Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В отчетном периоде рассматривались индуктивные последовательности алгебр Теплица-Кунца со связующими *-гомоморфизмами, задаваемыми конечными наборами, состоящими из бесконечных последовательностей произвольных натуральных чисел. Алгебра Теплица-Кунца определяется как универсальная С*-алгебра, порождаемая конечным набором изометрий со взаимно ортогональными образами. Участники проекта изучали свойства предельных *-эндоморфизмов полугрупповых С*-алгебр, которые являются индуктивными пределами индуктивных последовательностей алгебр Теплица-Кунца. Эти полугрупповые С*-алгебры порождаются левыми регулярными представлениями свободных произведений полугрупп, которые являются положительными конусами в группах характеров компактных групп, называемых соленоидами. Предельные *-эндоморфизмы индуцируются морфизмами между копиями одних и тех индуктивных последовательностей алгебр Теплица-Кунца. Участниками проекта получены критерии того, когда предельные *-эндоморфизмы являются автоморфизмами индуктивных пределов. Эти критерии формулируются в теоретико-числовых, алгебраических и функциональных терминах. Они тесно связаны с теорией обобщенных средних, инициированной А.Н. Колмогоровым в 1930 г. Основной задачей этой теории является вопрос о том, какие пространства допускают обобщенные средние. В частности, доказано, что предельные *-эндоморфизмы являются автоморфизмами тогда и только тогда, когда существуют обобщенные средние на компактных группах, называемых соленоидами. Участники проекта изучали приведенные полугрупповые C*-алгебры для полупрямых произведений полугрупп S и T, для которых T действуют автоморфизмами на S. Такая C*-алгебра была представлена в качестве приведенного скрещенного произведения, одним из множителей которого является приведенная полугрупповая C*-алгебра для S, а другим -- полугруппа T. Было показано, что скрещенные произведения С*-алгебр с полугруппами и полупрямые произведения полугрупп тесно связаны. А именно, доказано, что приведенная полугрупповая C*-алгебра для полупрямого произведения полугрупп S и T изоморфна приведенному скрещенному произведению редуцированной полугрупповой C*-алгебры для S с полугруппой T. Этот результат был применен для изучения структуры приведенной полугрупповой C*-алгебры для полупрямого произведения аддитивной группы всех целых чисел и мультипликативной полугруппы целых чисел без нуля. Часть исследований была посвящена приведенным полугрупповым C*-алгебрам, порожденным регулярными изометрическими представлениями положительных конусов упорядоченных абелевых групп. Используя универсальное свойство этих представлений, участники проекта рассматривали приведенные полугрупповые C*-алгебры в качестве универсальных С*-алгебр, которые определяются множествами порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым соотношениям. Для произвольной последовательности простых чисел Р рассматривалась упорядоченная группа рациональных чисел, изоморфная группе характеров Р-адического соленоида, а вместе с ней и приведенная полугрупповая C*-алгебра для положительного конуса в этой группе. Было показано, что эта алгебра характеризуется как универсальная C*-алгебра, порождаемая счетным множеством изометрий, удовлетворяющих полиномиальным соотношениям, определяемым последовательностью простых чисел Р. Участниками проекта рассмотрены категории, называемые С*-соотношениями, которые были введены и изучались Т.А. Лорингом в рамках его аксиоматического подхода к понятию универсальной С*-алгебры, определяемой множеством порождающих элементов, удовлетворяющих наборам соотношений. С*-соотношения, задающие универсальные C*-алгебры, называются компактными. Для заданного множества X, С*-соотношение на X определяется как категория, в которой объектами служат функции из X в C*-алгебры, а морфизмами - *-гомоморфизмы С*-алгебр, делающие соответствующие треугольные диаграммы коммутативными. Кроме того, требуется, чтобы эти функции и *-гомоморфизмы удовлетворяли ряду естественных требований. В ходе выполнения проекта доказано, что каждое компактное C*-соотношение является полным и кополным. В качестве приложения полноты компактных C*-соотношений установлен следующий критерий существования универсальных С*-алгебр: C*- соотношение компактно тогда и только тогда, когда оно является полным. Участниками проекта было продолжено изучение свойств порождающих и порожденных отображений и квантовых каналов, которые были введены и исследовались в их предыдущей работе. В отчетном периоде было установлено, что квантовый канал Ф квантовой системы является порождающим тогда и только тогда, когда ядро частичного следа инвариантно относительно действия канала Ф. Используя этот критерий, мы изучали биективные порождающие отображения и каналы. Было доказано, что для такого отображения Ф его обратное отображение также является порождающим. Описаны свойства порождающих отображений и каналов, которые представляются в виде композиций отображений. Физически композиция двух квантовых каналов соответствует последовательной реализации процессов, описываемых этими каналами. Участниками проекта были введены и изучались свойства порождающих и порожденных квантовых процессов. При этом, в частности, было установлено, что свойства быть несингулярным и СР-делимым для порождающего квантового процесса наследуются порождаемым им квантовым процессом. По результатам исследований участниками проекта сделано 5 докладов на научно-исследовательских семинарах в МГУ им. М.В. Ломоносова, ИПМ им. М. В. Келдыша, МИАН им. В.А. Стеклова, КФУ. Результаты регулярно обсуждались на еженедельном семинаре в КФУ. Сделано 5 докладов на международных конференциях. Опубликованы: тезисы - 4; статьи с благодарностью гранту РНФ и Академии наук РТ - 1. Готовятся к публикации 3 статьи для отчета по данному гранту. В совет КФУ 011.3 представлена к рассмотрению докторская диссертация.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В отчетном периоде исследовались полугруппы Q, являющиеся свободными произведениями для конечных семейств полугрупп рациональных чисел, а также приведенные и полные полугрупповые С*-алгебры для Q. Доказано, что эти С*-алгебры канонически изоморфны и ядерны. При этом полугруппы Q не являются левоаменабельными. Получено описание полугрупповых алгебр в качестве универсальных С*-алгебр, задаваемых порождающими элементами, которые удовлетворяют полиномиальным соотношениям. Показано, что приведенные полугрупповые С*-алгебры, порожденные свободными произведениями счетных семейств полугрупп рациональных чисел, аппроксимируются индуктивными последовательностями алгебр Кунца со счетными множествами порождающих элементов. В рамках аксиоматического подхода Лоринга к понятию универсальной C*-алгебры проведено исследование категорий, называемых С*-соотношениями, и функторов между ними с целью классификации С*-соотношений. Получена характеризация всех функторов между компактными С*-соотношениями в терминах функторов между C*-соотношениями, которые определяются наборами инволютивных многочленов. Построен интересный класс так называемых функторов факторизации. Для изучения свойств С*-соотношений и функторов введены понятия мягкого образа функтора и универсальной С*-алгебры, свободной от *-полиномиальных соотношений, и исследованы их алгебраические и топологические характеристики. Для составных квантовых систем было продолжено изучение свойств порождающих и порожденных квантовых каналов и процессов. Исследованы топологические свойства квантовых процессов, в частности, установлено, что непрерывность является наследственным свойством для порожденных квантовых процессов. Показано, что делимый несингулярный порождающий квантовый процесс задает непрерывную вполне положительную эволюцию. Построен класс демпфирующих фазу порождающих квантовых процессов, каждый из которых определяется положительной ограниченной функцией, и исследован вопрос об их делимости. При этом получен критерий делимости демпфирующих фазу процессов в терминах определяющих их функций. Получена интегральная формула, которая позволяет по квантовым каналам составных систем получать порождающие квантовые каналы. По результатам исследований участниками проекта сделано 3 доклада на научно-исследовательском семинаре кафедры теории функций и функционального анализа МГУ им. М.В. Ломоносова. Результаты регулярно обсуждались на научно-исследовательском семинаре КГЭУ-КФУ в ИММ им. Н.И. Лобачевского КФУ. Сделано 8 докладов на научных международных конференциях. Опубликованы: тезисы - 8; статьи с благодарностью гранту РНФ и Академии РТ - 1. Приняты в печать статьи с благодарностью гранту РНФ и Академии РТ - 2. В диссертационном совете КФУ. 011.3 защищена докторская диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 1.1.1 - вещественный, комплексный и функциональный анализ.