Геометрические свойства множеств достижимости в решении задач оптимального управления

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-21-00424

НазваниеГеометрические свойства множеств достижимости в решении задач оптимального управления

Руководитель Тарасьев Александр Михайлович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук , Свердловская обл

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова оптимальное управление, множество достижимости, гамильтонова система, сингулярное множество, негладкий анализ, слабо выпуклое множество, альфа-множество

Код ГРНТИ27.37.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В проекте рассматриваются теоретические основы эффективного численного решения задач управления динамическими системами на основе геометрических свойств множеств достижимости. Например, в случае, если множество достижимости управляемой системы в любой момент времени имеет "хорошую" геометрию, т.е. односвязно и имеет достаточно гладкую границу с малой кривизной, то достаточно "отслеживать" только изменение границы множества достижимости, что фактически уменьшает размерность задачи. Другим примером является возможность построения поверхностей переключения оптимального управления на основе свойств «слабой» выпуклости множеств достижимости или функций цены. В проекте рассматривается серия задач оптимального управления, в которых свойство невыпуклости множеств достижимости возникает как вследствие нелинейной динамики или функционала платы, так и в случае невыпуклых целевых множеств. Предполагается исследование областей достижимости и пучков траекторий в задачах управления и дифференциальных играх с бесконечным горизонтом. Будут построены разрешающие процедуры управления на основе нелинейных регуляторов для гамильтоновых систем, возникающих в принципе максимума Л.С. Понтрягина. Будут разработаны аппроксимационные процедуры построения множеств достижимости, функций цены и оптимальных стратегий управления на основе компактифицированных сеточных схем. Будут исследованы динамические задачи управления по быстродействию на плоскости и в трехмерном пространстве, имеющие простую динамику и невыпуклое целевое множество с нарушением гладкости границы. Разрешающие множества в таких задачах содержат сингулярности – участки негладкости решения. Актуальными проблемами здесь являются: с точки зрения развития теории – создание новых аналитических методов выявления сингулярных множеств, с точки зрения численных алгоритмов – разработка новых корректных вычислительных процедур построения аппроксимаций решений. Помимо степени гладкости и наличия особенностей важнейшей геометрической характеристикой множеств достижимости является степень их невыпуклости, а также время, в течение которого множество достижимости гарантированно сохраняет свойство односвязности. Степень невыпуклости в настоящем проекте предлагается измерять с помощью понятия альфа-множества, которое сформировалось в начале 2000-х годов и представляет собой одно из обобщений понятия выпуклого множества. Данная задача уже рассматривалась членами научного коллектива проекта, ключевой леммой в решении данной задачи является лемма о численной взаимосвязи между альфа-множествами и слабо выпуклыми по Виалю с постоянной R множествами. Однако, полученная ранее оценка зависит от размерности пространства (в двумерном случае точность оценки степени невыпуклости выше), поэтому планируется либо улучшить ключевую лемму для трехмерных пространств, либо привести примеры, доказывающие неулучшаемость оценок. Для практического применения теории альфа-множеств важно наличие алгоритма численного вычисления степени невыпуклости в терминах альфа-множеств. На данный момент такой алгоритм разработан членами научного коллектива только для многоугольников на плоскости и без оценки его погрешности. В проекте будет рассмотрена задача обоснованной оценки меры невыпуклости плоского множества, заданного "пиксельно" (т.е. в виде конечного множества точек, представляющего собой аппроксимацию, близкую к исходному множеству в хаусдорфовой метрике), при условии односвязности и известного минимального радиуса кривизны границы. В проекте также будут рассматриваться задачи управления конкретными динамическими системами, такими как, например, «Автомобиль Дубинса» и его аналоги в пространствах более высокой размерности. Построение решений в таких задачах будет осуществляться с использованием разрешающих конструкций на базе множеств достижимости рассматриваемых управляемых систем.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Для задач управления с неограниченным временем разработаны алгоритмы стабилизации гамильтоновой системы, возникающей в рамках применения принципа максимума Понтрягина. Как показано, для аффинных по управлению задач с интегральным функционалом качества, включающим экспоненциально убывающий дисконтирующий множитель, всегда существует регулятор, локально стабилизирующий гамильтонову систему вблизи положения равновесия этой системы, если оно существует. Предложенный регулятор играет роль управления, приводящего систему к установившемуся состоянию вдоль траекторий, локально выводящих функционал качества на экстремальные (максимум/минимум) значения. Предложены схемы построения допустимых решений задач управления на бесконечном промежутке времени с фазовыми ограничениями, основанные на вероятностных подходах. Данные решения удовлетворяют динамике модельных переменных и учитывают особенности качественного поведения решений. Изучена минимаксная игровая задача о сближении конфликтно управляемой системы в конечномерном евклидовом пространстве в фиксированный момент времени. Для решения задачи применён метод, дополняющий метод унификации Н.Н. Красовского в теории дифференциальных игр. Исследована проблема аналитического описания и приближённого вычисления множества разрешимости задачи о сближении в общей постановке. Введено понятие А-системы множеств в фазовом пространстве, аппроксимирующей множество разрешимости задачи о сближении, обоснована корректность этого понятия. Изучена позиционная стратегия первого игрока, основанная на принципе экстремального прицеливания движения конфликтно управляемой системы на А-систему. Для игровых задач о сближении достаточно общего вида разработан алгоритм приближённого вычисления множеств разрешимости, основанный на ключевом понятии u-стабильного тракта. Развит аналитический аппарат описания свойств замкнутых невыпуклых множеств конечномерного евклидова пространства на основе формализованных конструктивных элементов, среди которых биссектриса множества, ее ветви и крайние точки, псевдовершина множества и ее односторонние маркеры и другие элементы. Для плоского случая на гладких ветвях биссектрисы найдены явная формула вычисления характеристической функции невыпуклого множества, а также формула вычисления радиуса опорного шара. Рассмотрен пример задачи управления по быстродействию с невыпуклым целевым множеством, граница которого имеет точку разрыва кривизны (псевдовершину). Биссектриса целевого множества исчерпывается одним гладким многообразием, отвечающим псевдовершине, и это многообразие является сингулярным множеством функции оптимального результата. Средствами развиваемой теории находится область, примыкающая к целевому множеству, в которой функция оптимального результата является гладкой. Построен пример, показывающий неэквивалентность двух ранее введённых определений α-множеств. Доказана теорема, усилившая ранее известная соотношение между мерами невыпуклости α-множеств и слабо выпуклых по Виалю множеств с константой R в пространстве произвольной размерности и при условии их ограниченного чебышёвского радиуса. В задаче о сближении с целью для системы «Автомобиль Дубинса» выведены явные формулы для определения моментов переключения управляющего сигнала, позволяющего перевести управляемую систему из начального состояния в конечное за минимальное время. Получены необходимые и достаточные условия существования решений. Для некоторых типов управлений установлена единственность оптимальных решений. Исследована зависимость времени движения от начальных и конечных условий.

Публикации

1. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Альфа-множества и их оболочки при построении решений плоских задач управления по быстродействию с невыпуклой целью «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры» (SCDG2024): Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского, (Екатеринбург, 9–13 сентября 2024 г.). — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, ООО «Издательство УМЦ УПИ», 2024. — 521 с., С. 344-347 (год публикации - 2024)

2. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Выявление особенностей решений в одном классе задач управления по быстродействию на основе свойств обобщений выпуклых множеств XIV ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ (ВСПУ-2024), 17-20 июня 2024 г., Москва: сб. науч. тр. / под общ. ред. Д.А. Новикова; Ин-т Проблем упр. им. В.А. Трапезникова Рос. акад. наук. – Электрон. издан.– М.: ИПУ РАН, 2024., С. 948-952 (год публикации - 2024)

3. Ершов А.А., Давлетов Д.Б., Ершова А.А. Об неэквивалентности двух определений альфа-множеств СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЙ: тезисы Международной (55-й Все-российской) молодёжной школы-конференции (29 января − 2 февраля и 16 февраля 2024 г.). Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, Уральский федеральный университет, 2024. 128 с., С. 75-76 (год публикации - 2024)

4. Ушаков В.Н., Ершов А.А. О соотношении между α-множествами и слабо выпуклыми множествами Труды Института математики и механики УрО РАН, Том 30, № 4. С. 276-285. (год публикации - 2024)
10.21538/0134-4889-2024-30-4-276-285

5. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Альфа-множества и их оболочки: аналитические взаимосвязи в плоском случае Вестник российских университетов. Математика, Т. 29, № 146. С. 204–217 (год публикации - 2024)
10.20310/2686-9667-2024-29-146-204-217

6. Ушаков В.Н., Тарасьев А.М., Ершов А.А. A Supplement to Krasovskii’s Unification Method in Differential Game Theory Doklady Mathematics (год публикации - 2024)
10.1134/S1064562424601604

7. Зимовец А.А. Properties of Solutions in the Dubins Car Control Problem Ural Mathematical Journal , vol. 10, no 2, pp. 157–173 (год публикации - 2024)
10.15826/umj.2024.2.014

8. Ершов А.А., Давлетов Д.Б. Некоторые алгоритмы устранения устранимой параметрической неопределенности XIV Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2024) : сборник научных трудов, 17-20 июня 2024 г., Москва / Под общ. ред. Д.А. Новикова; Ин-т Проблем упр. им. В.А. Трапезникова Рос. акад. наук. – М.: ИПУ РАН, 2024. – 4160 с., С. 392-397 (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В рамках исследования задач оптимального управления с бесконечным горизонтом планирования и фазовыми ограничениями на модельные переменные в виде замкнутых неравенств, разработан метод построения допустимых решений с использованием элементов теории вероятности и теории надёжности. Предложенный подход апробирован на модели роста, описывающей развитие ресурсозависимой экономики. Для данной модели было показано, что в классе усечённых логистических распределений, можно построить допустимое решение задачи управления, которое удовлетворяет всем условиям самой задачи (начальным условиям для фазовых переменных и ограничениям на переменные модели), имеет на бесконечности поведение схожее с оптимальным и учитывает возможные переключения режимов управления. Изучена задача управления по быстродействию в трёхмерном евклидовом пространстве с шаровой вектограммой скоростей и невыпуклым целевым множеством M, ограниченным гладкой поверхностью S. Получены аналитические формулы крайних точек сингулярного множества L функции оптимального результата. Формулы найдены для случая, когда крайние точки сингулярного множества порождаются псевдовершинами M, которые являются гиперболическими точками S. Показано, что крайняя точка находится на нормали к S в направлении одной из двух главных кривизн на расстоянии от псевдовершины, равному единице, делённой на главную кривизну. Доказано, что одна псевдовершина может порождать две крайние точки, совпадающие с центрами кривизны главных нормальных сечений. Получено выражение для предельного направления вектора, соединяющего в окрестности псевдовершины точки, в которые приходят оптимальные траектории от элементов сингулярного множества. Оно совпадает с направлением одной из касательных к линии кривизны поверхности S в псевдовершине. На основе полученных теоретических результатов проведено моделирования примеров решения задач, в которых граница целевого множества является алгебраической поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. Решение построено в виде поверхностей уровня функции оптимального результата с фиксированным шагом. Развита теория альфа-множеств – замкнутых множеств евклидова конечномерного пространства, характеризация свойств которых базируется на понятиях метрической проекции и угловой величины альфа. В рамках теории создан инструментарий, позволяющий вскрывать особенности невыпуклых множеств. Результаты теории применены для построения в аналитической или аппроксимационной форме как гладких, так и негладких решений задач управления по быстродействию с простой динамикой и замкнутым невыпуклым целевым множеством Введена модифицированная мера невыпуклости, совпадающая с исследуемой мерой невыпуклости альфа для слабо выпуклых по Виалю множеств и для многогранников с конечным числом вершин. Доказано, что выпуклые множества (0-множества) имеют устойчивую модифицированную меру невыпуклости относительно малых возмущений в хаусдорфовой метрике в отличии от исходной меры альфа. Введено понятие псевдочебышевского слоя. Используя данное понятие, получена асимптотическая оценка изменения меры невыпуклости альфа, возникающего из-за малых перемещений вершин невыпуклого многоугольника. Сформулирован общий алгоритм численного вычисления меры невыпуклости альфа для множеств в пиксельном представлении. Произведена оценка его погрешности для некоторых классов множеств. При помощи процедуры управления с поводырём построено численное решение задачи наведения нелинейной управляемой системы «Самолёт Дубинса» на подвижную цель за минимальное время при наличии подвижных препятствий.

Публикации

1. Ершов А.А., Ушаков В.Н., Кувшинов О.А. О вычислении меры невыпуклости альфа-множества в пиксельном представлении Дифференциальные игры, теория управления и оптимизация (DGCTO-2025) : материалы Всероссийской конференции, посвященной памяти профессора В. И. Ухоботова (Челябинск, 19–21 мая 2025 г.) [сетевое научное издание] / отв. ред. И. В. Изместьев. Челябинск: Издво Челяб. гос. ун-та, 2025. 296 с., С. 63-70 (год публикации - 2025)

2. Давлетов Д.Б., Ершов А.А., Ушаков В.Н. Numerical calculation of the non-convexity measure of alpha set in the form of polygons and polyhedra Теория функций и её приложения. Сборник тезисов международной конференции, посвящённой 120-летию со дня рождения академика РАН Сергея Михайловича Никольского. Москва: изд-во МФТИ, 2025. , С. 54-55 (год публикации - 2025)

3. Лебедев П. Д., Успенский А.А. Построение негладких решений задач управления на основе конструкций теории альфа-множеств Материалы Всероссийской конференции, посвященной памяти профессора В. И. Ухоботова, 19–21 мая 2025 г.,, С. 118-122. (год публикации - 2025)

4. Лебедев П.Д., Успенский А.А. Построение разрешающих конструкций в одном классе пространственных задач быстродействия: случай невыпуклого целевого множества с отрицательной гауссовой кривизной его границы Челябинский физико-математический журнал, Т. 11, вып. 1 (год публикации - 2026)
10.47475/2500-0101-2026-11-1-46-58

5. Зимовец А.А. Сеточный алгоритм построения множеств достижимости при наличии фазовых ограничений Челябинский физико-математический журнал, Т. 11, вып. 1. С. 18-32 (год публикации - 2026)
10.47475/2500-0101-2026-11-1-18-32

6. Усова А.А., Тарасьев А.М. Допустимое решение задачи роста с фазовыми ограничениями в классе логистических распределений Дифференциальные игры, теория управления и оптимизация (DGCTO-2025) : материалы Всероссийской конференции, посвященной памяти профессора В. И. Ухоботова (Челябинск, 19–21 мая 2025 г.) [сетевое научное издание] / отв. ред. И. В. Изместьев. Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2025. 296 с. , С. 241-245 (год публикации - 2025)

7. Красовский Н.А., Тарасьев А.М. Equilibrium Trajectories for Control Systems with Heterogeneous Dynamics Ural Mathematical Journal (Уральский математический журнал), Vol. 11, No. 2. P. 144-157 (год публикации - 2025)
10.15826/umj.2025.2.010

8. Давлетов Д.Б., Ершов А.А., Ершова А.А. О численном вычислении угловой меры невыпуклости альфа-множеств Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, Т. 67. С. 18–40 (год публикации - 2026)
10.35634/2226-3594-2026-67-02

Возможность практического использования результатов
Предложенные алгоритмы стабилизации гамильтоновых систем, позволяют отследить поведение модельных траекторий на бесконечности и построить субоптимальные решения, что особенно актуально для задач высокой размерности (более второй) и жестких систем. Применительно к экономическим моделям данный подход обеспечивает достаточно точный долгосрочный прогноз развития основных модельных переменных. Методы исследования задач управления с использованием теории надежности позволяют построить решения задач управления на основе динамических моделей роста, удовлетворяющих всем ограничениям модели. Результаты, полученные при изучении задач управления по быстродействию в условиях невыпуклого целевого множества, относятся к фундаментальному знанию в области теории оптимального управления, и могут создать основу продвинутого университетского курса для магистров, специализирующихся в исследовании процессов управления динамическими объектами. Одним из применений α-множеств к теории управления может быть следующее. Как известно, большей вычислительной эффективности обладают методы, отслеживающие только изменение границы множества достижимости управляемых систем с течением времен, по сравнению с теми пиксельными методами, которые на каждом временно\'м шаге вычисляют множество достижимости управляемой системы полностью. Для применения таких эффективных методов необходимо отслеживать сохранение односвязности множества достижимости. С помощью сформулированного в Проекте алгоритма это легко сделать: так как для односвязности α-множества достаточно выполнения неравенства α< π, по-крайней мере, в R^2. В свою очередь, повышение эффективности расчёта множеств достижимости управляемых систем будет полезно во всех сферах, где применяется теория управления и дифференциальные игры: в экономике, экологии, медицине (при динамическом дозировании лекарств), при расчёте возможных траекторий летательных аппаратов в космосе и в воздушном пространстве.