Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Мы развили подход к квантовой динамике многих тел, основанный на методе рекурсий, в двух основных направлениях. В рамках первого направления мы программно реализовали алгоритм для символьного расчета первых нескольких десятков коэффициентов Ланцоша и процедуру экстраполяции остальных коэффициентов Ланцоша в соответствии с гипотезой универсальности роста операторов. Мы применили метод для расчета бесконечнотемпературных корреляционных функций для систем со спином 1/2 на одномерных и двумерных решетках. В то время как в одном измерении метод не может конкурировать с известными численными подходами (в частности, основанными на тензорных сетях), в двух измерениях ситуация совершенно иная. В двумерном случае мы можем вычислять зависящую от времени корреляционную функцию вплоть до времени термализации. Это позволяет нам вычислять транспортные коэффициенты глубоко в квантово-хаотическом режиме с точностью, не достижимой другими методами. В качестве иллюстрации мы вычислили коэффициент диффузии для квантовой модели Изинга с поперечным полем на квадратной решетке. Результаты представлены в статье F. Uskov, O. Lychkovskiy, Quantum dynamics in one and two dimensions via the recursion method, Phys. Rev. B 109, L140301 (2024). Второе наиболее плодотворное направление наших исследований в отчетном периоде — разложение корреляционных функций по псевдомодам. Оказывается, что , как правило, корреляционная функция может быть весьма точно приближена суммой небольшого количества нескольких затухающих гармонических мод, известных как псевдомоды. Хотя этот факт известен уже несколько десятилетий, нахождение собственных значений и амплитуд псевдомод для квантовых многочастичных систем оставалось не решенной задачей (за исключением одномерных систем и квантовых примесей в контакте с резервуаром невзаимодействующих частиц). Мы разработали технику нахождения псевдомод в рамках метода рекурсии и применили ее к квантовым спиновым моделям на квадратной решетке. Как и ожидалось, оказалось, что от 3 до 5 псевдомод достаточно для превосходного приближения корреляционных функций на любых временах, от малых до асимптотически больших. Результаты представлены в препринте A. Teretenkov, F. Uskov, O. Lychkovskiy. Pseudomode expansion of many-body correlation functions, arXiv: 2407.12495

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2025 г получены следующие основные результаты. (1) Проведена дополнительная оптимизация программы для символьного вычисления коммутаторов на многоядерных кластерах. Добавлена возможность вычисления для систем спинов 1/2 на треугольной решетке. Программа зарегистрирована в Роспатенте: Лычковский О.В., Широков А.Е., Хрущев В.С., Программа для ЭВМ: «Программа для символьного вычисления вложенных коммутаторов в квантовых моделях спинов 1/2", свидетельство о государственной регистрации 2025693002 (2) Продемонстрировано применение метода рекурсий для вычисления зависимости от времени локальных наблюдаемых после квенча (мгновенного изменения гамильтониана). Проведены вычисления для одномерной, двумерной и трехмерной квантовых моделях Изинга с магнитным полем. Показано, что в двумерном (на квадратной решетке) и трехмерном (на кубической решетке) случаях метод рекурсий позволяет описывать динамику вплоть до термализации, а также вычислять равновесные значения наблюдаемых, установившиеся после квенча. В двумерном случае полученные результаты имеют точность, сравнимую с лучшими результатами, полученными с помощью тензорных сетей. Полученные в трехмерном случае результаты на больших временах уникальны, а на малых согласуются с недавно опубликованными результатами родственного метода динамики в разреженном пространстве строк Паули. Результаты представлены в препринте I. Shirokov, V. Khrushchev, F. Uskov, I. Dudinets, I. Ermakov, O. Lychkovskiy, Quench dynamics via recursion method and dynamical quantum phase transitions // arXiv: 2503.24362 (3) Разработан вариант метода рекурсий, в котором пространство операторов Крылова разделяется на два подпространства – первое содержит все векторы Крылова, для которых коэффициенты Ланцоша были вычислены явно, второе – все остальные векторы. Выведено замкнутое, нелокальное по времени уравнение для динамики внутри первого подпространства. Показано, что для корреляционных функций, стремящихся к нулю на больших временах, точность этого метода сравнима с точностью методов рекурсий с экстраполяцией и разложения по псевдомодам.