КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 24-21-00450
НазваниеОсобенности операторов Нийенхейса и их приложения
Руководитель Коняев Андрей Юрьевич, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва
Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-104 - Геометрия
Ключевые слова Операторы Нийенхейса, тензор Нийенхейса, геодезически эквивалентные метрики, Нийенхейсовы пучки, интегрируемые системы
Код ГРНТИ27.21.19
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Операторы Нийенхейса, т.е. операторные поля с нулевым кручением Нийенхейса возникают при исследовании многих динамических систем (например, как операторы рекурсии для согласованных скобок Пуассона), в задачах проективной классификации метрик, теории F-многообразий, теории сетей Веронезе, а также как операторы, связывающие метрики в бесконечномерных интегрируемых системах. Хорошо известны классические теоремы о нормальных формах операторов Нийенхейса (теорема Хаантьеса, теорема Томпсона, теорема Ньюландера-Ниренберга), но они предполагают алгебраическую регулярность оператора Нийенхейса (т.е. когда тип жордановой нормальной формы оператора в окрестности точки не меняется). Однако операторы Нийенхейса, возникающие в приложениях (в том числе, в перечисленных выше задачах), имеют особые точки, поэтому актуальной и открытой является задача изучения особенностей операторов Нийенхейса. Особенности операторов Нийенхейса мало изучены: нет полной классификации особенностей даже в малых размерностях, открыты вопросы о линеаризуемости оператора Нийенхейса вблизи особой точки данного типа, а также о топологических препятствиях к существованию операторов с особенностями данного типа. При этом любые продвижения в изучении особенностей операторов Нийенхейса позволят немедленно перенести полученные результаты на конкретные приложения в математической физике, теории дифференциальных уравнений и интегрируемых системах.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В 2019 году АЮ Коняев, совместно с АВ Болсиновым и ВС Матвеевым, начали программу по созданию новой геометрии под названием геометрия Нийенхейса. Этот проект был поддержан РНФ и о результатах писали СМИ самого широкого профиля (https://lenta.ru/news/2019/04/12/geo/). Несмотря на последний факт эти сообщения были во многом авансом. Действительно, фундаментальные результаты были получены, но о потенциальных приложениях оставалось только догадываться.
Прошедшие пять лет показали, что аванс был выдан не зря --- геометрия Нийенхейса нашла самое широкое применение в теории интегрируемых систем, как конечномерных, так и бесконечномерных. Она позволила связать совершенно разные области, перебросив мостики между совершенно различными на первый взгляд задачами -- от алгебры и описания геодезически согласованных метрик, до колебаний точки в потенциале на плоскости и солитонам в уравнениях мелкой воды и их обобщениях.
В рамках нового гранта изучается одно из таких новых направлений - особенности операторов Нийенхейса. Оказывается, эти особенности играют ключевую роль в приложениях, именно они определяют в конечном итоге топологию движения. За первый год работы удалось обнаружить интересные связи с фробениусовыми многообразиями, получить описание теплицевых операторов Нийенхейса. Кроме этого были получены нормальные формы для операторов в окрестности особых точек.
Публикации
1.
А.Ю.Коняев, А.В.Болсинов, В.С.Матвеев
Orthogonal separation of variables for spaces of constant curvature
Forum Mathematicum, публикация онлайн (год публикации - 2024)
10.1515/forum-2023-0300
2.
А.Ю.Коняев, В.С.Матвеев, А.В.Болсинов
Applications of Nijenhuis Geometry V: Geodesic Equivalence and Finite-Dimensional Reductions of Integrable Quasilinear Systems
Journal of Nonlinear Science , Volume 34, article number 3 (год публикации - 2024)
0.1007/s00332-023-10008-0
3.
Коняев А.Ю., Антонов Е.И.
Nijenhuis operators with a unity and F-manifolds
Journal of the London Mathematical Society, Volume 110, Issue3 e12983 (год публикации - 2024)
10.1112/jlms.12983
4.
А.Ю.Коняев, В.С.Матвеев, А.В.Болсинов
Nijenhuis geometry IV: conservation laws, symmetries and integration of certain non-diagonalisable systems of hydrodynamic type in quadratures
Nonlinearity, Volume 37, Number 10 (год публикации - 2024)
10.1088/1361-6544/ad6acc
5.
А.Ю.Коняев
On the Linearization of Certain Singularities of Nijenhuis Operators
Russian Journal of Mathematical Physics , Volume 31, pages 106–11 (год публикации - 2024)
10.1134/S106192084010084
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2019 году АЮ Коняев, совместно с АВ Болсиновым и ВС Матвеевым, начали программу по созданию новой геометрии под названием геометрия Нийенхейса. Этот проект был поддержан РНФ и о результатах писали СМИ самого широкого профиля (https://lenta.ru/news/2019/04/12/geo/). Несмотря на последний факт эти сообщения были во многом авансом. Действительно, фундаментальные результаты были получены, но о потенциальных приложениях оставалось только догадываться.
Прошедшие пять лет показали, что аванс был выдан не зря --- геометрия Нийенхейса нашла самое широкое применение в теории интегрируемых систем, как конечномерных, так и бесконечномерных. Она позволила связать совершенно разные области, перебросив мостики между совершенно различными на первый взгляд задачами -- от алгебры и описания геодезически согласованных метрик, до колебаний точки в потенциале на плоскости и солитонам в уравнениях мелкой воды и их обобщениях.
В рамках нового гранта изучается одно из таких новых направлений - особенности операторов Нийенхейса. Оказывается, эти особенности играют ключевую роль в приложениях, именно они определяют в конечном итоге топологию движения. За первый год работы удалось обнаружить интересные связи с фробениусовыми многообразиями, получить описание теплицевых операторов Нийенхейса. Кроме этого были получены нормальные формы для операторов в окрестности особых точек.
Публикации
1. Е.С. Коган, А.Ю. Коняев Малые когомологии Нийенхейса и их свойства Математический сборник (год публикации - 2026)
2.
Ф. И. Лобзин
Построение многочленов в биинволюции для сингулярных элементов пространства, сопряженного алгебре Ли
Математический сборник (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.4213/sm10216
3.
Ф. И. Лобзин
Классификация неразрешимых алгебр Ли с четырехмерными орбитами коприсоединенного представления
Чебышевский сборник, том 26, выпуск 2, страницы 141–159 (год публикации - 2025)
10.22405/2226-8383-2025-26-2-141-159
4. М. Черни Максимальные пучки Нийенхейса, содержащие подпучок симметричных 2x2 матриц Чпбышевский сборник (год публикации - 2026)