Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В ходе первого года проекта проведены исследования внутренних волн по следующим направлениям: 1) Генерация поля внутренних волн при эксплозивном извержении подводного вулкана. Эта задача мотивирована наблюдениями внутренних волн, связываемыми с извержением вулкана в архипелаге Тонга 15.01.2022. Она решена аналитически в предположении неизменности гидрологии в водах, окружающих вулкан. Предполагается, что при взрыве слой воды над жерлом вулкана движется как одно целое, так что известный параметрический очаг цунами, предложенный Ле Меоте, применим и для внутренних волн цунами. Нами получено точное решение уравнений гидродинамики идеальной стратифицированной жидкости с помощью преобразования Ханкеля с учетом многомодового характера генерируемых внутренних волн. При этом рассмотрены два типа вертикальной стратификации вод океана. В качестве первого типа выбрана модель с постоянной частотой плавучести (экспоненциальная или линейная стратификация по плотности), так что есть два параметра, характеризующих среду: частота плавучести и глубина бассейна. Следует отметить, что при таком типе стратификации нелинейные эффекты в волновом поле отсутствуют. Показано, что наиболее интенсивным оказывается лидирующий пакет волн в каждой моде. В точку наблюдения вдали от вулкана первой приходит первая мода внутренней волны, затем вторая, третья и более высокие моды. В качестве второго типа стратификации выбрана двухслойная модель, содержащая три параметра: скачок плотности и толщины слоев. Здесь присутствует только одна, первая мода, максимум которой приходится на скачок плотности. Результат заметно зависит от соотношения толщин слоев, когда амплитуда внутренней волны цунами резко падает с увеличением толщины нижнего слоя. Волновое поле также разбивается на несколько частотно-модулированных цугов, каждый из которых движется со своей групповой скоростью. Отмечено, что при большой глубине нижнего слоя, максимальная высота волны с изменением волнового числа меняется немонотонно. Показано что амплитуды внутренних волн могут достигать нескольких метров в пикноклине, а скорость течения частиц воды вблизи морской поверхности - нескольких см/сек, что достаточно для перестройки волновой ряби. В силу спадания волнового поля от пикноклина к поверхности, цуговый характер возмущений на поверхности менее выражен, чем в толще воды. 2) Разработка возможного механизма генерации внутренних волн длинной волной цунами в океане переменной глубины. Он аналогичен известному процессу генерации бароклинного прилива баротропным. Бароклинная приливная волна возникает на уклоне дна, который больше угла наклона луча бароклинного прилива, рассчитываемого по известной формуле, куда входит частота Брента - Вяйсяля, широта местности и характерная частота волны. В низких (ближе к экватору) широтах это условие сводится отношению частоты волны к частоте Брента - Вяйсяля. Поскольку частота Брента - Вяйсяля на два порядка больше частоты прилива и параметра Кориолиса, то необходимое условие на генерацию внутренних волн выполняется даже для малых уклонов дна (~ 5 град). Условие на уклон дна справедливо и для внутренних волн цунами с периодами 10-20 мин, при этом генерируется длинная бароклинная волна того же периода, которая затем рождает широкий спектр внутренних волн за счет нелинейных эффектов. По оценкам, при скорости течения 1 м/с амплитуда внутренней волны может достигать даже 20 м, а при скорости течения 0.3 м/с – до 10 м при соответствующих гидрологических параметрах. Конкретные расчеты требуют решения, по крайней мере, двумерных уравнений Эйлера стратифицированной жидкости, и сейчас ведется работа по адаптации соответствующего вычислительного комплекса. 3) Механизмы генерации аномально больших волн в поле внутренних волн при их взаимодействии под углом друг к другу. В качестве рабочей модели выбрано уравнение Гарднера-Кадомцева-Петвиашвили, которое не является интегрируемым, и его точное решение задачи Коши неизвестно. Нами получены условия на критические параметры внутренних солитонов в рамках данной модели с нелинейностями разного знака, зависящими от стратификации океана. Исследована кинематика резонансного взаимодействия внутренних волн (солитонные триады), и получены условия на генерацию импульсов аномально больших амплитуд (скорости и направления движения экстремально больших волн и их зависимости от параметров исходных солитонов). Хотя кинематика взаимодействия солитонов исследуется аналитически, их энергетика требует расчетов двумерного (в горизонтальной плоскости) уравнения Гарднера-Кадомцева-Петвиашвили, что предполагается сделать на втором году проекта. 4) Получены аналитические выражения динамических характеристик возможных типов солитонов и бризеров (поле смещений, скоростей, ускорений и давления) в рамках уравнения Гарднера, выведенного для внутренних волн малой и умеренной амплитуд. Эти выражения определяются через коэффициенты уравнения Гарднера (скорость, дисперсия, квадратичная и кубическая нелинейности), зависящие от вертикального распределения поля плотности и находятся за несколько этапов. На первом этапе решается задача Штурма-Лиувилля для определения структуры моды внутренних волн в линейном приближении. На втором – вычисляются все коэффициенты уравнения Гарднера в квадратурах. Явное аналитическое решение этой задачи найдено в отдельных случаях двух и трехслойной стратификации воды. На третьем этапе находятся решения уравнения Гарднера в виде солитонов и бризеров. На четвертом - определяются моды смещения и скорости течений с учетом нелинейности волн. И на последнем этапе записываются выражения для всех динамических характеристик солитонов и бризеров внутренних волн. Предварительные расчеты динамических полей в рамках уравнений Эйлера показали неплохое соответствие (для волн наинизшей моды) аналитическим результатам в рамках асимптотической теории. По результатам работы 2024 года опубликованы 2 статьи в журналах первого квартиля и сделаны четыре доклада на конференциях.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В рамках проекта «Интенсивные внутренние волны в морях и их воздействие на подводные объекты» в 2025 году проведены исследования генерации и распространения нелинейных внутренних волн, включая их воздействие на опоры малого диаметра. В частности, проведено численное моделирование генерации внутренних волн импульсным течением, аналогичным течению в длинной поверхностной волне типа цунами, для условий, приближенных к условиям двух районов Мирового океана – района тропиков и района северного моря. Показано, что при параметрах течения, характерных для мощных цунами (около 5 м высоты), внутренние волны генерируются в тропической зоне, причем их амплитуда достигает 30 м на глубине 100 м. Отражаясь от шельфа в зоне генерации, эти волны уходят в открытый океан. Стратификация же северных морей настолько слабая, что имеющиеся уклоны дна не позволяют родиться внутренним волнам от такого течения. Однако, за счет обтекания течением неровного дна здесь возникают вынужденные (подветренные) внутренние колебания 2-3 м амплитудой, которые затем сносятся течением в береговую зону. Исследовано влияние диссипации разного типа на генерацию солитона внутренних волн в трехслойном симметричном потоке. Показано возникновение бифуркаций Андронова-Хопфа при изменении параметров процесса. Асимптотические результаты подтверждены прямым численным расчетом в рамках возмущенного модифицированного уравнения Гарднера. Развит асимптотический подход для описания стационарных структур, формируемых двумя плоскими солитонами внутренних волн, взаимодействующими под углом друг к другу, в пределах двумерного уравнения Гарднера, близкого к уравнению Кадомцева – Петвиашвили, но содержащего дополнительный кубический нелинейный член. Получены аналитические решения резонансного взаимодействия внутренних солитонов с образованием солитонных триад. Найдены критические параметры солитонов Гарднера, приводящие к появлению внутренних волн аномально больших амплитуд (волн-убийц). Определены скорости и направления движения экстремально больших волн и их зависимости от параметров исходных солитонов (амплитуд, скоростей и углов взаимодействия). Формулы, полученные в рамках уравнения Гарднера и описывающие все компоненты волнового поля, использованы для анализа внутренних волн второй моды, которые, как показали недавние наблюдения, могут быть аномально большими. Показано, что имеется проблема в определении изопикны (горизонта), динамика которого определяется уравнением Гарднера, поскольку во второй моде есть два ярко выраженных максимума. Выбор любого уровня в качестве основного приводит к изменению как нелинейных коэффициентов уравнения Гарднера, так и коэффициентов в формулах связи между волновыми компонентами. Расчет силовых характеристик воздействия волн на опоры малого диаметра проводился в рамках типично используемого подхода в морской инженерии, а именно, волновые характеристики рассчитывались в отсутствии препятствий, а силовое воздействие моделировалось формулами Моррисона, учитывающими лобовое сопротивление, присоединенную массу и силу давления. В расчетах использовались цилиндрические опоры, частично или полностью погруженные в воду. Отмечается, что для внутренних волн в виду знакопеременности поля течений на разных глубинах интегральная сила может оказаться малой, и главным силовым фактором является опрокидывающий момент. По результатам исследования опубликованы три статьи и сделано несколько докладов на конференциях.