2. Гермидер О.В., Попов В.Н. О решении краевой задачи для неоднородного уравнения эллиптического типа с использованием многочленов Лежандра и Чебышева, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2025, № 95, 5–18. https://journals.tsu.ru/mathematics/&journal_page=archive&id=2624&article_id=53400 3. Гермидер О.В., Попов В.Н. О методе решения нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с кусочно-гладкими ядрами, Журнал СВМО, 27:1 (2025), 11–24. https://journal.svmo.ru/archive/article?id=1813 4. Гермидер О.В., Попов В.Н. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния тонкой изотропной нанопластины. Прикладная механика. Техническая физика (принята в печать). 5. Гермидер О.В., Попов В.Н. О методе коллокации при построении решения уравнения изгиба длинной прямоугольной нанопластины. Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика» (принята в печать). 6. Попов В.Н., Гермидер О.В. Математическое моделирование процесса диффузии легкой компоненты бинарного газа. Материалы XVII Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании", Саранск, 29—31 июля 2025 года. https://conf.svmo.ru/archive/event?id=12.