Развитие алгоритмов решения прямых задач рассеяния, ассоциированных с интегрируемыми нелинейными уравнениями Шредингера

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-22-00183

НазваниеРазвитие алгоритмов решения прямых задач рассеяния, ассоциированных с интегрируемыми нелинейными уравнениями Шредингера

Руководитель Фрумин Леонид Лазаревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук , Новосибирская обл

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе; 02-402 - Нелинейные колебания и волны

Ключевые слова Нелинейное уравнение Шредингера, модель Манакова, метод обратной задачи рассеяния, прямая задача рассеяния, численные алгоритмы.

Код ГРНТИ29.35.03

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Многие варианты нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) принадлежат к нетривиальному классу интегрируемых уравнений в частных производных, изучаемых Методом Обратной Задачи Рассеяния (ОЗР) (см.: [В.Е Захаров., С.В Манаков., С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980]), В рамках метода ОЗР решение нелинейного уравнения приводит к исследованию линейных прямых и обратных спектральных задач рассеяния (ЗР), связанных с исходным нелинейным уравнением. Суть метода ОЗР состоит в том, что нелинейному эволюционному уравнению ставится в соответствие система линейных уравнений, где в качестве коэффициентов используются решения нелинейного уравнения. Оказалось, что численная реализация метода ОЗР на основе алгоритмов решения линейныхЗР позволяет развивать эффективные алгоритмы решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений, причем, без каких-либо итераций. В последние годы было разработано значительное число алгоритмов решения как обратных, так и прямых ЗР (см. обзор [A. L. Delitsyn, Fast Algorithms for Solving the Inverse Scattering Problem for the Zakharov--Shabat System of Equations and Their Applications, Mathematical Notes, 2022, 112]). Для скалярного случая системы Захарова - Шабата в нашей лаборатории были разработаны вычислительные алгоритмы Теплицева внутреннего окаймления (Toeplitz Inner Bordering - TIB) [O.V. Belai L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2007; 24, L.L. Frumin, O.V. Belai, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2015; 32]. Их численная эффективность обусловлена использованием обнаруженной ранее теплицевой симметрии дискретизованных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМУ). Настала очередь решения векторного НУШ, учитывающего поляризацию волн. Векторный вариант нелинейного уравнения Шрёдингера, учитывающий одновременно эффекты поляризации, дисперсии и нелинейности, известен как модель Манакова [С.В. Манаков, ЖЭТФ 1974; 38]. В последние годы модель Манакова особенно востребована для изучения нелинейно-дисперсионных и поляризационных эффектов, возникающих при распространении оптического излучения по волоконным линиям связи. Недавно, наш коллектив, в рамках гранта РНФ № 22-22-00653, разработал блочные алгоритмы решения ЗР для системы Манакова, значительно расширяющих возможности и перспективы метода ОЗР: [O.V. Belai. Fast numerical method of second-order approximation for the solution of inverse scattering problem. Quantum Electronics, 2022; 52(11):1039-1043. https://www.mathnet.ru/rus/qe/v52/i11/p1039, A.E. Chernyavsky, L.L. Frumin, . Inverse scattering transform algorithm for the Manakov system. Computer Optics, 2023 (in print)]. Общая схема решения задачи Коши для векторного) НУШ в рамках МОЗР предполагает решение прямой ЗР, поэтому развитие алгоритмов решения прямых ЗР для системы Манакова является важной и актуальной научной проблемой, решение которой составляют главную цель данного Проекта, который является логическим продолжение предыдущего Проекта в рамках гранта РНФ № 22-22-00653. Основным направлением данного проекта является развитие алгоритмов решения прямых ЗР для системы Манакова. Алгоритмы решения прямых задач, совместно с недавно разработанными коллективом Проекта блочными алгоритмами решения ОЗР, составят, в дальнейшем, численные алгоритмы эффективного решения задач Коши для векторного НУШ Манакова. Наконец, отметим еще одно (хотя и не основное) направление исследований – это прямые ЗР на нелокализованных потенциалах НУШ с постоянным фоном. Такие задачи в последнее время привлекают внимание исследователей не только в оптических, но и в гидродинамических приложениях.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Построен ускоренный алгоритм решения прямой задачи рассеяния для непрерывного спектра системы Манакова, ассоциированной с векторным нелинейным уравнением Шредингера модели Манакова. Численная постановка задачи в рамках метода трансфер-матриц (матриц переноса) приводит к проблеме быстрого расчета произведений полиномов, зависящих от спектрального параметра задачи. При дискретизации задачи использовался интегральный численный подход, аналогичный методу конечных объемов, позволяющий обеспечивать второй порядок точности аппроксимации трансфер-матриц. При таком интегральном подходе все девять элементов трансфер-матриц для системы Манакова содержат биномы от спектрального параметра задачи рассеяния. Для локализованных (убывающих на бесконечности) решений представлен т.н. «супер-быстрый» алгоритм решения прямой задачи рассеяния, второго порядка точности, основанный на теореме о свертке и быстром преобразование Фурье. Этот алгоритм требует для дискретной сетки размером N асимптотически всего O(N Log^2 N) арифметических операций. Численное моделирование на примере точного решения (гиперболического секанса) подтвердило высокую скорость расчетов и второй порядок точности аппроксимации алгоритма. Полученная полиноминальная аппроксимация спектральной зависимости коэффициентов рассеяния может быть использована в дальнейшем для поиска дискретного спектра системы Манакова. Ускоренный алгоритм решения прямой задачи рассеяния для системы Манакова может применяться в рамках метода обратной задачи рассеяния для эффективного безытерационного решения задачи Коши для дефокусирующего варианта системы нелинейных уравнений Шредингера модели Манакова, а также и для фокусирующего случая этой модели, без учета дискретного спектра. Алгоритм может использоваться в для декодирования цифровой информации, искаженной эффектами нелинейности, дисперсии и поляризации в высокопроизводительных оптоволоконных сетях связи. В ходе работы над ускоренным алгоритмом решения прямых задач рассеяния для системы Манакова был предложен и апробирован матричный вариант быстрого преобразования Фурье. Этот вариант естественно возникает в случае, когда коэффициенты ряда дискретного преобразования Фурье представляют собой не обычные скалярные числа, а не коммутирующие матрицы. При применении матричного алгоритма заметно упрощается структура алгоритма решения прямых задач рассеяния и оптимизируется число вычислений тригонометрических функций и арифметических операций. Сравнение показало, однако, что скалярный вариант алгоритма, при должной оптимизации, не уступает в быстродействии матричному алгоритму. 2. Подходы к построению ускоренного алгоритма решения прямой задачи рассеяния высокого порядка точности, основанные на интегральном способе дискретизации задачи рассеяния, стратегии дублирования, теореме о свертке и быстром преобразовании Фурье, были применены для разработки эффективного алгоритма расчета спектров апериодических брэгговских решеток. Расчет спектров рассеяния апериодических решеток и решеток с сильной модуляцией приводит к прямой задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца. Преобразованиями Бреммера уравнение Гельмгольца сводится к системе уравнений, близких к системе Захарова-Шабата. Интегральный подход к дискретизации позволил получить удобную численную аппроксимацию трансфер-матриц. Решение прямой задачи рассеяния приводит к расчету произведений трансфер-матриц и сводится к многократному перемножению матричных элементов - полиномов, зависящих от спектрального параметра задачи. Разработан ускоренный алгоритм решения прямой задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца, второго порядка точности, основанный на интегральном способе дискретизации, стратегии дублирования, теореме о свертке и быстром преобразование Фурье. Этот алгоритм требует для дискретной сетки размером N асимптотически всего O(N Log^2 N) арифметических операций (умножений). Численное моделирование для апериодической решетки подтвердило высокую скорость расчета спектров и второй порядок точности аппроксимации. 3. Рассмотрено фокусирующее одномерное нелинейное уравнение Шредингера в присутствии нестабильного постоянного фона, на котором могут существовать когерентные волновые структуры— бризеры. В рамках метода обратной задачи рассеяния рассматривалась задача численного расчета данных рассеяния для широкого класса бризеров. Для нахождения решения вычислялась матрица переноса на базе метода Боффетта-Осборна второго порядка и недавно разработанных численных схем высокого порядка, основанных на разложении Магнуса. Чтобы восстановить данные рассеяния бризеров, получены аналитические соотношения между коэффициентами рассеяния и элементами матрицы переноса. Затем были построены локализованные решения одиночных и мульти-бризеров. Для проверки разработанного численного подхода восстанавливался полный набор данных рассеяния, содержащий информацию о амплитуде, скорости, фазе и положении каждого бризера. Для объединения подхода метода обратной задачи рассеяния с методом "одевания", используемым для получения мульти-бризерных решений, получено точное соотношение между параметрами бризеров в рамках этих двух подходов.

Публикации

1. Фрумин Л.Л., Чернявский А.Е. Accelerated algorithm for calculating spectra of aperiodic gratings Computer Optics, №4, Том 49, 2025, №4, с. 573-578 (год публикации - 2025)
10.18287/2412-6179-CO-1594

2. Фрумин ЛЛ, Чернявский АЕ, Белай ОВ. «Супер-быстрый» алгоритм решения прямой задачи рассеяния для системы Манакова Журнал вычислительной математики и математической физики Computational Mathematics and Mathematical Physics, №12, Том 64 ,№3, с. 486–498 (год публикации - 2024)
10.31857/S0044466924030091